第三章應(yīng)變狀態(tài)理論課件

第三章應(yīng)變狀態(tài)理論7/26/20231

外力(或溫度變化)作用下，物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相對運動。物體的這種運動形態(tài)，稱為變形。本章任務(wù)有兩個：1、分析一點的應(yīng)變狀態(tài)；2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。7/26/202323.1位移分量與應(yīng)變分量－幾何方程3.2一點的形變狀態(tài)形變張量3.3轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換3.4主形變形變張量不變量3.5體應(yīng)變應(yīng)變協(xié)調(diào)方程7/26/202333.1位移分量與應(yīng)變分量

－幾何方程7/26/20234在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說來各點的位移不同。7/26/20235如果各點的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移；如果各點的位移不同，但各點間的相對距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動等剛體移動。7/26/20236如果各點(或部分點）間的相對距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長度的變化，稱為線應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。7/26/20237我們從物體中取出x方向上長dx的線段PA，變形后為P‘A’，P‘點的位移為(u,v)，A’點x方向的位移為y方向上的位移為dxdx7/26/20238PA的正應(yīng)變在小變形時是由x方向的位移所引起的，因此PA正應(yīng)變?yōu)镻A的轉(zhuǎn)角為dxdxα7/26/20239我們從物體中取出y方向上長dy的線段PB，變形后為P'B'，B'點y方向的位移為x方向上的位移為PB的正應(yīng)變在小變形時是由y方向的位移所引起的，因此PB正應(yīng)變?yōu)椋篜B的轉(zhuǎn)角為：7/26/202310線段PA的轉(zhuǎn)角是線段PB的轉(zhuǎn)角是于是，直角APB的改變量為A有時用張量分量PAB7/26/202311這樣，平面上一點的變形我們用該點x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化來描述，稱為應(yīng)變分量，也就是所說的幾何方程。從幾何方程可見，當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。思考題：當形變分量完全確定時，位移分量是否能完全確定。7/26/202312同樣，空間一點的變形我們用該點x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化－切應(yīng)變來描述。張量形式為7/26/202313空間的應(yīng)變分量共九個分量，是一個對稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標變換規(guī)則，同樣存在著三個互相垂直的主方向，對應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L方體。在主方向構(gòu)成的坐標系中，張量分量構(gòu)成對角陣，切應(yīng)變分量為零。7/26/202314物體除形變外，還存在轉(zhuǎn)動、剛體位移：（a）均勻形變：u、v、w是線性函數(shù)，稱為均勻形變；（b）剛體位移：“形變?yōu)榱恪睍r的位移，即是“與形變無關(guān)的位移”；（c）純形變：形變分量不等于零，而轉(zhuǎn)動分量等于零。7/26/2023153.2一點的形變狀態(tài)，形變張量7/26/202316

相對位移張量6個應(yīng)變分量是通過位移分量的9個一階偏導，即：引入其中為那勃勒算子，是位移矢量，不難

算得的3個分量為:7/26/202317這里的稱為轉(zhuǎn)動矢量，而，，稱為轉(zhuǎn)動分量。由此，可將相對位移張量分解為兩個張量：=+7/26/202318如物體中一點M的形變分量為

則相對位移張量（非對稱）可分解為應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動張量。

上式，等號右邊第一項為對稱張量，表示微元體的純變形，稱為應(yīng)變張量，第二項為反對稱張量，它表示微元體的剛體轉(zhuǎn)動，即表示物體變形后微元體的方位變化。7/26/202319

3.3轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換

x

y

z

設(shè)在坐標軸oxyz下，物體內(nèi)某一點的6個應(yīng)變分量為?，F(xiàn)使坐標軸旋轉(zhuǎn)一個角度，新老坐標的關(guān)系為：

其中表示新坐標軸對老坐標軸的方向余弦。

7/26/202320位移矢量在新坐標系中的3個分量分別為：

其中為3個新坐標軸的單位矢量。利用方向?qū)?shù)公式:7/26/202321同理，可求其它五個應(yīng)變分量。經(jīng)整理可得：

于是新坐標系中的應(yīng)變分量為7/26/202322同理，可以給出某一點沿任意方向微分線段的伸長率

張量式表示為7/26/2023233.4主形變，形變張量不變量7/26/202324與應(yīng)力狀態(tài)相類似，把切應(yīng)變等于零的面稱為主平面。主平面的法線方向稱為主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)變就是主應(yīng)變。同樣存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量。7/26/2023253.5體應(yīng)變應(yīng)變協(xié)調(diào)方程7/26/202326體應(yīng)變：物體變形后單位體積的改變。

如給定的六面體，其微分體積為其變形后的體積為：則體應(yīng)變?yōu)?/26/202327又可表示為：對于某一初始連續(xù)的物體，按某一應(yīng)變狀態(tài)變形后必須保持其整體性和連續(xù)性，即物體既不開裂，又不重疊，此時所給定的應(yīng)變狀態(tài)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的。7/26/202328

從數(shù)學的觀點說，要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)。如出現(xiàn)了開裂，位移函數(shù)就會出現(xiàn)間斷；出現(xiàn)了重疊，位移函數(shù)就不可能為單值。因此，為保持物體變形后的連續(xù)性，各應(yīng)變分量之間，必須有一定的關(guān)系。7/26/202329由前面的討論可知，在小變形情況下的六個應(yīng)變分量是通過六個幾何方程與三個位移函數(shù)相聯(lián)系的。如已知位移分量，極易通過幾何方程求得各個應(yīng)變分量。但反過來，如給定一組應(yīng)變，幾何方程是關(guān)于未知位移函數(shù)的微分方程組，其中包含了六個方程，但僅三個未知函數(shù)。由于方程的個數(shù)超過了未知數(shù)的個數(shù)，如任意給定，則幾何方程不一定有解，僅當，滿足某種可積條件，或稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時，才能由幾何幾何方程積分得到單值連續(xù)的位移場。7/26/202330