工程科技光纖的模式理論課件

光纖傳輸原理王雪珍1光纖傳輸原理王雪珍11.《光纖通信》劉增基等西安電子科技大學(xué)出版社2.《傳輸光學(xué)》【美】D.Marcuse著人民郵電出版社3.《導(dǎo)波光學(xué)》范崇澄彭吉虎著北京理工大學(xué)出版社4.《通信光纖》【日】大越孝敬等著人民郵電出版社參考書21.《光纖通信》劉增基等主要內(nèi)容波動光學(xué)基礎(chǔ)圓柱坐標(biāo)系中波動方程的建立階躍光纖中的模式分析多模漸變型光纖的模式特性單模光纖的模式特性光纖模式理論概述階躍光纖中電磁場分量的表達(dá)式用波動理論研究用幾何光學(xué)方法研究射線方程的解3主要內(nèi)容波動光學(xué)基礎(chǔ)圓柱坐標(biāo)系中波動方程的建立階躍光纖中的模射線方程的解用幾何光學(xué)方法分析漸變型多模光纖要求解射線方程，射線方程一般形式為

式中，ρ為特定光線的位置矢量，s為從某一固定參考點(diǎn)起的光線長度。選用圓柱坐標(biāo)(r,φ,z)，把漸變型多模光纖的子午面(r-z)示于圖2.5。如式(2.6)所示，一般光纖相對折射率差都很小，光線和中心軸線z的夾角也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圓對稱性和沿軸線的均勻性，n與φ和z無關(guān)。在這些條件下，式(2.7)可簡化為(2.8)(2.7)4射線方程的解用幾何光學(xué)方法分析漸變型多模光纖要求解射線方程，射線方程的解圖2.5漸變型多模光纖的光線傳播原理5射線方程的解圖2.5漸變型多模光纖的解這個二階微分方程，得到光線的軌跡為r(z)=C1sin(Az)+C2cos(Az)(2.10)式中，A=，C1和C2是待定常數(shù)，由邊界條件確定。設(shè)光線以θ0從特定點(diǎn)(z=0,r=ri)入射到光纖，并在任意點(diǎn)(z,r)以θ*從光纖射出。由方程(2.10)及其微分得到(2.9)C2=r(z=0)=ri

C1=(2.11)把式(2.6)和g=2代入式(2.8)得到射線方程的解6解這個二階微分方程，得到光線的軌跡為由圖2.5的入射光得到dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0)把這個近似關(guān)系代入式(2.11)得到由出射光線得到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)，由這個近似關(guān)系和對式(2.10)微分得到

θ*=-An(r)risin(Az)+θ0cos(Az)(2.12b)取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光線軌跡的普遍公式為把C1和C2代入式(2.10)得到r(z)=ricos(Az)+(2.12a)射線方程的解7由圖2.5的入射光得到由出射

rθ*=cos(Az)-An(0)sin(Az)cos(Az)r1這個公式是第三章要討論的自聚焦透鏡的理論依據(jù)。(2.13)8r=cos(Az)r1這個公式是由此可見，漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離z的正弦函數(shù)，對于確定的光纖，其幅度的大小取決于入射角θ0，其周期Λ=2π/A=2πa/，取決于光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)(a,Δ)，而與入射角θ0無關(guān)。自聚焦效應(yīng)為觀察方便，把光線入射點(diǎn)移到中心軸線(z=0,ri=0)，由式(2.12)和式(2.13)得到(2.14a)

θ*=θ0cos(Az)(2.14b)這說明不同入射角相應(yīng)的光線，雖然經(jīng)歷的路程不同，但是最終都會聚在P點(diǎn)上，見圖2.5和圖2.2(b)，這種現(xiàn)象稱為自聚焦(Self-Focusing)效應(yīng)。9由此可見，漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離z如圖2.5，設(shè)在光線傳播軌跡上任意點(diǎn)(z,r)的速度為v(r)，其徑向分量那么光線從O點(diǎn)到P點(diǎn)的時間延遲為(2.15)

