高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-解答題 (含解析)

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高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷（理）3年（2023-2023）真題分類匯編-解答題

一、解答題

1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)12345678910

伸縮率545533551522575544541568596548

伸縮率536527543530560533522550576536

記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．

(1)求，；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）

2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.

3．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；

(2)證明：平面平面BEF；

(3)求二面角的正弦值.

4．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．

(1)求的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

5．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.

(3)若在存在極值，求a的取值范圍.

6．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線：（為參數(shù)，）.

(1)寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線既與沒(méi)有公共點(diǎn)，也與沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.

7．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知.

(1)求不等式的解集；

(2)在直角坐標(biāo)系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.

8．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．

(1)證明：；

(2)若，求的周長(zhǎng)．

9．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；

(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．

10．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)ｉ12345678910總和

根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并計(jì)算得．

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．

附：相關(guān)系數(shù)．

11．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．

12．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

13．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．

(1)寫(xiě)出l的直角坐標(biāo)方程；

(2)若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

14．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：

(1)；

(2)；

15．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．

（1）求，，，；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．

16．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

17．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）求的通項(xiàng)公式．

18．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（1）求a；

（2）設(shè)函數(shù)．證明:．

19．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．

（1）求；

（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．

20．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程;

（2）過(guò)點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．

21．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范圍．

參考答案：

1．(1)，；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出，再得到所有的值，最后計(jì)算出方差即可；

（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和比較大小即可.

【詳解】（1），

，

，

的值分別為:，

故

（2）由（1）知:，，故有,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

2．(1)；

(2).

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；

(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.

【詳解】（1）由余弦定理可得：

，

則，，

.

（2）由三角形面積公式可得，

則.

3．(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

(3).

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；

（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，

則，

解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，

，又平面平面，

所以平面.

（2）法一：由（1）可知，則，得，

因此，則，有，

又，平面，

則有平面，又平面，所以平面平面.

法二：因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，

在中，，

在中，，

設(shè)，所以由可得：，

可得：，所以，

則，所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，得，

令，則，所以，

設(shè)平面的法向量為，

則，得，

令，則，所以，

，

所以平面平面BEF；

（3）法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，

由，得，且，

又由（2）知，，則為二面角的平面角，

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，

即有，又，即有，

，解得，同理得，

于是，即有，則，

從而，，

在中，，

于是，，

所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，

平面的法向量為，

所以，

因?yàn)椋裕?/p>

故二面角的正弦值為.

4．(1)

(2)證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.

【詳解】（1）由題意可得，解得，

所以橢圓方程為.

（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，

聯(lián)立方程，消去y得：，

則，解得，

可得，

因?yàn)?，則直線，

令，解得，即,

同理可得，

則

，

所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

（3）得出結(jié)論．

5．(1)；

(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.

(3).

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；

(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

據(jù)此可得，

函數(shù)在處的切線方程為，

即.

（2）由函數(shù)的解析式可得，

函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，

由對(duì)稱性可知，

取可得，

即，則，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.

即存在滿足題意.

（3）由函數(shù)的解析式可得，

由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);

令，

則，

令，

在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;

當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由可得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故的最小值為，

令，則，

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，

據(jù)此可得恒成立，

則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

故，即(取等條件為)，

所以，

，且注意到，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以.

令，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

所以

，

所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.

6．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，注意的取值范圍；

（2）根據(jù)曲線的方程，結(jié)合圖形通過(guò)平移直線分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋?，可得?/p>

整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，

又因?yàn)椋?/p>

且，則，則，

故.

（2）因?yàn)椋閰?shù)，），

整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，

如圖所示，若直線過(guò)，則，解得；

若直線，即與相切，則，解得，

若直線與均沒(méi)有公共點(diǎn)，則或，

即實(shí)數(shù)的取值范圍.

【點(diǎn)睛】

7．(1)；

(2)8.

【分析】（1）分段去絕對(duì)值符號(hào)求解不等式作答.

（2）作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求出面積作答.

【詳解】（1）依題意，，

不等式化為：或或，

解，得無(wú)解；解，得，解，得，因此，

所以原不等式的解集為：

（2）作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，

由，解得，由,解得，又，

所以的面積.

8．(1)見(jiàn)解析

(2)14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

即，

所以；

（2）解：因?yàn)椋?/p>

由（1）得，

由余弦定理可得，

則，

所以，

故，

所以，

所以的周長(zhǎng)為.

9．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(2)與平面所成的角的正弦值為

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；

在和中，因?yàn)椋?/p>

所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)槠矫?，，所以平面?/p>

因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?/p>

所以，所以，

當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.

因?yàn)?，所以?/p>

又因?yàn)?，所以是等邊三角形?/p>

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，

因?yàn)?，所?

在中，，所以.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以，

設(shè)與平面所成的角的正弦值為，

所以，

所以與平面所成的角的正弦值為.

10．(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；

（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．

【詳解】（1）樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值

樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為，

平均一棵的材積量為

（2）

則

（3）設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為，

又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得，解之得．

則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為

11．(1)

(2)

【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，

則，解得，，

所以橢圓E的方程為：.

（2），所以，

①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，過(guò)點(diǎn).

②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).

