人教A版必修第一冊 5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質 課件（2份打包）

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5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質

第1課時周期性與奇偶性

1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的意義.

2.會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.

3.掌握y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.

【學習目標】

1

自主探究

一、函數(shù)的周期性

1.函數(shù)的周期性

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).

___________叫做這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個，那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.

非零常數(shù)T

f(x＋T)＝f(x)

非零常數(shù)T

最小的正數(shù)

思考周期函數(shù)的周期是否唯一？

答案不唯一.若f(x＋T)＝f(x)，則f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0).

函數(shù)y＝sinxy＝cosx

圖象

定義域RR

周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)

最小正周期_________

奇偶性________________

二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

奇函數(shù)

偶函數(shù)

2π

2π

思考判斷函數(shù)的奇偶性除了定義外，還有判斷函數(shù)奇偶性的方法嗎？

答案若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則該函數(shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則該函數(shù)是偶函數(shù).

2.因為sin(2x＋2π)＝sin2x，所以函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為2π.()

3.函數(shù)y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函數(shù).()

×

×

×

2

經典例題

題型一三角函數(shù)的周期

解：

（1）（2）（3）見課本

（4）方法一定義法

∵f(x)＝|sinx|∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期為π.

方法二圖象法

作出函數(shù)y＝|sinx|的圖象如圖所示.

由圖象可知T＝π.

總結：求三角函數(shù)周期的方法

(1)定義法：利用周期函數(shù)的定義求解.

(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝.

(3)圖象法：畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可.

√

√

題型二三角函數(shù)的奇偶性

√

解析函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱.

所以f(x)是偶函數(shù).

(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性.

①f(x)＝sinxcosx；

解①函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱.

∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)

＝－sinxcosx＝－f(x)，

∴f(x)＝sinxcosx為奇函數(shù).

∴函數(shù)的定義域為{x|x＝2kπ，k∈Z}，定義域關于原點對稱.

當cosx＝1時，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).

總結：判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)判斷函數(shù)奇偶性應把握好的兩個方面：

一看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；

二看f(x)與f(－x)的關系.

(2)對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.

提醒：研究函數(shù)性質應遵循“定義域優(yōu)先”的原則.

√

奇函數(shù)

f(x)的定義域為R，

f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).

題型三三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應用

√

變式

1.在本例條件中，把“偶函數(shù)”變成“奇函數(shù)”，其它不變，則的

值為________.

1

∴T＝π，

總結：三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略

(1)探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解.

(2)判斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)是否具備奇偶性，關鍵是看它能否通過誘導公式轉化為y＝Asinωx(A≠0，ω>0)或y＝Acosωx(A≠0，ω>0)其中的一個.

(2)函數(shù)y＝f(x)是R上的周期為3的偶函數(shù)，且f(－1)＝3，則f(2020)＝___.

3

解析T＝3，且f(x)為偶函數(shù).

又2020＝673×3＋1，

∴f(2020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.

3

當堂達標

√

√

√

解析由y＝|cosx|的圖象知，y＝|cosx|是周期為π的偶函數(shù)，所以A正確.

B中函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不正確.

√

√

√

解析∵f(x)為偶函數(shù)，則需把f(x)化成y＝±cos2x的形式，

∴f(x)＝－cos2x.

又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，

∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù).

1

圖象如圖所示：

(2)此函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求其最小正周期.

解由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期是2π.

1.(1)周期函數(shù)的概念，三角函數(shù)的周期.

(2)三角函數(shù)的奇偶性.

(3)三角函數(shù)周期性、奇偶性的綜合應用.

2.方法歸納：定義法、公式法、數(shù)形結合.

3.常見誤區(qū)：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的周期為T＝.

【課堂小結】

【課后作業(yè)】

對應課后練習(共29張PPT)

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質

第2課時單調性與最值

1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性，會根據(jù)單調性比較三角函數(shù)的大??；

2.會求三角函數(shù)的最值；

3.會求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心。

【學習目標】

1

自主探究

【探究】由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，我們可以先在它的一個周期的區(qū)間里如

討論它的單調性，再利用它的周期性，將單調性擴展到整個定義域.

如圖可以看到：當由增大到

時，曲線逐漸上升，的值由1減小

到-1.的值變化情況如圖所示：

這也就是說，正弦函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間

上單調遞減.

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都單調遞增，其值從-1增

大到1；在每一個閉區(qū)間上都單調遞減，其值從1減小到-1.

由上述結果結合正弦函數(shù)的周期性我們可以知道：

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都單調遞增，其值從-1增大到1；

在每一個閉區(qū)間上都單調遞減，其值從1減小到-1.

同樣的道理結合余弦函數(shù)的周期性我們可以知道：

一、正弦、余弦函數(shù)的單調性

正弦函數(shù)y=sinx,x∈R

①當且僅當x＝＋2kπ，k∈Z時，正弦函數(shù)取得最大值1；

②當且僅當x＝－＋2kπ，k∈Z時，正弦函數(shù)取得最小值－1

二、最大值與最小值

(2)值域:因為正弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度;從正弦曲線可以看出，正弦曲線分布在兩條平行線y=1和y=－1之間，所以

|sinx|≤1,即－1≤sinx≤1,

也就是說，正弦函數(shù)的值域是[－1,1].

同理余弦函數(shù)的值域是[－1,1]

余弦函數(shù)y=cosx,x∈R

①當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最大值1；

②當且僅當x＝2kπ+π，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最小值－1

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1

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1

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【小試牛刀】

2

經典例題

例1判斷下列函數(shù)是否存在最大值、最小值，如果有請寫出，如果沒有請說明理由：

解：(1)令z=2x，使函數(shù)y=-3sinz取得最大值z的集合，就是使y=sinz取得最小值的z的集合

由，得.所以，使函數(shù)y=-3sin2x取得最大值的x的集合是

同理，使函數(shù)y=-3sin2x取得最小值x的集合是

函數(shù)y=-3sin2x的最大值是3，最小值是-3.

題型一求最值

跟蹤訓練1

（1）；

（2）．

解：（1）因為，

正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間上單調遞增，

所以

例2不通過求值，比較下列各數(shù)的大小：

題型二利用單調性比較大小

解：（2），

且余弦函數(shù)在區(qū)間［0，π］上單調遞減，

所以

（1）；

（2）．

例2不通過求值，比較下列各數(shù)的大?。?/p>

跟蹤訓練2

解：令，則．

因為的單調遞增區(qū)間是，

且由得，

所以，函數(shù)的

單調遞增區(qū)間是．

例3求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

題型三求單調區(qū)間

跟蹤訓練3

3

當堂達標

1.

4.

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調性

奇偶性

單調性（單調區(qū)間）

奇函數(shù)

偶函數(shù)

[+2k,+2k],kZ

單調遞增

[+2k,+2k],kZ

單調遞減

[+2k,2k],