漸變型多模光纖具有自聚焦效應(yīng)，不僅不同入射角相應(yīng)的光線會聚在同一點(diǎn)上，而且這些光線的時間延遲也近似相等。10如圖2.5，設(shè)在光線傳播軌跡上任意點(diǎn)(z,和突變型多模光纖的處理相似，取θ0=θc(rm=a)和θ0=0(rm=0)的時間延遲差為Δτ，由式(2.16)得到(2.16)(2.17)由圖2.5可以得到n(0)cosθ0=n(r)cosθ=n(rm)cos0，又v(r)=c/n(r)，利用這些條件，再把式(2.6)代入，式(2.15)就變成設(shè)，則可得11和突變型多模光纖的處理相似，取θ0=θc(r拋物線折射率分布和雙曲正割折射率分布光纖中的光纖軌跡圖12拋物線折射率分布和雙曲正割折射率分布光纖中的光纖軌跡圖12關(guān)于麥克斯韋方程組13關(guān)于麥克斯韋方程組13有關(guān)麥克斯韋其人(JamesClerkMaxwell1831～1879)

生平簡介：英國物理學(xué)家，1831年6月13日生于英國愛丁堡的一個地主家庭，8歲時，母親去世，在父親的誘導(dǎo)下學(xué)習(xí)科學(xué)，16歲時進(jìn)入愛丁堡大學(xué)，1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)研習(xí)數(shù)學(xué)，1854年以優(yōu)異成績畢業(yè)于該校三一學(xué)院數(shù)學(xué)系，并留校任職。1856年到阿伯丁的馬里沙耳學(xué)院任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦任皇家學(xué)院自然哲學(xué)及天文學(xué)教授。1865年辭去教職還鄉(xiāng)，專心治學(xué)和著述。1871年受聘為劍橋大學(xué)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建該校的第一所物理學(xué)實(shí)驗(yàn)室——卡文迪許實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任主任。1879年11月5日在劍橋逝世，終年只有49歲?？茖W(xué)成就：電磁場理論和光的電磁理論，預(yù)言了電磁波的存在，1873發(fā)表《電磁學(xué)通論》。他建立了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的嚴(yán)格理論，并重復(fù)卡文迪許的實(shí)驗(yàn)，他還發(fā)明了麥克斯韋電橋。運(yùn)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法導(dǎo)出了分子運(yùn)動的麥克斯韋速度分布律，創(chuàng)立了定量色度學(xué)，負(fù)責(zé)建立起卡文迪許實(shí)驗(yàn)室。14有關(guān)麥克斯韋其人(JamesClerkMaxwel積分形式的麥克斯韋方程組及其物理意義電荷可以單獨(dú)存在，電場是有源的磁荷不可以單獨(dú)存在，磁場是無源的變化的磁場產(chǎn)生電場變化的電場產(chǎn)生磁場15積分形式的麥克斯韋方程組及其物理意義電荷可以單獨(dú)存在，電場是微分形式的麥克斯韋方程組及其物理意義電位移矢量起止于存在自由電荷的地方磁場沒有起止點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化會引起環(huán)形電場位移電流和傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生環(huán)形磁場16微分形式的麥克斯韋方程組及其物理意義電位移矢量起止于存在自由物質(zhì)方程（各向同性介質(zhì)中）對于光纖：（1）無傳導(dǎo)電流；（2）無自由電荷；（3）線性各向同性麥克斯韋方程組可行簡化17物質(zhì)方程（各向同性介質(zhì)中）對于光纖：麥克斯韋方程組可行簡化1可得矢量波動方程：當(dāng)可認(rèn)為時，可化為標(biāo)量波動方程

如入射為單色波，時空分離后，可得亥姆霍茲方程18可得矢量波動方程：當(dāng)可認(rèn)為時，可化波動方程亥姆霍茲方程（Helmholtzequation）是一條描述電磁波的橢圓偏微分方程，以德國物理學(xué)家亥姆霍茲的名字命名。亥姆霍茲方程通常出現(xiàn)在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程的物理問題的研究中。因?yàn)樗筒▌臃匠痰年P(guān)系，亥姆霍茲方程出現(xiàn)在物理學(xué)中電磁輻射、地震學(xué)和聲學(xué)研究等問題中。如：電磁場中的

