2023年上海市理工附中等七校數學高二第二學期期末調研模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．2．小明、小紅、小單三戶人家，每戶3人，共9個人相約去影院看《老師好》，9個人的座位在同一排且連在一起，若每戶人家坐在一起，則不同的坐法總數為（）A． B． C． D．3．已知函數是定義在上的奇函數，若對于任意的實數，都有，且當時，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．14．平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A．或 B．或C．或 D．或5．已知函數，，若關于的方程有6個不相等的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數存在零點,則實數的取值范圍是()A． B． C． D．7．一同學在電腦中打出如下若干個圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前55個圈中的●個數是（）A．10 B．9 C．8 D．118．湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數學、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學、地理、政治四科中選考兩門，在所有選科組合中某學生選擇考歷史和化學的概率為（）A． B． C． D．9．設三次函數的導函數為，函數的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為10．已知集合，，則為（）A． B． C． D．11．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中的點的坐標，則確定不同點的坐標個數為______．14．若關于的不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是__________.15．從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是____.16．已知，N*，滿足，則所有數對的個數是____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的頂點為原點，焦點F與圓的圓心重合.（1）求拋物線C的標準方程；（2）設定點，當P點在C上何處時，的值最小，并求最小值及點P的坐標；（3）若弦過焦點，求證：為定值.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）若，求異面直線與所成角的大?。唬?）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的大小為，求實數的值.19．（12分）某玻璃工廠生產一種玻璃保護膜，為了調查一批產品的質量情況，隨機抽取了10件樣品檢測質量指標（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.經計算得，,生產合同中規(guī)定：質量指標在62分以上的產品為優(yōu)質品，一批產品中優(yōu)質品率不得低于15%.（Ⅰ）以這10件樣品中優(yōu)質品的頻率估計這批產品的優(yōu)質品率，從這批產品中任意抽取3件，求有2件為優(yōu)質品的概率；（Ⅱ）根據生產經驗，可以認為這種產品的質量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布，是否有足夠的理由判斷這批產品中優(yōu)質品率滿足生產合同的要求？附：若，則，20．（12分）已知函數.（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當時，求函數的零點個數;21．（12分）已知函數，.（1）若，當時，求函數的極值.（2）當時，證明：.22．（10分）(1)已知直線經過點，傾斜角.設與圓相交與兩點A，B，求點P到兩點的距離之積.(2)在極坐標系中，圓C的方程為，直線的方程為.①若直線過圓C的圓心，求實數的值；②若，求直線被圓C所截得的弦長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：利用向量的數量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．2、C【解析】

分兩步，第一步，將每一個家庭的內部成員進行全排列；第二步，將這三個家庭進行排列【詳解】先將每一個家庭的內部成員進行全排列，有種可能然后將這三個家庭（家庭當成一個整體）進行排列，有種可能所以共有種情況故選：C【點睛】本題考查的是排列問題，相鄰問題常用捆綁法解決.3、A【解析】

利用函數的奇偶性以及函數的周期性轉化求解即可．【詳解】因為f（x）是奇函數，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．【點睛】本題考查函數的奇偶性以及函數的周期性的應用，考查計算能力．4、A【解析】設所求直線為，由直線與圓相切得，，解得．所以直線方程為或．選A.5、A【解析】令g(x)=t,則方程f(t)=λ的解有3個，由圖象可得，0<λ<1.且三個解分別為，則，，均有兩個不相等的實根，則△1>0,且△2>0,且△3>0，即16?4(2+5λ)>0且16?4(2+3λ)>0,解得，當0<λ<時,△3=16?4(1+4λ?)>0即3?4λ+>0恒成立，故λ的取值范圍為(0,).故選D.點睛：已知函數零點的個數（方程根的個數）求參數值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解，對于一些比較復雜的函數的零點問題常用此方法求解．本題中在結合函數圖象分析得基礎上還用到了方程根的分布的有關知識．6、D【解析】

函數的零點就是方程的根，根據存在零點與方程根的關系，轉化為兩個函數交點問題，數形結合得到不等式，解得即可．【詳解】函數存在零點，等價于方程有解，即有解，令，則，方程等價于與有交點，函數恒過定點（0,0），當時，與圖象恒有交點，排除A，B，C選項；又當時，恰好滿足時，，此時與圖象恒有交點，符合題意；故選：D.【點睛】本題考查函數的零點與方程根的關系，此類問題通常將零點問題轉化成函數交點問題，利用數形結合思想、分類討論思想，求參數的范圍，屬于較難題.7、B【解析】將圓分組：第一組：○●，有個圓；第二組：○○●，有個圓；第三組：○○○●，有個，…，每組圓的總個數構成了一個等差數列，前組圓的總個數為，令，解得，即包含整組，故含有●的個數是個,故選B.【方法點睛】本題考查等差數列的求和公式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.8、C【解析】

