數(shù)學(xué)蘇教版（2023）選擇性必修第二冊第6章 空間向量與立體幾何 知識點清單 素材

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第6章知識點清單

目錄

第6章空間向量與立體幾何

6.1空間向量及其運算

6.2空間向量的坐標(biāo)表示

6.3空間向量的應(yīng)用

第6章空間向量與立體幾何

6.1空間向量及其運算

一、空間向量的線性運算

1.空間向量線性運算的意義

=+=a+b，

=-=a-b，

=λa(λ∈R).

2.空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足的運算律

(1)a+b=b+a；

(2)(a+b)+c=a+(b+c)；

(3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).

3.共線向量定理

對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b=λa.

二、空間向量的數(shù)量積

1.空間向量的數(shù)量積

設(shè)a，b是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量|a||b|cos叫作向量a，b的數(shù)量積,記作a·b，即a·b=|a||b|cos.

其中為向量a與向量b的夾角，且0≤≤π.如果=0，那么向量a與b同向；如果=π，那么向量a與b反向；如果=，那么稱a與b互相垂直，并記作a⊥b.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

2.空間向量的數(shù)量積滿足的運算律

(1)a·b=b·a；

(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)；

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

3.投影向量

(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，設(shè)向量=a，=b(如圖)，過點A作AA1⊥OB，垂足為A1.上述由向量a得到向量的變換稱為向量a向向量b投影，向量稱為向量a在向量b上的投影向量.

與平面向量的情形類似，我們有a·b=·b，即向量a，b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積.

(2)如圖，設(shè)向量m=，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量.我們將上述由向量m得到向量的變換稱為向量m向平面α投影，向量稱為向量m在平面α上的投影向量.

對于平面α內(nèi)的任一向量n，有m·n=·n，也就是說，空間向量m，n的數(shù)量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數(shù)量積.

三、共面向量定理

1.共面向量：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.任意兩個空間向量都是共面向量.

2.共面向量定理

如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p=xa+yb.

推論1：空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使=x+y，或?qū)臻g任意一點O，有=+x+y.

推論2：空間中的一點P與不共線的三點A，B，C共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得=x+y+z且x+y+z=1，其中O為空間任意一點.

四、用已知向量表示其他向量

1.用已知向量來表示其他向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

2.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之

和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.

3.在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

五、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

1.求空間向量的數(shù)量積的方法

(1)利用定義求解：a·b=|a||b|cos；

(2)利用a在b上的投影向量m或a在b所在平面上的投影向量n求解，

即a·b=m·b=n·b.

2.空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模：|a|=；

(2)求夾角：cos=；

(3)證明兩向量垂直：a⊥ba·b=0.

六、共面向量定理的應(yīng)用

1.判定空間向量共面和空間四點共面的方法

判定向量共面或空間四點共面，可以利用共面向量定理及其推論(詳見知識點3)，

也可直接利用定義，通過線面平行或直線在平面內(nèi)進行判定.

2.利用共面向量定理證明線面平行

證明AB∥平面α，即證明可由平面α內(nèi)兩個不共線的向量a，b線性表示，即=xa+yb.

6.2空間向量的坐標(biāo)表示

一、空間向量基本定理

1.空間向量基本定理

如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3.

2.基底

如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示.

我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量.

如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底.特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示.

3.推論

設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得=x+y+z.

二、空間向量的坐標(biāo)表示

1.空間直角坐標(biāo)系

如圖(1)，在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標(biāo)軸.這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點O叫作坐標(biāo)原點，三條坐標(biāo)軸中的每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面.

如圖(2)，在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

2.空間向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任意一個向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，a3)，使a=a1i+a2j+a3k.

有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，a3)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，

記作a=(a1，a2，a3).

3.如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任意一點P，我們稱向量為點P的位置向量.于是，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得=xi+yj+zk.因此，向量的坐標(biāo)為=(x，y，z).此時，我們把與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作點P的坐標(biāo)，記作P(x，y，z).