稱為亥姆霍茲齊次方程，是在諧變場的情況下，E波和H波的波動方程。19波動方程亥姆霍茲方程（Helmholtzequa傳播常數(shù)對于上述齊次波動方程，當(dāng)取這些物理量的任一直角分量時，可有下式成立：此式的通解為于是可得其中相位常數(shù)（傳播常數(shù)）衰減常數(shù)傳播常數(shù)表示光波沿i方向傳播單位距離后的相位改變量20傳播常數(shù)對于上述齊次波動方程，當(dāng)取這些物理量的任一直角分量時光纖模式理論概述21光纖模式理論概述21模式——電磁場場形LED、白熾燈LD、點(diǎn)源經(jīng)準(zhǔn)直透鏡的光束光源光纖光斑初始端導(dǎo)波模、輻射模（泄漏模）導(dǎo)波模波導(dǎo)、導(dǎo)波的概念！導(dǎo)波：能量被局限在某個系統(tǒng)內(nèi)部或系統(tǒng)周圍并沿該系統(tǒng)導(dǎo)引的方向傳輸?shù)碾姶挪?。波?dǎo)：凡是能引導(dǎo)和限制電磁波傳輸?shù)南到y(tǒng)，如光纖、矩形波導(dǎo)。22模式——電磁場場形LED、白熾燈LD、點(diǎn)源經(jīng)準(zhǔn)直透鏡的光束光光纖模式的激勵（光的入射）光纖中的模式分布（光線傳播軌跡）模式的傳播速度（光線的時延）模式沿光纖橫截面的場分布光信號的傳輸損耗光信號的畸變模式的偏振特性模式的耦合光波導(dǎo)要研究的主要問題23光纖模式的激勵（光的入射）光波導(dǎo)要研究的主要問題23模式——電磁場場形模式：是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。一給定光纖波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，而外界激勵源只能激勵起光纖中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。24模式——電磁場場形模式：是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。圓柱坐標(biāo)系中波動方程的建立25圓柱坐標(biāo)系中波動方程的建立25光纖波導(dǎo)中亥姆霍茲方程的特征如果算符作用于函數(shù)等于一個常數(shù)g乘以該函數(shù)，則該方程稱為本征方程。其中該函數(shù)稱為算符的本征函數(shù)，g是算符的對應(yīng)于本征函數(shù)的本征值。

波動理論的實(shí)質(zhì)：對于給定的邊界條件求本征方程的解——本征解及其對應(yīng)的本征值，在數(shù)學(xué)上稱之為“本征值問題”。光纖波導(dǎo)中，電磁波在縱向（軸向）以“行波”的形式存在，在橫向上以“駐波”的形式存在。即：場分布在軸向的變化只體現(xiàn)在相位上，場的幅度不隨軸向傳播距離而變化（前提：光纖中無模式耦合，也不存在損耗和增益）26光纖波導(dǎo)中亥姆霍茲方程的特征如果算符作用于函數(shù)等于一個常數(shù)g直角坐標(biāo)系中的波動方程據(jù)此可假設(shè)波導(dǎo)中存在如下形式的模式解根據(jù)麥克斯韋方程組和物質(zhì)方程（無源、各向同性介質(zhì)中）可得出推導(dǎo)過程27直角坐標(biāo)系中的波動方程據(jù)此可假設(shè)波導(dǎo)中存在如下形式的模式解根圓柱坐標(biāo)系中的波動方程——坐標(biāo)變換28圓柱坐標(biāo)系中的波動方程——坐標(biāo)變換28圓柱坐標(biāo)系中的波動方程推導(dǎo)過程29圓柱坐標(biāo)系中的波動方程推導(dǎo)過程29模式及其基本性質(zhì)TEM模TE模TM模HE或EH模光纖中的模式：多數(shù)HE（EH）模，少數(shù)TE（TM）模1.場分布2.縱向傳播常數(shù)3.模式分布4.橫向傳播常數(shù)5.相速度和群速度6.群延時和色散7.偏振特性8.功率流9.正交性30模式及其基本性質(zhì)TEM模光纖中的模式：階躍光纖中的波導(dǎo)方程——求解過程簡化階躍光纖結(jié)構(gòu)用分離變量法解耦在纖芯、包層界面運(yùn)用邊界條件獲得本征方程31階躍光纖中的波導(dǎo)方程——求解過程簡化階躍光纖結(jié)構(gòu)用分離變量法階躍光纖中的波導(dǎo)方程——簡化階躍光纖結(jié)構(gòu)階躍光纖實(shí)際結(jié)構(gòu)求解時建立的對應(yīng)物理模型為什么使用包層光纖而不用裸光纖？32階躍光纖中的波導(dǎo)方程——簡化階躍光纖結(jié)構(gòu)階躍光纖實(shí)際結(jié)構(gòu)階躍光纖中的波導(dǎo)方程——用分離變量法解耦典型的貝塞爾方程利用分離變量法得到簡諧振動方程33階躍光纖中的波導(dǎo)方程——用分離變量法解耦典型的貝塞爾方程利用階躍光纖中的波導(dǎo)方程——用分離變量解耦其中34階躍光纖中的波導(dǎo)方程——用分離變量解耦其中34

貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的總稱。利用柱坐標(biāo)求解涉及圓、球與圓柱內(nèi)的勢場的物理問題時出現(xiàn)的一類特殊函數(shù)。貝塞爾函數(shù)的幾個正整數(shù)階特例早在18世紀(jì)中葉就由瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當(dāng)時引起了數(shù)學(xué)界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數(shù)學(xué)大師對貝塞爾函數(shù)的研究作出過重要貢獻(xiàn)。1817年，德國數(shù)學(xué)家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運(yùn)動問題時，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數(shù)。

補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)(besselfunctions)——?dú)v史35貝塞爾函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一類特殊函數(shù)的總稱。利用柱坐標(biāo)求解涉貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球形域問題中得到的是半奇數(shù)階形式;），因此貝塞爾函數(shù)在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

*在圓柱形波導(dǎo)中的電磁波傳播問題；

*圓柱體中的熱傳導(dǎo)問題；

*圓形（或環(huán)形）薄膜的振動模態(tài)分析問題；

在其他一些領(lǐng)域，貝塞爾函數(shù)也相當(dāng)有用。譬如在信號處理中的調(diào)頻合成（FMsynthesis）或凱澤窗（Kaiserwindow）的定義中，都要用到貝塞爾函數(shù)。

補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)(besselfunctions)——現(xiàn)實(shí)背景和應(yīng)用范圍36貝塞爾方程是在柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)下使用分離變量法求解拉普拉斯正態(tài)貝塞爾函數(shù)第一類正態(tài)貝塞爾函數(shù)第二類正態(tài)貝塞爾函數(shù)變態(tài)貝塞爾函數(shù)第一類變態(tài)貝塞爾函數(shù)第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)37正態(tài)貝塞爾函數(shù)補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)37補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)——正態(tài)貝塞爾函數(shù)大宗量漸進(jìn)式2.小宗量漸進(jìn)式漸進(jìn)特性4.對稱性38補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)——正態(tài)貝塞爾函數(shù)3839394040補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)——變態(tài)貝塞爾函數(shù)大宗量漸進(jìn)式2.小宗量漸進(jìn)式漸進(jìn)特性4.對稱性41補(bǔ)充：關(guān)于貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)——變態(tài)貝塞爾函數(shù)4142424343圓柱坐標(biāo)系中階躍光纖電磁場分量的表達(dá)式——纖芯中44圓柱坐標(biāo)系中階躍光纖電磁場分量的表達(dá)式——纖芯中44圓柱坐標(biāo)系中階躍光纖電磁場分量的表達(dá)式——包層中45圓柱坐標(biāo)系中階躍光纖電磁場分量的表達(dá)式——包層中45階躍光纖中的波導(dǎo)方程——在纖芯、包層界面運(yùn)用邊界條件46階躍光纖中的波導(dǎo)方程——在纖芯、包層界面運(yùn)用邊界條件46階躍光纖中的波導(dǎo)方程——得到本征方程推導(dǎo)過程47階躍光纖中的波導(dǎo)方程——得到本征方程推導(dǎo)過程47階躍光纖中的模式分析48階躍光纖中的模式分析48階躍光纖中的模式分析——模式分類討論本征方程why但要求解本征方程的精確解，直觀意義不明確并且比較復(fù)雜。下面討論弱導(dǎo)近似下的本征方程。49階躍光纖中的模式分析——模式分類討論本征方程why但要求解本階躍光纖中的模式分析——弱導(dǎo)近似弱導(dǎo)近似——weaklyguidingapproximation此時，本征方程可簡化為50階躍光纖中的模式分析——弱導(dǎo)近似弱導(dǎo)近似——weaklyg階躍光纖中的模式分析——本征方程的統(tǒng)一形式統(tǒng)一形式：推導(dǎo)過程51階躍光纖中的模式分析——本征方程的統(tǒng)一形式統(tǒng)一形式：推導(dǎo)過程階躍光纖中的模式分析——三類模式52階躍光纖中的模式分析——三類模式52階躍光纖中的模式分析——模式截止條件關(guān)注包層中形式為衰減的指數(shù)函數(shù)，所以當(dāng)，電磁波束縛在纖芯中當(dāng)，電磁波從包層輻射出去模式截止條件53階躍光纖中的模式分析——模式截止條件關(guān)注包層中形式為衰減的指5454第一類正態(tài)貝塞爾函數(shù)曲線圖55第一類正態(tài)貝塞爾函數(shù)曲線圖55UcJ0(

