剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律重點(diǎn)課件

第五章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、力矩：同一剛體上有多個(gè)作用力時(shí)，合力矩是各力矩的矢量和。二、描述轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量角速度角加速度法向加速度為切向加速度為(SI)單位：rad/s工程單位rev/min(轉(zhuǎn)/分）2將剛體分為質(zhì)量為△mi的質(zhì)元設(shè)：該質(zhì)元所受的外力

Fi

該質(zhì)元所受的內(nèi)力

fi

該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的位置矢量ri

將力分解為切向與法向分量，由牛頓第二定律可得

Fiτ+fiτ=△miaiτ剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所有的質(zhì)點(diǎn)有同樣的角速度、角加速度,2式對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)作用，將(1)式乘以ri

Fin+fin=△miain=△miriβ（1）

=△miriω2(2)3riFiτ+rifiτ=△miri2β利用

Fiτ=Fisinψifiτ=fisinφi

并對(duì)所有的質(zhì)元求和有∑riFisinψi+∑rifisinφi

=∑△miri2β由于任意的兩個(gè)質(zhì)元的內(nèi)力大小相等，方向相反，作用于同一直線上，故內(nèi)力的力矩為0。而：∑riFisinψi=∑Mi=MM=∑Mi

=(∑△miri2)β4擴(kuò)號(hào)中的項(xiàng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性。通常用J來(lái)表示。J=(∑△miri2)對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式的求和變成積分。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律為：

M=Jβ例1、求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)、到轉(zhuǎn)軸的Y距離為r,對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？若另有一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為M,到轉(zhuǎn)軸的Y距離為R,這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？5例2、求質(zhì)量為m、半徑為R的細(xì)元環(huán)繞其直徑轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用λ表示細(xì)元環(huán)的質(zhì)量密度λ=m/2πR

若將轉(zhuǎn)軸移動(dòng)到圓環(huán)的左邊，由平行軸定理圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？6例2、求質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)棒，對(duì)下列轉(zhuǎn)軸C、G、H的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)棒的線密度為λ，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式對(duì)C點(diǎn)：對(duì)G點(diǎn)：對(duì)H點(diǎn)平行軸定理將轉(zhuǎn)軸作為坐標(biāo)原點(diǎn)7上面的第3個(gè)計(jì)算結(jié)果是一個(gè)普遍的結(jié)果：稱為平行軸定理。即：若質(zhì)量為m的剛體繞一通過(guò)剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc,則繞一與過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸平行的另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為J=Jc+mh2。（h是新轉(zhuǎn)軸到過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的距離。）8轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律為

M=Jβ例3、一均勻圓盤(pán)質(zhì)量為m0，半徑為R,可繞其圓心轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤(pán)邊緣繞有一輕繩，受到向下的張力T,求圓盤(pán)的角加速度，以及圓盤(pán)邊緣的切向加速度。若輕繩下掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)情況如何？9將其分為兩個(gè)部分,分別列出運(yùn)動(dòng)方程：由（2）式解出T得：如果令mg=T則：10剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為由A=∫Mdθ得在機(jī)械能守恒定律中，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能由上式計(jì)算。11例4、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。在棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，質(zhì)元的重力為：XOdmgdmdM=ldmgsin(900-θ)=λgldlcos(θ)由

M=Jβ

得：12接下來(lái)求ω，由得兩邊乘以dθ后積分得：用能量守恒原理也可以解出ω由于均勻細(xì)棒的質(zhì)心在

l/2

處，下降時(shí)重力做的功為:把左邊的式子平方后對(duì)t求導(dǎo)可得β13剛體的角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩邊乘以dt并積分上式稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，其中是合力矩對(duì)時(shí)間的積分，稱為沖量矩。稱為剛體的動(dòng)量矩，或角動(dòng)量。常用L

表示。注意：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)繞軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角動(dòng)量為該質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與動(dòng)量的叉乘。剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P與r垂直時(shí)

L=rmv=mr2ω=Iω14當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)剛體組成時(shí)，合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)總角動(dòng)量的增量。由于Mi

可以分解為內(nèi)力與外力產(chǎn)生的力矩，內(nèi)力矩的矢量和總是為0，可以得到系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律。若系統(tǒng)的合外力矩為0時(shí)，系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒。時(shí)即：注意：1）對(duì)于一個(gè)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，合外力矩為0時(shí)，角動(dòng)量保持不變。剛體依靠慣性做勻角速運(yùn)動(dòng)。2）對(duì)于由若干個(gè)物體組成的系統(tǒng)，在滿足角動(dòng)量守恒的條件下，使系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小，其角速度將增大。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加，則角速度將減小。15例5、在一光滑的水平桌面上，用輕繩的一頭拴著一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球，小球的質(zhì)量為m、速度為V0、運(yùn)動(dòng)半徑為R。繩的另一端穿過(guò)桌面上的小孔，現(xiàn)向下拉繩子使其運(yùn)動(dòng)半徑減小到r，求小球的速率和角速度。這個(gè)過(guò)程能量是否守恒？解：由角動(dòng)量守恒定律RmV0=rmV這個(gè)過(guò)程能量不守恒。16拉力F做的功為17例6、長(zhǎng)為2L質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)棒，可在豎直平面內(nèi)繞過(guò)中心的水平軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)棒靜止在水平位置。一質(zhì)量為m’的小球以速度u垂直落到棒的一