4.空間向量的坐標(biāo)運算

設(shè)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則

(1)a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)；

(2)a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)；

(3)λa=(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；

(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

5.空間向量的平行、垂直、模及夾角

(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).

A，B間的距離AB=.

線段AB的中點M的坐標(biāo)為().

(2)設(shè)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則

名稱滿足條件

向量表示形式坐標(biāo)表示形式

a∥b(a≠0)b=λa(λ∈R)x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R)

a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0

模|a|=|a|=

夾角cos=cos=

三、空間向量基本定理

1.用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底.

(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)向量加法的三角形

法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形和化簡，從

而求出結(jié)果.

(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底可以表示出空間中所有向量，且表示要徹底，表示

的結(jié)果中只能含有基向量，不能含有其他的向量.

四、空間向量的坐標(biāo)表示及其運算

1.確定空間任意一點P的坐標(biāo)的常用方法

(1)垂面法：即找到點P在三條坐標(biāo)軸上的投影.方法是過點P作三個平面分別垂直x

軸，y軸，z軸于A，B，C三點(A，B，C即為點P在三條坐標(biāo)軸上的投影)，點A，B，C在x軸，y軸，z軸上分別對應(yīng)a，b，c，則(a，b，c)就是點P的坐標(biāo).

(2)垂線段法：先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點P1，由的長度及方向確定豎坐標(biāo)z，再在xOy平面上同平面直角坐標(biāo)系中一樣的方法確定P1的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，最后得出點P的坐標(biāo)(x，y，z).

2.用坐標(biāo)表示空間向量的步驟

3.空間向量的坐標(biāo)運算

空間向量的坐標(biāo)運算實質(zhì)是平面向量坐標(biāo)運算的推廣，其運算法則僅是在平面向量運算法則的基礎(chǔ)上增加了豎坐標(biāo)的運算.

空間向量的坐標(biāo)運算法則與平面向量的坐標(biāo)運算法則基本一樣，應(yīng)注意一些計算公式的應(yīng)用.

五、利用空間向量的坐標(biāo)運算解決空間中的平行、垂直問題

1.求解此類問題要抓住兩個核心關(guān)系式

設(shè)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則

(1)a∥b(a≠0)b=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1；

(2)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0.

2.利用空間向量的坐標(biāo)運算解決空間中的平行、垂直問題的方法

（1）建坐標(biāo)系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系

（2）定坐標(biāo)：通過點的坐標(biāo)確定相關(guān)向量的坐標(biāo)

（3）譯語言：將立體幾何問題中的幾何語言“翻譯”成向量中的對應(yīng)語言

（4）用運算：借助向量的運算和性質(zhì)完成幾何問題的證明

（5）得結(jié)論：得出正確的結(jié)論

六、利用空間向量的坐標(biāo)運算求夾角、長度

1.求異面直線夾角的步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)；

(2)求出異面直線a，b的方向向量的坐標(biāo)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)；

(3)利用公式cos=進行求解；

(4)設(shè)異面直線a，b的夾角為θ，則cosθ=|cos|.

2.求空間中兩點間的距離的步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)；

(2)利用公式|AB|=||==求A，B間的距離.

6.3空間向量的應(yīng)用

6.3.1直線的方向向量與平面的法向量

6.3.2空間線面關(guān)系的判定

一、直線的方向向量

1.我們把直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的非零向量叫作直線l的方向向量.

二、平面的法向量

1.平面的法向量

如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面

α，記作n⊥α.此時，我們把向量n叫作平面α的法向量.

2.幾個常用結(jié)論

(1)平面的法向量一定是非零向量；

(2)如果直線l垂直于平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量

(3)如果向量n是平面α的一個法向量，則λn(λ≠0)也是平面α的一個法向量，而且平面α的所有法向量都互相平行；

(4)若向量n是平面α的一個法向量，表示非零向量m的有向線段所在直線與平面α

平行或在平面α內(nèi)，則有n·m=0.