基本事件總數，在所有選項中某學生選擇考歷史和化學包含的基本事件總數，由此能求出在所有選項中某學生選擇考歷史和化學的概率．【詳解】湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數學、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學、地理、政治四科中選考兩門，基本事件總數，在所有選項中某學生選擇考歷史和化學包含的基本事件總數，在所有選項中某學生選擇考歷史和化學的概率為．故選．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、C【解析】

由的圖象可以得出在各區(qū)間的正負，然后可得在各區(qū)間的單調性，進而可得極值.【詳解】由圖象可知：當和時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則.所以在上單調遞減；在上單調遞增；在上單調遞減.所以的極小值為，極大值為.故選C.【點睛】本題考查導數與函數單調性的關系，解題的突破點是由已知函數的圖象得出的正負性.10、A【解析】

利用集合的交集運算進行求解即可【詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A【點睛】求解集合基本運算時，需注意每個集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點集還是數集等11、B【解析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【點睛】本題考查角所在象限的判斷，解題的關鍵要結合已知條件判斷出角的三角函數值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.12、A【解析】

先利用定積分計算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【詳解】曲線分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【點睛】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先從三個集合中各取一個元素，計算出所構成的點的總數，再減去兩個坐標為時點的個數，即可得出結果.【詳解】集合，，，從這三個集合中各選一個元素構成空間直角坐標系中的點的個數為，其中點的坐標中有兩個的點為、、，共個，在選的時候重復一次，因此，確定不同點的坐標個數為.故答案為：.【點睛】本題考查排列組合思想的應用，解題時要注意元素的重復，結合間接法求解，考查計算能力，屬于中等題.14、(－∞，6]【解析】由題意可設，則當時，；當時，；當時，不等式可化為。在平面直角坐標系中畫出函數的圖像如圖，結合圖像可知當，不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是，應填答案。15、【解析】

基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．16、4；【解析】

因為，即，所以，因為已知，N*，所以，，繼而討論可得結果．【詳解】因為，即，所以，因為已知，N*，所以，，又，故有以下情況：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4個．【點睛】本題考查數論中的計數問題，是創(chuàng)新型問題，對綜合能力的考查要求較高．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4（3）1，【解析】

分析：（1）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標，可得拋物線的焦點坐標，從而可得拋物線方程；（2）設點在拋物線的準線上的射影為點，根據拋物線定義知,要使的值最小，必三點共線，從而可得結果；（3），設，，根據焦半徑公式可得，利用韋達定理化簡可得結果.詳解：（1）由已知易得，則求拋物線的標準方程C為.（2）設點P在拋物線C的準線上的攝影為點B，根據拋物線定義知要使的值最小，必三點共線.可得，.即此時.（3），設所以.點睛：本題主要考查拋物線的標準方程和拋物線的簡單性質及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關的最值問題常常實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化：(1)將拋物線上的點到準線的距化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到焦點的距離轉化為到準線的距離，再根據幾何意義解題的.18、（1）異面直線與所成角為；（2）與平面所成角的正弦值為；（3）二面角的大小為，的值為.【解析】分析：（1）由題意可得和的坐標，可得夾角的余弦值；（2）求出平面的法向量，即可求出答案；（3）設，表示出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的大小為，即可求出t.詳解：（1）當時，，，，，，則，，故，所以異面直線與所成角為．（2）當時，，，，，，則，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，設與平面所成角為，因為，則，所以與平面所成角的正弦值為．（3）由得，，，設平面的法向量，則由得，不妨取，則，此時，又平面的法向量，故，解得，由圖形得二面角大于，所以符合題意．所以二面角的大小為，的值為．點睛：本題考查空間向量的數量積和模長公式.19、（I）（II）有足夠的理由判斷這批產品中優(yōu)質品率滿足生產合同的要求，詳見解析【解析】

（Ⅰ）10件樣品中優(yōu)質品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質品數為，則，計算得到答案.（Ⅱ）記這種產品的質量指標為，由題意知,得到答案.【詳解】（I）10件樣品中優(yōu)質品的頻率為，記任取3件，優(yōu)質品數為，則，（II）記這種產品的質量指標為，由題意知則∵∴有足夠的理由判斷這批產品中優(yōu)質品率滿足生產合同的要求.【點睛】本題考查了二項分布，正態(tài)分布，意在考查學生的應用能力和計算能力.20、（1）（2）函數零點個數為兩個【解析】

（1）根據導數的幾何意義，即可求解曲線在原點處的切線方程；（2）由（1），求得函數的單調性，分類討論，即可求解函數的零點個數．【詳解】（1）由題意，函數，則，則，從而曲線在原點處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，當時，恒成立，所以在上沒有零點；當時，函數在區(qū)間單調遞減，且，存在唯一零點；當時，函數在區(qū)間單調遞增，且，存在唯一零點．綜上，當時，函數零點個數為兩個.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義求解曲線在某點處的