第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

第十節(jié)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容最大值與最小值的定義有界性與最大值最小值定理零點(diǎn)定理與介值定理教學(xué)重點(diǎn)幾個定理的簡單應(yīng)用本節(jié)要求了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其簡單應(yīng)用。1第一章第十節(jié)2第一章第十節(jié)一、最大值和最小值定理定義:對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f

(x),如果有x0

?

I

,

使得對于任一x

?

I

都有f

(

x)

￡

f

(

x0

) (

f

(

x)

?

f

(

x0

))則稱f

(x0

)是函數(shù)f

(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.注：最值是在整個區(qū)間上的一種定義的，而不是局部的例如,

y

=

1

+

sin

x,y

=

sgnx,

在(-￥

,+￥

)上,

ymax=

2,

ymin在[0,2p]上,

ymax=

-1;ymin=

1.在(0,+￥

)上,

ymax

=

ymin=

0;=

1,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.x2

x1

bx3第一章第十節(jié)yo

ay

=

f

(

x)則$x1

,x2

?

[a,b],使得"x

?

[a,b],有f

(x1

)?f

(x),若f

(x)?

C[a,b],2f

(x

)

￡

f

(

x).注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,

定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),

定理不一定成立.xyoy

=

f

(

x)1

21xyop2y

=

f

(

x)定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.設(shè)函數(shù)f

(x)在[a,b]上連續(xù),證

"

x

?

[a,

b],取K

=max{

m

,M

},有m

￡

f

(x)￡

M

,則有f

(x)￡

K

.4第一章第十節(jié)\函數(shù)f

(x)在[a,b]上有界.5第一章第十節(jié)二、介值定理f

(x

)的零點(diǎn).定理3(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f

(x

)在閉區(qū)間a,

b]上連續(xù)，且

f

(a

)與

f

(b)異號(即

f

(a

)

f

(b)

<

0),那末在開區(qū)間a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(a

<x<b)，使

f

(x)=0.即方程f

(x)=0在(a,b)內(nèi)至少存在一個實(shí)根.定義:如果

x0使

f

(

x0

)

=

0,

則

x0稱為函數(shù)bx3x6第一章第十節(jié)ya

oy

=

f

(

x)x1

x2幾何解釋:連續(xù)曲線弧y

=f

(x)的兩個端點(diǎn)位于x軸的不同側(cè),曲線上的動點(diǎn)從直線y

=0的一側(cè)連續(xù)爬到另一側(cè)，至少要通過直線y

=0一次，即曲線弧與x軸至少有一個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x，f

(x)=0.這個定理常用來確定方程f

(x

=

0的解的存在性與存在范圍。7第一章第十節(jié)定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f

(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f

(a)=A

及f

(b)=B

,那末，對于A

與B

之間的任意一個數(shù)C

，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

，使得f

(x

)=C(a

<

x<

b).直線y

=C至少有一個交點(diǎn).推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值

M

與最小值

m

之間的任何值.連續(xù)曲線弧y

=f

(x)與水平幾何解釋:8第一章第十節(jié)證明：f

(x)在(-￥，+￥)上有界。xfi￥三 性質(zhì)的應(yīng)用舉例例題1

求證x5

-3x

-1=0在(1，2

至少有一個根。例題2

求證x3

-

9x

=1恰好有三個實(shí)根。例題3

設(shè)f

(x

?

C

a,

b

,

且a

￡

f

(x

￡

b,求證：$x

?

[a,b],s.t.f

(x

)=x例題4

設(shè)f

(x

在(-￥，+￥

上連續(xù)，且lim

f

(x

存在例題6

設(shè)f

(x

?

C

(a,

b

且lim

f

(x

,

lim

f

(x

都存在xfi

a+

xfi

b-試證f

(x)在(a,b)上有界。例題7

設(shè)f

(x

?

C a,

b

,且恒為正。證明：對于任意x1,x2

?

[a,b](x1

<x2

)必存在一點(diǎn)x

?

(a,b),s.t.f

(x)=

f

(x1

)f

(x2

)9第一章第十節(jié)>0,i

=1,2,...n且=1,xi

?

[a,b].試證至少存在一點(diǎn)x

?

[a,b]，s.t.f

(x

)=

t1

f

(x1

)+

t2

f

(x2

)+

...

+

tn

f

(xn

)例題5

設(shè)f

(x

在

a,

b

上連續(xù)，

tin

tii

=110第一