三、空間線面的平行和垂直關(guān)系

1.設(shè)空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有下表：

平行垂直

l1與l2e1∥e2e1⊥e2

l1與α1e1⊥n1e1∥n1

α1與α2n1∥n2n1⊥n2

四、三垂線定理

1.在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

五、求平面的法向量

1.求平面的法向量的步驟

六、利用空間向量證明空間中的平行關(guān)系

1.證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.

2.證明線面平行的方法

(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

(2)在平面內(nèi)找到一個用有向線段表示的向量與直線的方向向量是共線向量；

(3)利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示.

3.證明面面平行的方法

(1)證明兩個平面的法向量平行；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行來證明.

七、利用空間向量證明空間中的垂直關(guān)系

1.證明線線垂直只需證明兩直線的方向向量垂直.

2.利用空間向量證明線面垂直的方法

(1)用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直；

(2)用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；

(3)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.

3.利用空間向量證明面面垂直通常有兩種途徑

(1)利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直來證明；

(2)直接求解兩個平面的法向量，由兩個平面的法向量垂直，得到面面垂直.

八、利用空間向量解決探索性問題

1.空間向量最適用于解決立體幾何中的探索性問題，無須進行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)運算就可進行判斷.

2.用向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題的步驟

(1)根據(jù)題設(shè)條件中的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示出來.

(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在，用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的

垂直或平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合限定的范圍，則存

在，否則不存在.

6.3.3空間角的計算

一、用空間向量研究空間角

空間角向量求法

異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ=|cos|=，θ∈

直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ=|cos|=，θ∈

兩個平面的夾角若平面α，β的法向量分別是n1，n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1，n2的夾角或其補角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ=|cos|=，θ∈

二、用向量法求異面直線所成的角

1.用向量求異面直線所成的角的兩種方法

(1)基向量法

基向量法的一般步驟：

①確定空間的一個基底，進而確定空間兩直線的方向向量.

②求出兩個方向向量夾角的余弦值.

③根據(jù)直線夾角與其方向向量夾角的關(guān)系，得到兩異面直線所成的角.

(2)坐標(biāo)法

利用坐標(biāo)法求異面直線所成的角的一般步驟：

①建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo).

②求出兩條異面直線的方向向量.

③利用向量夾角的余弦公式得出結(jié)論.

2.注意向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)別

當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，此角就是異面直線所成的角；當(dāng)

異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角.

三、用向量法求線面角

1.利用向量法求空間中線面角的一般步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)；

(2)求出直線的方向向量a的坐標(biāo)以及平面的法向量b的坐標(biāo)；

(3)設(shè)線面角為θ，利用sinθ=，結(jié)合θ∈得出結(jié)論.

四、用向量法求二面角的大小

1.利用向量法求二面角的平面角

(1)如圖1，，是二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)分別與l垂直的向量，則二面角α-l-β的大小θ=.

圖1圖2圖3

(2)如圖2，3，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的大小θ=或θ=π-.

2.利用法向量求二面角的大小(或其某個三角函數(shù)值)的步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo).

(2)求出兩個半平面的法向量n1，n2

(3)設(shè)二面角的平面角為θ，則|cosθ|=|cos|.

(4)根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其某個三角函數(shù)值).

6.3.4空間距離的計算

一、點到平面的距離

1.如圖所示，P是平面α外一點，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內(nèi)任意一點，設(shè)n為平面α的法向量，則點P到平面α的距離d=.

二、點到直線的距離

1.如圖所示，P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個與直線l垂直的向量n，則點P到直線l的距離d=.

2.如圖所示，P是直線l外一點，PO⊥l，O為垂足，A是l上任意一點，設(shè)e是直線l的方向向量，記φ=，則點P到直線l的距離d=||sinφ.

三、異面直線間的距離

如圖，設(shè)A，P分別為異面直線a，b上的點，向量n與直線a，b都