復(fù)數(shù)知識點及題型歸納總結(jié)

復(fù)數(shù)知識點及題型歸納總結(jié)基本概念1.i叫虛數(shù)單位，滿足i2=-1，當(dāng)k∈Z時，i??=1,i???1=i,i???2=-1,i???3=-i.2.形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+bi∈C。-復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面上的點Z(a,b)一一對應(yīng)，a叫z的實部，b叫z的虛部；b=0時，z∈R，Z點組成實軸；b≠0時，z叫虛數(shù)；b≠0且a=0，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）。兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。-兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d。-復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模，也就是向量OZ的模，即有向線段OZ的長度，其計算公式為|z|=|a+bi|=√(a2+b2)，顯然，|z|=|a-bi|。基本性質(zhì)1.復(fù)數(shù)運算-(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i-(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i-|a+bi|2=a2+b2,z×z=a2+b2。-(a+bi)×(a-bi)=z×z=|z|2-z+z=2a，其中|z|=a+b，z=a-bi是z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)(a,b∈R)。2.復(fù)數(shù)的幾何意義-復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)平面內(nèi)的點z(a,b)。-復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)平面向量OZ。-復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)。-復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點z(a,b)到原點的距離。題型歸納與思路提示題型1：復(fù)數(shù)概念及其代數(shù)運算思路提示：無論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認(rèn)識清楚。例15.1：下面關(guān)于復(fù)數(shù)z=2p-1+i的四個命題：1.z=2p-12.z2=2ip-13.z的實部為2p-14.|z|=√(2p2+1)設(shè)$x=a+bi$是方程$x^2+6x+13=0$的一個根，則另一個根為$x^*=a-bi$。由于系數(shù)都是實數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛根性質(zhì)，有$(x^*)^2+6x^*+13=0$。將$x^*=a-bi$代入得到$(a-bi)^2+6(a-bi)+13=0$，即$(a^2-b^2+6a+13)+(2ab-6b)i=0$。由于$x=a+bi$是方程的一個根，因此$(a^2-b^2+6a+13)+(2ab-6b)i=0$，即$a^2-b^2+6a+13=0$且$2ab-6b=0$，解得$a=-3$，$b=0$或$b=1$。因此方程的兩個根為$-3$和$-3+i$或$-3-i$。答案為$-3$。解析：解法一：設(shè)$x=a+bi$，則$(a+bi)+6(a+bi)+13=22$，整理得$(a-b+6a+13)+(2ab+6b)i=0$。因為$a,b$均為實數(shù)，所以實部和虛部分別為0，即$\begin{cases}a-b+6a+13=0\\2ab+6b=0\end{cases}$。解得$a=-3,b=\pm2$，即$x=-3\pm2i$，選A。解法二：用求根公式求解：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=1,b=6,c=13$，得$x=-3\pm2i$，選A。變式1：已知$x^2+bx+c=0$有復(fù)數(shù)根$1+2i$，則$b,c$的取值為（）。解析：由于$x^2+bx+c=0$的根為$1+2i$，所以$(x-(1+2i))(x-(1-2i))=0$，展開得$x^2-2x+5=0$。比較系數(shù)得$b=-2,c=5$，選B。變式2：已知$|z|=a$，$z=a+bi$，則$a$的取值范圍為（）。解析：由模長的定義得$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=a$，整理得$b=0$。因為$a,b$均為實數(shù)，所以$a$的取值范圍為$(0,+\infty)$，選C。變式3：已知$|z-2-2i|=1$，則$|z+2-2i|$的最小值為（）。解析：設(shè)$z=x+yi$，則$(x-2)^2+(y-2)^2=1$，展開得$x^2+y^2-4x-4y+4=0$。又$|z+2-2i|^2=(x+4)^2+(y-2)^2$，展開得$x^2+y^2+8x-4y+20$。將$x^2+y^2=4x+4y-4$代入得$|z+2-2i|^2=4x+4y+16$，即$|z+2-2i|=\sqrt{4x+4y+16}$。由于$x,y$均為實數(shù)，所以$4x+4y+16\geq0$，即$|z+2-2i|\geq4$，故最小值為4，選A。變式4：若$z$滿足$|z-1|=1$，則$\dfrac{z-1}{z+1}$的實部為（）。解析：設(shè)$z=x+yi$，則$(x-1)^2+y^2=1$，展開得$x^2+y^2-2x=0$，即$x^2-2x+y^2=0$。由于$|z-1|=1$，所以$x^2+y^2-2x=0$與$(x-1)^2+y^2=1$相聯(lián)立，解得$x=\dfrac{3}{2},y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。因此$z=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$，$\dfrac{z-1}{z+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}{\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i}$。將分式化簡得$\dfrac{z-1}{z+1}=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$，故實部為$\dfrac{1}{2}$，選D。2.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位)，則z=（）。A.3+5iB.3-5iC.-3+5iD.-3-5i3.設(shè)a,b∈R是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（）。A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.復(fù)數(shù)z滿足z+2=0，則z=（）。A.±2iB.-2iC.-2D.2i5.復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在的象限是（）。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.已知復(fù)數(shù)z=2-i，則z的共軛復(fù)數(shù)z=2+i。7.設(shè)a∈R，且(a+i