2023年山東省濟(jì)南市歷城高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1

1.下列與函數(shù)），=耳定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）

log2r

A.y=2'B.y=log2C.>'=log2D.曠=，

2.已知a=（2sin等,cos等）,B=（Gcos等,2cos學(xué)），函數(shù)在區(qū)間［0,曰］上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

r85、r75、r57、z7》

A?！?）E）C［3,7D.『

3.已知丹，區(qū)是雙曲線。：與一>2=1（?！祇）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)K且垂直于X軸的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),

若|A用=逝，則46的內(nèi)切圓的半徑為（）

V2映百「2夜n2百

A.B.C.-----D.-----

3333

4.一小商販準(zhǔn)備用5（）元錢在一批發(fā)市場(chǎng)購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)4元，乙每件進(jìn)價(jià)7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

UUUUUU

=6

5.在△ABC中，已知A8AC=9，sin3=cosAsinC,^AABC，P為線段上的一點(diǎn)，且

^5G4CB11

CP=*叵「.同叫+”最小值為，)

7萬45V3

A.—+—B.12C.一D.一+——

1233124

6.已知函數(shù)/(無)=x、+sinx+ln(?若/(2a1)>/(0),則,

7的取值范圍為（）

A.[g,+s]B.(0,1)°D.

7.在AABC1中，"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$2=3,S4=10,則$6=()

A.21B.22C.11D.12

9.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃1+力=/(1一x),當(dāng)xe[0,l]時(shí),/(x)=-x+l,函數(shù)g(x)=e+”

(-l<x<3),則函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.2B.4C.5D.6

10.如圖，已知直線/:y=%(x+l)(左>0)與拋物線C:f=4x相交于A,B兩點(diǎn),且4、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的

投影分別是M,N,若|40|=2忸N|,則〃的值是()

TT

11.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+§),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(X)的最小正周期為7T

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)心o1對(duì)稱

C.函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)“X)的圖象可由y=sin2x的圖象向左平移3個(gè)單位長度得到

12.已知正方體ABC。-48GA的棱長為1,平面a與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù)d(0<d<百)，如果正方體

ABC。-44GA的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有〃?個(gè)點(diǎn)到平面a的距離等于d,那么下列結(jié)論中，一定正確的是

A.mw6B.

C.m^4D?mw3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y-2<0

13.設(shè)工、)，滿足約束條件卜一丁+220,若z=2x+y的最小值是—1,則機(jī)的值為.

y+m>0

14.函數(shù)/。)=/-01-。|2］-1|在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是.

15.實(shí)數(shù)x,)，滿足1,如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-2,則工的最小值為.

X

x+y<m

16.設(shè)xeR,貝！|“/>8”是“》>2”的條件.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)為迎接2023年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

S0II6

60133458

7I236777R

RI12459

900123，

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;

(D)從圖中考核成績滿足X?80,89］的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；、

X—85

(HI)記<力表示學(xué)生的考核成績?cè)趨^(qū)間［a,句的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P<1N0.5時(shí)

107

培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=me'

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求曲線>=/(x)在點(diǎn)(。,/(。))處的切線方程;

(2)若/(幻>。在(0,+8)上恒成立，求團(tuán)的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+「

(1)當(dāng)x>l時(shí)，不等式/(x)<0恒成立，求/I的最小值;

⑵設(shè)數(shù)列a,=」〃eN*）,其前"項(xiàng)和為S“，證明：5,“_S“+3＞ln2.

nv74

x=cosa,

20.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線。的參數(shù)方程為。.（。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，不軸的

y=3sintz

正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin6+夕cos9=6.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

jr

（2）若射線加的極坐標(biāo)方程為e=§（夕20）.設(shè)山與。相交于點(diǎn)用，加與/相交于點(diǎn)N,求IMNI.

21.（12分）已知橢圓C：,+m=1（。＞人＞0）的離心率為乎，且經(jīng)過點(diǎn)（-1,亭）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,0）作直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,試問在*軸上是否存在定點(diǎn)。使得直線QA與直線Q8恰

關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

x=1+sl5-acos0

22.（10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的參數(shù)方程是｛,_____

y=2+j5-asin。

為參數(shù)，常數(shù)。＜5）,曲線的極坐標(biāo)方程是。in%+4sine=p.

