2021年湖南省邵陽市兩市鎮(zhèn)第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年湖南省邵陽市兩市鎮(zhèn)第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為（）A． B．1 C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【分析】由拋物線方程可求得準(zhǔn)線方程，進(jìn)而根據(jù)其定義得知4+=5，求得p．【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣，由拋物線的定義知4+=5，解得P=2．故選C2.已知是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像的對稱軸是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先由題意得到關(guān)于軸對稱，再根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于軸對稱，又可由向左平移個單位得到；所以函數(shù)的圖像的對稱軸是.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性、奇偶性，以及函數(shù)平移問題，熟記函數(shù)的性質(zhì)以及平移原則即可，屬于?？碱}型.3.給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：①“若”類比推出“”②“若”類比推出“若”③“若”類比推出“若”

其中類比結(jié)論正確的個數(shù)有 （

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A4.平面與平面平行的條件可以是（

）A.內(nèi)有無窮多條直線都與平行B.直線∥，∥，且直線不在平面內(nèi)，也不在平面內(nèi)C.直線，直線，且∥，∥D.內(nèi)的任何直線都與平行參考答案：D【分析】對每一個選項(xiàng)逐一分析得解.【詳解】對于選項(xiàng)A，內(nèi)有無窮多條直線都與平行，則可能與平行或相交，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B,直線∥，∥，且直線不在平面內(nèi)，也不在平面內(nèi),則可能與平行或相交，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C,直線，直線，且∥，∥,則可能與平行或相交，所以該選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)D,內(nèi)的任何直線都與平行,所以，所以該選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查面面平行的判斷證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理空間想象能力.5.極坐標(biāo)方程表示的圖形是（

）A．兩個圓

B．兩條直線C．一個圓和一條射線 C．一條直線和一條射線參考答案：C6.等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，則=___時，取到最大值

（

）A、4或5

B、4

C、3

D、2參考答案：B7.用反證法證明命題：“,,,且,則中至少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為()A．中至少有一個正數(shù)

B．全為正數(shù)C．全都大于等于0

D．中至多有一個負(fù)數(shù)參考答案：B8.橢圓上一動點(diǎn)P，圓E：（x﹣1）2+y2=1，過圓心E任意作一條直線與圓E交于A，B兩點(diǎn)，圓F：（x+1）2+y2=1，過圓心F任意作一條直線與圓F交于C，D兩點(diǎn)，則最小值(

)A．4 B．6 C．8 D．9參考答案：B考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：如圖所示，由于=，=，=，代入可得=﹣1，同理可得：=﹣1．由于=4，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答：解：如圖所示，∵=，=，=，∴=（）?（）=++=﹣1，同理可得：=﹣1．∵=4，∴+=﹣1+﹣1=+﹣2≥﹣2=6．當(dāng)且僅當(dāng)==2時取等號．∴+最小值是6．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的三角形法則、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題9.某廠生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的成本(元)與生產(chǎn)過程中的廢品率(%)的回歸方程為,下列說法正確的是

(

)

A.廢品率每增加,成本每噸增加元

B.廢品率每增加,成本每噸增加C.廢品率每增加,成本每噸增加元

D.廢品率每增加,成本每噸增加元參考答案：C略10.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線,及直線x=a,與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則的值是（）A、

B、

C、

D、參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件，則的最小值為 ．參考答案：–3；

12.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部為

.參考答案：略13.在三棱錐P﹣ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，Q為底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)Q到三個側(cè)面的距離分別為3、4、5，則過點(diǎn)P和Q的所有球中，表面積最小的球的表面積為

．參考答案：50π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】球．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)Q到三個側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，此時過點(diǎn)P和Q的所有球中，表面積最小的球，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意：點(diǎn)Q到三個側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，內(nèi)部圖形如圖．則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線，過點(diǎn)P和Q的所有球中，此時外接球的表面積最?。?r==．∴r=由球的表面積公式得：S=4πr2=50π故答案為：50π．【點(diǎn)評】本題主要考查空間幾何體的構(gòu)造和組合體的基本關(guān)系．判斷長方體的對角線是過P和Q的所有球中，最小的球是解題的關(guān)鍵．14.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為．參考答案：y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的離心率可得c=a，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得b==2a，再結(jié)合焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，該雙曲線的離心率為，即e==，則有c=a，進(jìn)而b==2a，又由該雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則其漸近線方程為y=±x；故答案為：y=±x．15.若點(diǎn)在曲線上移動，則點(diǎn)與點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_

．參考答案：略16.命題“”的否定是

▲

．參考答案：17.若函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：（3，6）【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得，畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=2+，表示2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）連線的斜率．?dāng)?shù)形結(jié)合求得的范圍，可得z的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個零點(diǎn)，∴，即，畫出可行域，如圖所示：表示△ABC的內(nèi)部區(qū)域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目標(biāo)函數(shù)z=2+，即2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）連線的斜率．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，的最小值趨于KAM==1，的最大值趨于KBM==4，故z的最小值趨于2+1=3，最大值趨于2+4=6，故答案為（3，6）．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃，斜率公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD（Ⅰ）證明：BD⊥PC（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥PC．（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而∠DPO=30°，推導(dǎo)出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC．…解：（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC，知BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．∵四邊形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為AD+BC=×（6+2）=4，于是SABCD=×（6+2）×4=16．在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，∴PD=2OD=6，PA===6，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×16×6=32．…19.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和，，成等比數(shù)列代入公式得到方程，解出答案.(2)據(jù)(1)把通項(xiàng)公式寫出,根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法求得.【詳解】解：(1)，，成等比數(shù)列,則或(舍去)所以（2）【點(diǎn)睛】本題考查了公式法求數(shù)列通項(xiàng)式，裂項(xiàng)求和方法求，屬于基礎(chǔ)題.20.（本題滿分12分）一緝私艇A發(fā)現(xiàn)在北偏東方向,距離12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿東偏南方向逃竄.緝私艇的速度為14nmile/h,若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船,緝私艇應(yīng)沿北偏東的方向去追,.求追及所需的時間和角的正弦值.參考答案：

解:

設(shè)A,C分別表示緝私艇,走私船的位置,設(shè)經(jīng)過

小時后在B處追上,

則有,所以所需時間2小時,21.為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如表：x12345y86542

已知x和y具有線性相關(guān)關(guān)系．（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若年產(chǎn)量為4.5噸，試預(yù)測該農(nóng)產(chǎn)品的價格．（參考公式：）參考答案：（1）；（2）該農(nóng)產(chǎn)品的價格為2.9千元/噸．.【分析】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)先算出，，，，然后利用公式即可求出線性回歸方程.（2）在第（1）問的線性回歸方程中代入x=4.5，解出即為預(yù)測農(nóng)產(chǎn)品價格.【詳解】（1）計算可得，，則，所以y關(guān)于x的線性回歸方程是；（2）當(dāng)x＝4.5時，（千元/噸），∴該農(nóng)產(chǎn)品的價格為2.9千元/噸．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求法，以及線性回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.22.已知橢圓的長軸長為6，焦距為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓的長