uc)=0m=1uc0J1(

uc)=0m=0遠(yuǎn)離截止值截止值uc本征方程本征方程方位角模數(shù)表2.1模截止值和遠(yuǎn)離截止值56Ucuc0遠(yuǎn)離截止值LP01HE11LP11HE21TM01TE01

LP02HE12LP12HE22TM02TE02LP03HE13LP13HE23TM03TE030~2.4052.405~3.8323.832~5.5205.520~7.0167.016~8.6548.654~10.173低階模式V值范圍表2.2低階（v=0和v=1）模式和相應(yīng)的V值范圍57LP01HE110~2.405858圖2.9四個低階模式的電磁場矢量結(jié)構(gòu)圖（橫截面上）

59圖2.9四個低階模式的電磁場矢量結(jié)構(gòu)圖（橫截606061616262相速度和群速度群速度就是指電磁波的包絡(luò)傳播的速度。實(shí)際上就是電磁波實(shí)際前進(jìn)的速度。相速度就是電磁波相位傳播的速度。通俗地講，就是電磁波形狀向前變化的速度。在波導(dǎo)中，相速度往往比群速度要大。形象一點(diǎn)說，你拿電鉆在一個很堅(jiān)固的墻上鉆洞，你會覺得電鉆的鉆頭的螺紋在旋轉(zhuǎn)時似乎以高速前進(jìn)，但這只是你的錯覺，因?yàn)槟憧吹降氖锹菁y的“相速度”，雖然很快，但是你的電鉆卻很慢很慢地向墻內(nèi)推進(jìn)，也就是說電鉆的總的向前推進(jìn)的速度就是“群速度”。如果墻壁很硬，你的電鉆根本就鉆不進(jìn)去，電鉆向前推進(jìn)的速度為“0”，但是你從電鉆的螺紋上看卻總是覺得電鉆是不斷鉆進(jìn)去的。

63相速度和群速度群速度就是指電磁波的包絡(luò)傳播的速度。實(shí)際上就是圖64圖646565圖若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線66圖若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線66767上圖左縱坐標(biāo)表示歸一化傳播常數(shù)右縱坐標(biāo)表示歸一化變量1.對b的范圍的討論（光能量是否被良好地閉鎖在纖芯中）2.對高低階模的討論68上圖左縱坐標(biāo)表示歸一化傳播常數(shù)右縱坐標(biāo)表示歸一化變量1.對b

3.多模漸變型光纖的模式特性傳輸常數(shù)

多模漸變型光纖傳輸常數(shù)的普遍公式為(2.31)式中，n1、Δ、g和k前面已經(jīng)定義了，M是模式總數(shù)，m(β)是傳輸常數(shù)大于β的模式數(shù)。經(jīng)計(jì)算(2.32a)(2.32b)693.多模漸變型光纖的模式特性(2.31)由式(2.32)看到：對于突變型光纖，g→∞，M=V2/2；對于平方律漸變型光纖，g=2，M=V2/4。根據(jù)計(jì)算分析，在漸變型光纖中，凡是徑向模數(shù)l和方位角模數(shù)m的組合滿足q=2l+m(2.33)的模式，都具有相同的傳輸常數(shù)，這些簡并模式稱為模式群。q稱為主模數(shù)，表示模式群的階數(shù)，第q個模式群有2q個模式，把各模式群的簡并度加起來，就得到模式數(shù)m(β)=q2。模式總數(shù)M=Q2，Q稱為最大主模數(shù)，表示模式群總數(shù)。用q和Q代替m(β)和M，從式(2.31)得到第q個模式群的傳輸常數(shù)(2.34)70由式(2.32)看到：q稱為主

光強(qiáng)分布

多模漸變型光纖端面的光強(qiáng)分布(又稱為近場)P(r)主要由折射率分布n(r)決定，(2.35)式中P(0)為纖芯中心(r=0)的光強(qiáng)，C為修正因子。71光強(qiáng)分布多模漸變型光纖端面的光強(qiáng)分布(

4.單模光纖的模式特性