（1）寫出G的普通方程及G的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線;

（2）若直線/與曲線G，均相切且相切于同一點(diǎn)P，求直線/的極坐標(biāo)方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

分析函數(shù)y=J=的定義域和單調(diào)性，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).

\JX

【詳解】

函數(shù)》=式的定義域?yàn)椋ā悖?00），在（0,+8）上為減函數(shù).

A選項(xiàng)，>=2%'的定義域?yàn)椋?,+力），在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合.

選項(xiàng)，的定義域?yàn)椴环?

Bj=log2^R,

C選項(xiàng)，）；=1082-的定義域?yàn)椋?,+。），在（0,+"）上為減函數(shù)，符合.

D選項(xiàng)，,=）的定義域?yàn)椋?,+8）,不符合.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

Jr47r

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出/（x）=2sin（3x+m）+l,函數(shù)在區(qū)間［0,?。萆锨∮?個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最

63

值點(diǎn)，。%+工=工+左1歡eZ解出，x=—+—,^eZ,再建立不等式求出攵的范圍，進(jìn)而求得。的范圍.

623a）co

【詳解】

解：/（x）=V3sin<yx+2cos—=V3sincox+coscox+1

7t

-2sin（6?x+—）+1

A冗7Z..r._.7CkjV.—x./人、c

令coxH—=—Fk,7i,kwZ,解得對(duì)稱軸x—----1------,keZ,f（0）—2,

623coCD

又函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,：-］恰有3個(gè)極值點(diǎn)，只需--1-----~r~<~—1---

35（0（D55（0CD

75

解得co<—.

42

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.

⑴利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin（ax+0）+，或y=Acos（<yx+0）+f的形式;⑵根據(jù)

自變量的范圍確定（ox+（p的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.

3.B

【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)K的坐標(biāo)，由AB的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形

的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】

由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)耳（-€,0）,由題意可得AB=—=y/2,

a

由8=1,可得ci?

2

所以雙曲線的方程為：工-y2=i

2

所以耳（—G,o）,巴（石,0），

所以S-ABF,=!ABF\F,=!^.26=^

三角形A8F2的周長的C=AB+A6+B6=AB+（2a+AK）+（2a+B6）=4a+2AB=4^+2Q=60

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積S=』-C/=L-6jLr=30r,

22

所以3-\/2r=>/6,

解得r=1,

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角

形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

[4x+7y<50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別x,>利潤為z元，由題意.z=x+1.8y,

[x”N,

畫出可行域如圖所示,

顯然當(dāng)y=—：x+gz經(jīng)過A(2,6)時(shí)，z最大.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷x,)’是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

在AABC中，設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0,可得

7T

C=~,再由已知條件求得a=4,h=3,c=5,考慮建立以AC所在的直線為X軸，以所在的直線為＞軸建

2

立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得'的最小值.

【詳解】

在△ASC中，設(shè)=BC=a,AC=b,

sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

7T

\-0<A<7T/.sinA>0,/.COSC=0,?/0<C<.7T,：.C=—

92

_______口門，,八xhesinA4a

vAB-AC=9?即mcosA=9,又S=一力esmA=6,tanA=--------=-=一,

“2becosA3b

a_4

vS^=^ah=6則ab=12,所以，"b=3,解得，a=4,---------

ABC9力一3'二.C=+〃2=5?

ab=12

以AC所在的直線為工軸，以8C所在的直線為V軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則C（0,0）、4（3,0）、B（0,4）,

P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)4使得Q=AAB=2（-3,4）=（-32,42）（0<2<1）,

.-.CP=04+^=(3-3/1,42),

設(shè)錄CACB

同，行同，則,卜同=1,.?.q=(l,0),02=(。，1)，

CACBx=3—34

?：CP^xxei+ye2=(x,y)t,>,消去4得4x+3y=12,.?.'+2=1,

y=4A34

11)3xy7c—+2=",

所以，—+——+——+—+——>2

xy*y)3y4x123y4x12312

當(dāng)且僅當(dāng)x=Y3y時(shí)，等號(hào)成立,

2-

11J37

因此，一+一的最小值為t+

xy312

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，

CA

解題的關(guān)鍵是理解閆是一個(gè)單位向量，從而可用％、）'表示而，建立x、y與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)

鍵點(diǎn)在于由x=3-3%,丁=42發(fā)現(xiàn)4%+3丁=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計(jì)算能力，屬

于難題.