聯(lián)立得，

可得，，

且

聯(lián)立可得

可求得此時(shí)，

將，代入整理得，

將代入，得

顯然成立，

綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

12．(1)

(2)

【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究

【詳解】（1）的定義域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（2）

設(shè)

若,當(dāng),即

所以在上單調(diào)遞增,

故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意

若,當(dāng),則

所以在上單調(diào)遞增所以,即

所以在上單調(diào)遞增,

故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意

若

(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增

所以存在,使得,即

當(dāng)單調(diào)遞減

當(dāng)單調(diào)遞增

所以

當(dāng),

令則

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

又，，

所以在上有唯一零點(diǎn)

又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)

(2)當(dāng)

設(shè)

所以在單調(diào)遞增

所以存在,使得

當(dāng)單調(diào)遞減

當(dāng)單調(diào)遞增,

又

所以存在,使得,即

當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，

當(dāng)，，

又，

而,所以當(dāng)

所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)

即在上有唯一零點(diǎn)

所以,符合題意

所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.

13．(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式處理即可；

（2）方法一：聯(lián)立l與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設(shè)a的取值范圍求解m的范圍即可.

【詳解】（1）因?yàn)閘：，所以，

又因?yàn)?，所以化?jiǎn)為，

整理得l的直角坐標(biāo)方程：

（2）[方法一]：【最優(yōu)解】參數(shù)方程

聯(lián)立l與C的方程，即將，代入中，

可得，

化簡(jiǎn)為，

要使l與C有公共點(diǎn)，則有解，

令，則，令，，

對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，

，

，

，即m的取值范圍為.

[方法二]：直角坐標(biāo)方程

由曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，消去參數(shù)，可得，

聯(lián)立，得，即，即有，即，的取值范圍是．

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用參數(shù)方程以及換元，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，是該題的最優(yōu)解；

方法二：通過(guò)消參轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，與方法一本質(zhì)上差不多，但容易忽視的范圍限制而出錯(cuò)．

14．(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；

（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．

【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，則，，，

所以，

即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

（2）證明：因?yàn)?，，?/p>

所以，，，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

15．（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】（1），

，

，

.

（2）依題意，，，

，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

16．（1）；（2）

【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；

（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法

平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、、，

則，，

，則，解得，故；

[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以?/p>

又因?yàn)?，，所以平面?/p>

又平面，所以．

從而．

因?yàn)椋裕?/p>

所以，于是．

所以．所以．

[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．

由[方法二]知．

在矩形中，有，所以，即．

令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．

由，得，解得，所以．

（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面的法向量為，則，，

由，取，可得，

設(shè)平面的法向量為，，，

由，取，可得，

，

所以，，

因此，二面角的正弦值為.

[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．

聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，

故為二面角的平面角．

易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．

，

由等積法解得．

在中，，由勾股定理求得．

所以，，即二面角的正弦值為．

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.

（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.

【詳解】（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;

[方法二]【最優(yōu)解】：

由已知條件知①

于是．②

由①②得．③

又，④

由③④得．

令，由，得．

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

[方法三]：

由，得，且，，．

又因?yàn)?，所以，所以?/p>

在中，當(dāng)時(shí)，．

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當(dāng)時(shí)顯然成立．

假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．

那么當(dāng)時(shí)，．

綜上，猜想對(duì)任意的都成立．

即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

（2）

由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，

,

,

當(dāng)n=1時(shí)，,

當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,

∴.

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；

方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；

方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．

（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；

18．（1）；（2）證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；

（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解

【詳解】（1）由，，

又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；

（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)

由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋?/p>

要證，即證，即證．

（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．

綜合（?。áⅲ┯校?/p>

[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)

由（1）得，，且，

當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；

同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；

令，再令，則，，

令，，

當(dāng)時(shí)，，單減，故；

當(dāng)時(shí)，，單增，故；

綜上所述，在恒成立.

[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明

令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．

（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．

綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時(shí)，，即．

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見(jiàn)常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.

19．（1）；（2）.

【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；

（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.

【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值

由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．

所以．

從而有．

因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．

又，解之得，因此．

[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值

拋物線的焦點(diǎn)為，，

所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；

（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法

拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，

設(shè)點(diǎn)、、，

直線的方程為，即，即，

同理可知，直線的方程為，

由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，

所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，

所以，直線的方程為，

聯(lián)立，可得，

由韋達(dá)定理可得，，

所以，，

點(diǎn)到直線的距離為，

所以，，

，

由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.

[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值

同方法一得到．

過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則．

．

P點(diǎn)在圓M上，則

．

故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．

[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法

設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．

設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．

判別式，即，且．

拋物線C的方程為，即，有．

則，整理得，同理可得．

聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．

由弦長(zhǎng)公式得．

點(diǎn)P到直線的距離為．

所以，

其中，即．

當(dāng)時(shí)，．

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)于圓M上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而求得的值；方法二，利用圓的性質(zhì)，與圓上點(diǎn)的距離的最小值，簡(jiǎn)潔明快，為最優(yōu)解；（2）方法一設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，由切點(diǎn)弦方程思想得到直線的坐標(biāo)滿足方程，然手與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，利用圓的方程轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的二次函數(shù)最值問(wèn)題；方法二，同方法一得到，，過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則．由求得面積關(guān)于坐標(biāo)的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)換元求得面積最大值，方法靈活，計(jì)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三直接設(shè)直線，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理判別式得到，且．利用點(diǎn)在圓上，求得的關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，解方程組求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；

20．（1），（為參數(shù)）；

（2）和．

【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；

（2）先求得過(guò)（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化