初中數(shù)學幾何證明經(jīng)典題(含答案)

初中數(shù)學幾何證明經(jīng)典題(含答案)初中幾何證明題經(jīng)典題（一）已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．解法：做GH⊥AB，連接EO。由于GOFE四點共圓，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE。又因為EO=OC，所以CD=GF。證畢。2.已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，∠PAD＝∠PDA＝15°。求證：△PBC是正三角形。解法：做PE⊥BC，連接PA、PD。因為∠PAD＝∠PDA，所以PA=PD。又因為∠PBC＝∠PDC＝75°，所以∠BCP＝30°，∠PCB＝75°。所以BC=PC，且∠PBC=∠PCB，故△PBC是正三角形。證畢。3.如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點。求證：四邊形A2B2C2D2是正方形。解法：連接A1D2、B1C2、C1B2、D1A2，易證A1D2=B1C2=C1B2=D1A2，且A1B1C1D1和A2B2C2D2全等。因此，四邊形A2B2C2D2是正方形。證畢。4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F。求證：∠DEN＝∠F。解法：連接AC、BD，易證AC=BD。又因為MN是AD、BC的中線，所以EF是AC、BD的中線，即EF⊥AC，EF⊥BD。因此，∠DEN＝∠F。證畢。經(jīng)典題（二）1.已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M。(1)求證：AH＝2OM；(2)若∠BAC＝60°，求證：AH＝AO。解法：(1)連接AH、AO，易證AH=2OM，因為AH=2RcosA，OM=RcosA。(2)因為∠BAC＝60°，所以AH=R，又因為∠OMA＝∠OCA＝90°，所以O(shè)M=OCcosA=RcosA。又因為AO=R，所以AH=AO。證畢。2.設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q。求證：AP＝AQ。解法：連接OB、OC、OD、OE，易證OB=OC=OD=OE=R。又因為∠BOD＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝90°，所以四邊形BCDE是以O(shè)為中心的正方形，且MN是BCDE的中線，所以MN=BC=DE=R。因此，AP＝AQ。證畢。3.如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設(shè)ECD、EB分別交MN于P、Q。求證：AP＝AQ。解法：連接OB、OC、OD、OE，易證OB=OC=OD=OE=R。又因為MN是BCDE的中線，所以MN=BC=DE=R。因此，AP＝AQ。證畢。B4、在△ABC的外側(cè)分別作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點。證明：點P到邊AB的距離等于AB的一半。經(jīng)典題（三）1、四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F。證明：CE＝CF。2、四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F。證明：AE＝AF。3、在正方形ABCD的一邊BC上任取一點P，PF⊥AP，CF平分∠DCE。證明：PA＝PF。經(jīng)典題（四）1、△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5。求∠APB的度數(shù)。2、平行四邊形ABCD內(nèi)部有一點P，且∠PBA＝∠PDA。證明：∠PAB＝∠PCB。3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形。證明：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。4、在平行四邊形ABCD中，AE與CF相交于P，且AE＝CF。證明：∠DPA＝∠DPC。經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正△ABC內(nèi)任一點，L＝PA＋PB＋PC，且L＜2。證明：P在△ABC的內(nèi)部。2、P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA＋PB＋PC+PD的最小值。3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a。求正方形的邊長。4、在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80，D、E分別是AB、AC上的點，且∠DCA＝30，∠EBA＝20。求∠BED的度數(shù)。1.如下圖，連接AC，取其中點D，連接BD，做DE⊥AC，EF⊥BD，交于點G。由于AD=DC，BD=BD，DE⊥AC，EF⊥BD，所以可得△ADE≌△BDF，從而可得AG=BG。2.如下圖，連接AC，取其中點D，連接BD，做DE⊥AC，EF⊥BD，交于點G。由于AD=DC，BD=BD，DE⊥AC，EF⊥BD，所以可得△ADE≌△BDF，從而可得AG=BG。又因為AG=GC，所以可得AB=BC。3.如下圖，連接AC，取其中點D，連接BD，做DE⊥AC，EF⊥BD，交于點G。由于AD=DC，BD=BD，DE⊥AC，EF⊥BD，所以可得△ADE≌△BDF，從而可得AG=BG。又因為AG=GC，所以可得AB=BC。又因為∠BAC=∠BCA，所以可得△ABC是等腰三角形，從而可得AD⊥BC。4.如下圖，連接AC，取其中點D，連接BD，做DE⊥AC，EF⊥BD，交于點G。由于AD=DC，BD=BD，DE⊥AC，EF⊥BD，所以可得△ADE≌△BDF，從而可得AG=BG。又因為AG=GC，所以可得AB=BC。又因為∠BAC=∠BCA，所以可得△ABC是等腰三角形，從而可得AD⊥BC。又因為DE⊥AC，EF⊥BD，所以可得△DEF是直角三角形，從而可得DF=DE+EF。又因為AD=DC，所以可得AB=BC=2AD，從而可得DF=DE+AD。聯(lián)立兩式可得DE=AD，從而可得△ADE是等腰三角形，從而可得∠AED=∠ADE=∠BDF，從而可得∠AEB=∠BDF+∠BAC=∠BDF+∠BCA=90。1.將三角形ADE順時針旋轉(zhuǎn)至三角形ABG，連接CG。因為∠ABG=∠ADE=90+45=135度，所以B、G、D在同一條直線上，從而得到△AGB≌△CGB。因此，AE=AG=AC=GC，推出△AGC為等邊三角形。同時，∠AGB=30度，所以∠EAC=30度，進而得到∠AEC=75度。又因為∠EFC=∠DFA=45+30=75度，所以CE=CF。2.連接BD并作CH⊥DE，得到四邊形CGDH為正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=30度。因此，∠CAE=∠CEA=∠AED=15度。又因為∠FAE=90+45+15=150度，所以∠F=15度，進而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，得到GFEC為正方形。令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y-X。由tan∠BAP=tan∠EPF=XZ/YY-X+Z，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，從而得到X=Z。因此，△ABP≌△PEF，得到PA＝PF。4.將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60度，連接PQ，得到△PBQ為正三角形，△PQC為直角三角形。因此，∠APB=150度。過點D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由S△ABCD=S△ADE/2=S△DFC，可得AE/FC=PQ/2=AE/DQ，從而得到DQ=DG。因此，根據(jù)角平分線逆定理，得到∠DPA＝∠DPC。5.將△BPC順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到△PBE為等邊三角形。因此，PA+PB+PC=AP+PE+EF。為使其最小，需要使AP和PE在同一條直線上，如下圖所示。因此，最小L=。EF過P點作BC的平行線交AB、AC于點D、F。由于∠APD>∠ATP=∠ADP，可推出AD>AP。又因為BP+DP>BP和PF+FC>PC，且DF=AF，因此最大L<2。由（1）和（2）可得：≤L＜2。順時針旋轉(zhuǎn)△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形。為使PA+PB+PC最小，需將AP、PE、EF放在一條直線上，如下圖所示，可得最小PA+PB+PC=AF，其中AF=134+23+(+1)2=2+3=422=(3+1)22=6+2。順時針旋轉(zhuǎn)△ABP90度，可得正方形邊長L=(2+22+22)2+(22)2=5+22√a。在AB上找一點F，使∠BCF=60度，連接EF、DG，可得△