6.C

【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

【詳解】

由匕^>0得

l-x

ij-v*2

在時(shí)，y=x，是增函數(shù)，y=sinx是增函數(shù)，y=\n--=ln(-l+——)是增函數(shù)，

l-xl-x

:./(x)=V+sinx+ln(三是增函數(shù)，

.?.由/(2。-1)>/(0)得0<2a—1<1,解得！<。<1.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域

內(nèi)求解.

7.C

【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出cosA<cosB的等價(jià)條件為A>B,再利用大角對(duì)大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出

“cosA<cos3”是"sinA>sin5”的充分必要條件.

【詳解】

?.?余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間(0,〃)上單調(diào)遞減，且0<A<%,0<B<7T,

由cosAccos3,可得4>B,a>b,由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，“cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件的判定，同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，

屬于中等題.

8.A

【解析】

由題意知$2,54-S2,§6-S4成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出§6的值.

【詳解】

解：由｛可｝為等差數(shù)列，可知52,54-52,56-54也成等差數(shù)列,

所以2(邑一52)=邑+56-邑，即2x(10-3)=3+S6—10,解得$6=21.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來，繼而求出首項(xiàng)和

公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.

9.B

【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：“X)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱且關(guān)于)'軸對(duì)稱，函數(shù)g(x)=/T(-1<^<3)的圖像也關(guān)

于x=l對(duì)稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則“X)與g(x)的圖像所有

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.

【詳解】

由偶函數(shù)“X)滿足/(l+x)=/(l-x),

可得/(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱且關(guān)于了軸對(duì)稱，

函數(shù)g(x)=e*"(-l<x<3)的圖像也關(guān)于x=l對(duì)稱，

-1L：

函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)g(x)=e-Z(-1<X<3)的圖像的位置關(guān)系如圖所示，

可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

則“X)與g(x)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.C

【解析】

直線y=R(x+1)(%>0)恒過定點(diǎn)P(-1,0),由此推導(dǎo)出|?；?JA用，由此能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而能求出k的值.

【詳解】

設(shè)拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為/:x=—1,

直線y=左(》+1)(左＞0)恒過定點(diǎn)P(-LO),

如圖過A、5分別作AM，/于M,BN上1于N,

由|AM|=2|8N|,貝!||E4|=2|FB|,

點(diǎn)B為A尸的中點(diǎn)、連接08,則|06|=；|A司，

|OB|=\BF\,點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為;，

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為把耳；,忘［代入直線.y=Z(x+l)(女＞0),

解得k=述,

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬

于中檔題.

11.D

【解析】

/7TJITTTT

由T=，可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)犬=上時(shí)，2%+上=2可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；

co1232

y=sin2(x+m卜/(x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

由題知/(x)=cos(2x+(),最小正周期7=整=兀，所以A正確；當(dāng)％=限時(shí)，

TTjrJII5JJ71l)

2x+-=-,所以B正確；當(dāng)XG2x+yGI7C,—I,所以C正確由y=sin2x

323

的圖象向左平移方個(gè)單位，得＞=5皿2卜+目=$42%+"卜5抽［2》+5-三）=

cos（2x-］卜/.（X）,所以D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.

12.B

【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.

【詳解】

如圖（1）恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面a的距離為d；如圖（2）恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面a的距離為d；如圖（3）恰好有6個(gè)

點(diǎn)到平面a的距離為d.

所以本題答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn)，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力

和知識(shí)方法的遷移能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由z=2x+），得），=-2x+z,顯然直線過時(shí)，z最小,

代入求出〃？的值即可.

【詳解】

x+y-2<0

作出不等式組工-y+220所表示的可行域如下圖所示

y+7/7>0

2x+r'

y+，〃=0

x-y+2=0x=-tn-2/、

聯(lián)立｛-c,解得《，則點(diǎn)A（-〃?-2,一根）.

y+m=O[y=-m

由z=2x+y得y=-2x+z,顯然當(dāng)直線y=-2x+z過A（-加一2,一加）時(shí)，該直線>軸上的截距最小，此時(shí)工最小,

解得/n=-l.

