變量間的相關(guān)關(guān)系-課件

必修三第二章第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo):

1、知識與技能：利用散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，通過實例加強回歸直線方程含義的理解，能夠?qū)嶋H問題進(jìn)行分析和預(yù)測。2、過程與方法：①通過自主探究體會數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。

②通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計算機等現(xiàn)代化教學(xué)工具的必要性。3、情感、態(tài)度與價值觀：類比函數(shù)的表示方法，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強應(yīng)用回歸直線方程對實際問題進(jìn)行分析和預(yù)測的意識,讓學(xué)生動手操作，合作交流,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

一、創(chuàng)設(shè)情境

導(dǎo)入新課

：世界是一個普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與其它事物相聯(lián)系。生活中相關(guān)成語：“名師出高徒”，“瑞雪兆豐年”“強將手下無弱兵”“虎父無犬子”我們曾經(jīng)研究過兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系：一個自變量對應(yīng)著唯一的一個函數(shù)值，這兩者之間是一種確定關(guān)系。生活中的任何兩個變量之間是不是只有確定關(guān)系呢？請同學(xué)們舉例說明

1〉商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系。商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間有著密切的聯(lián)系，但商品收入不僅與廣告支出多少有關(guān)，還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)。

我們可以舉出現(xiàn)實生活中存在的許多相關(guān)關(guān)系的問題。例如：

在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食產(chǎn)量就越高。但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素，因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響。2〉糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系。

在一定年齡段內(nèi)，隨著年齡的增長，人體內(nèi)的脂肪含量會增加，但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān)，可能還與個人的先天體質(zhì)有關(guān)。3〉人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系。

應(yīng)當(dāng)說，對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們都可以根據(jù)自己的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗作出相應(yīng)的判斷，因為“經(jīng)驗當(dāng)中有規(guī)律”。但是，不管你經(jīng)驗多么豐富如果只憑經(jīng)驗辦事，還是很容易出錯的。因此，在分析兩個變量之間的關(guān)系時，我們還需要有一些有說服力的方法。變量間相關(guān)關(guān)系的概念:自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系請同學(xué)們回憶一下,我們以前是否學(xué)過變量間的關(guān)系呢?兩個變量間的函數(shù)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點:相同點:兩者均是指兩個變量間的關(guān)系.不同點:①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實上,函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是隨機變量與隨機變量間的關(guān)系.②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.二、合作探索，直觀感知

問題探究:

在一次對人體年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):根據(jù)數(shù)據(jù),人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？(同學(xué)們交流)

年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

從上表發(fā)現(xiàn)，對某個人不一定有此規(guī)律，但對很多個體放在一起，就體現(xiàn)出“人體脂肪隨年齡增長而增加”這一規(guī)律。而表中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)是這個年齡人群的樣本平均數(shù)。我們也可以對它們作統(tǒng)計圖、表，對這兩個變量有一個直觀上的印象和判斷。

下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸，建立直角坐標(biāo)系，作出各個點，稱該圖為散點圖圖表散點圖：兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個變量值由小變大，另一個變量值也由小變大，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。思考：兩個變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時，散點圖有什么特點？兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個變量值由小變大，而另一個變量值由大變小，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)。如某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的關(guān)系溫度杯數(shù)問題：觀察下面這兩幅圖，看有什么特點？圖（1）圖（2）圖（1）兩個變量散點圖呈下圖，它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系？無相關(guān)性：從散點圖可以看出因變量與自變量不具備相關(guān)性正相關(guān)：因變量隨自變量的增大而增大，圖中的點分布在左下角到右上角的區(qū)域負(fù)相關(guān)：因變量隨自變量的增大而減小，圖中的點分布在左上角到右下角的區(qū)域.無相關(guān)性：因變量與自變量不具備相關(guān)性小結(jié)：兩個變量間的相關(guān)關(guān)系，可以借助散點圖直觀判斷思考：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？

這些點大致分布在一條直線附近.散點圖回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程。思考：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條？思考：在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？借助計算機怎樣畫出回歸直線？方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。如何具體的求出回歸方程？方案二、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。我們應(yīng)該如何具體的求出這個回歸方程呢？方案三、在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。我們應(yīng)該如何具體的求出這個回歸方程呢？模型一：最小模型二：最小模型三：最小比較前面三個模型，哪個模型比較可行？回歸直線

實際上,求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點到此直線的距離小”。最小二乘法的公式的探索過程如下：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取x1，x2，…，xn時，可以得到

Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它與實際收集得到的yi之間偏差是

yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy

x這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。Σ（yi-Yi）的最小值ni=1Σ|yi-Yi|的最小值ni=1Σ（yi-Yi）2的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2當(dāng)a，b取什么值時，Q的值最小，即總體偏差最小Σ（xi-x）（yi-y）ni=1b=Σ（xi-x）ni=1a=y-bxˉˉˉˉˉ人們經(jīng)過實踐與研究，找到了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式:

以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法∧∧我們可以用計算機來求回歸方程。人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律，由此回歸直線來反映。計算機演示將年齡作為x代入上述回歸方程，看看得出數(shù)值與真實值之間有何關(guān)系？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回歸值12.815.122.023.225.527.828.4年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回歸值30.130.731.832.433.034.134.7若某人65歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比較大。但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1％。思考1.線性回歸方程為何不記為？你能說明對于確定的，根據(jù)計算出的的意義嗎？

只是的一個估計值思考2.這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進(jìn)行運算，那么要求的值，你會按怎樣的順序求呢？可以按照、、、、、順序來求，再代入公式小結(jié)1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計算平均數(shù),第二步，求和第三步，計算第四步，寫出回歸方程求解并預(yù)測實際生活問題。

∧∧2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.3.對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的.因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.例：有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654

(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).三、例題示范，精講點撥解:(1)散點圖(2)氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān),即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。溫度熱飲杯數(shù)列表y=-2.352x