故答案為：—1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題.

14.[l—,e—ij

【解析】

設(shè)』一；,.―；，；｝設(shè)g⑺=/'_廿，函數(shù)為奇函數(shù)，gp）=e?+e9〉0，函數(shù)單調(diào)遞增，

g'（0）=2&<2（e-l）,畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)2G（功<2（e-l）,解得答案.

【詳解】

f（x）=ex-e'~x-b\2x-\\=e'-e''x-2bx--^,設(shè).=%—^,?則X=/+；.

原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=%+'_%-'一切小即%+'_ef=2即有兩個(gè)解?

111I

設(shè)g（f）=e5+'_/T,則g（T）=e2T_/+'=_g?）,函數(shù)為奇函數(shù).

g⑺=*+土'>0,函數(shù)單調(diào)遞增，g(o)=()，gg)=e—1,g(-￡|=l—e.

當(dāng)匕=0時(shí)，易知不成立；

當(dāng)b>0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，考慮xNO時(shí)的情況，g'(O)=2&<2(e-1),

畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故2&<2b<2(e—l),即&<b<e-1,

根據(jù)對(duì)稱性知：——

故答案為：(l—e,-&)U(Q，e-l).

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

I

15.-

7

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為一2,確定出機(jī)的值，進(jìn)而確定出c點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合

目標(biāo)函數(shù)上幾何意義，從而求得結(jié)果.

X

【詳解】

先做｛一，的區(qū)域如圖可知在三角形A5c區(qū)域內(nèi)，

\y<2x-l

y=2x+l

由2=%—)，得丁=*一Z可知，直線的截距最大時(shí)，Z取得最小值，

此時(shí)直線為y=x_(-2)=x+2,

作出直線y=x+2,交y=2x-l于A點(diǎn)，

由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線x+y=〃?也過A點(diǎn)，

y=2x-lfx=3

由「,得〈，代入》+)=加，得m=3+5=8,

y=x+21y=5

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,1).

2等價(jià)于點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)連線的斜率，

X

所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)c時(shí)，2取得最小值，最小值為:，

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，注意正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)

合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.

16.充分必要

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

當(dāng)d>8時(shí)，有x>2,故“d>8”是“x>2”的充分條件.

當(dāng)x>2時(shí)，有1>8,故“丁>8”是。>2”的必要條件.

故>8”是“x>2”的充分必要條件，

故答案為：充分必要.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利

用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來判斷，本題屬于容易題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

73

17.(I)—(ID-<m)見解析

305

【解析】

(I)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(H)結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可;

X—85

(m)求出滿足一^二<1的成績有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：(I)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件A，

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，

7

所以所求概率P(A)約為歷

(D)設(shè)從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，

至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件B,

因?yàn)楸碇谐煽冊(cè)冢?0,89］的6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，

所以基本事件空間Q包含15個(gè)基本事件，事件3包含9個(gè)基本事件，

93

所以23)=百=S

(ni)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足三含卜1的成績有16個(gè)，

x—85J〉0.5

所以P<1

1073015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

18.(1)y=—x；(2)[2,+co)

【解析】

(1)機(jī)=1,對(duì)函數(shù)y=/(X)求導(dǎo)，分別求出/(0)和r(0),即可求出f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;

(2)對(duì)f(x)求導(dǎo)，分m>2.0<m<2和機(jī)W0三種情況討論/(x)的單調(diào)性,再結(jié)合/(幻>0在(0,+8)上恒成立，可

求得〃？的取值范圍.

【詳解】

(1)因?yàn)楦?1,所以/(x)=e'-2x—l,所以/'(x)=e'—2,

則/(0)=0,/(0)=一1,故曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=—X.

(2)因?yàn)?(尤)=/求*-2%-〃2,所以/'(幻=,求"一2,

①當(dāng)機(jī)22時(shí),/'(X)>0在(0,+8)上恒成立，則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而/(%)>/(0)=0成立，故力》2符合題意；

②當(dāng)0<加<2時(shí)，令/'(X)<0,解得0<x<In2,即/(%)在10,In工］上單調(diào)遞減，

m\m)

則f1In曰</(0)=0,故()<加<2不符合題意；

③當(dāng)機(jī)<0時(shí)，/(x)=—2<0在(0,m)上恒成立，即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則f(x)</(0)=0,故機(jī)40不

符合題意.

綜上，加的取值范圍為［2,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查了曲線的切線方程的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問題，利用分類討論是解決

本題的較好方法,屬于中檔題.

19.(1)-；(2)證明見解析.

2

【解析】

AA

(1)f(x)=----,分彳2,，0<2<-,4K0三種情況推理即可；

')X222

/、|1+-|+1?|1+-|-1

(2)由(1)可得ln［l+，］<U一L2〃+1即ln(〃+l)-.11

/"<2〃+2(〃+1)，利用累

1m20+12〃("+1)

加法即可得到證明.

【詳解】

(1)由/(x)=lnx+《B-d(4eR),得/⑴=一""［彳一九.

當(dāng)；12萬時(shí)，方程—4/+%一九=0的A=1—4丸240，因此一；If+x—%在區(qū)間

上恒為負(fù)數(shù).所以x>l時(shí)，/(%)<0,函數(shù)〃x)在區(qū)間(1,+℃)上單調(diào)遞減.

又〃1)=0,所以函數(shù)/(x)<0在區(qū)間(1,+co)上恒成立；

當(dāng)0</1<,時(shí)，方程一4/+%一%=。有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿足xJ->一4儲(chǔ)<i<1+川一4儲(chǔ)，

2'2A222

(i+Ji.4.2)

所以函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)f(力在區(qū)間1,—三——上大于零，函數(shù)外力在區(qū)間

24

\7

(1+Ji-422I(1+J]_4丸2

1,————上單增，又/⑴=0,所以函數(shù)/(%)在區(qū)間1,———上恒大于零，不滿足題意;

242X

\7\7

當(dāng)％W0時(shí)，在區(qū)間上/(九)=lnx+；l(J-x)21n%,函數(shù)y=Inx在區(qū)間(l,+=o)

上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間(1，”)上/(x)恒為正數(shù)，不滿足題意；

綜上可知：若%>1時(shí)，不等式/(x)<()恒成立，X的最小值為;.

(2)由第(1)知：若x>l時(shí)，lnx<」仕_*]=(二1)(七°.

2\x)2x

若N.則用+巾m2〃+i

若〃GN>則lnI|l+—3|<--------2---1-+-，--)---------=2—〃(〃；--+-1r)，

即ln("+l)_ln“<:~+J成立.

2n2(72+1)

將〃換成〃+1,得m[(l+〃)+l]Tn(〃+l)〈舅旬+百舟/]成立'即

皿〃+2)-帥+1)<舟+^?

以此類推，得帥+3)-1i+2)〈可治+心，

In2n-ln(2n-l]<.——,

、72(2n-l)4〃'

上述各式相加，得In2〃—In/?=In2<1--------1-------n…H---------1-----,

2〃n+1〃+22n-l4〃

又S["-S“=-^—+-^-+---+-j-+^-?所以S2“-S“+—>ln2?

n+\n+22〃-12〃4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道

難題.

2

20.（1）曲線C的普通方程為1+3_=1；直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0（2）|W|=5^-6

【解析】

X=。cos0

（1）利用消去參數(shù)C,將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式.八，

y=psmO

將直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)（1）求出曲線C的極坐標(biāo)方程，分別聯(lián)立射線m與曲線C以及射線m與直線/的極坐標(biāo)方程，求出門和夕2，

即可求出|MN|.

【詳解】

解：（1）因?yàn)閏.（。為參數(shù)），所以消去參數(shù)得Y+2L=1,

y=3sina9

2

所以曲線C的普通方程為/+匕=1.

9

X-Z7COS0,,八

因?yàn)?八所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0.

y=psm0,

（2）曲線c的極坐標(biāo)方程為22cos2"飛；-8=[.

設(shè)M,N的極徑分別為8和夕2，

將。（220）代入P2cos2。+"黃2=i,解得自=6，

將。=2（P20）代入Psin。"Qcos（9=6,解得2=6百-6.

故|削|=|月一閡=5百一6.

【點(diǎn)睛】