51線性代數第四章線性方程組課件

第四章線性方程組第一節(jié)齊次線性方程組一齊次線性方程組解的性質三應用舉例二基礎解系及其求法四小結１、解向量設有n元齊次線性方程組若記（1）一、齊次線性方程組解的性質則上述方程組（1）可寫成向量方程若稱為方程組（1）的解向量，它也就是向量方程的解．２、齊次線性方程組解的性質（1）若為的解，則也是的解.（2）若為的解，為實數，則也是的解．稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．易知，方程組的全體解向量構成一個向量空間，則使得方程成立，１、基礎解系的定義二、基礎解系及其求法基礎解系，則方程組的通解可表示為：方程組的解空間中，它的某一個部分組②線性相關.①線性無關；則稱為齊次線性方程組的一組基礎解系.滿足：如果為齊次線性方程組的其中為任意實數.２、線性方程組基礎解系的求法設齊次線性方程組的系數矩陣Ａ的秩為ｒ，量線性無關．因此，Ａ的前ｒ個行向又任意ｒ+１個行向量線性相關，所以齊即（１）中的前ｒ個方程與（１）同解.（２）并不妨設Ａ的左上角ｒ階子式次線性方程組的ｍ-ｒ個方程多余.所以對系數矩陣Ａ進行初等行變換，將其化為最簡形所以即（３）于是，（１）的全部解就可以寫成其中是任意實數.根據向量的運算法則，（３）可以整理成為：令（４）為（４）（５）則（５）就為方程組的通解.如果為齊次線性方程組（１）的一個基礎解系.１、證明線性無關.由于ｎ-ｒ個ｎ-ｒ維單位列向量線性無關，所以ｎ-ｒ個ｎ維向量２、證明解空間的任一解都可由線性表示.設為某一解向量，再構造的一個線性組合：由于是的解，故η也是的解.亦線性無關.下證是線性方程組的一組基礎解系.易知：方程組的前ｒ個未知量可由后ｎ－ｒ個未知量唯一確定.所以是齊次線性方程組解空間的一個基.說明１、解空間的基不是唯一的．２、解空間的基又稱為方程組的基礎解系(不唯一)．３、任ｎ-ｒ個線性無關的解向量構成基礎解系．定理ｎ元齊次線性方程組的全體解所構成的集合Ｓ是一個向量空間，當系數矩陣的秩為ｒ時，解空間Ｓ的維數為ｎ-ｒ.當時，線性方程組必有含ｎ-ｒ個向量的基解系（此時解空間只含有零向量，稱為０維向量空間）當時，線性方程組只有零解，故沒有基礎礎解系，此時線性方程組的解可以表示為其中為任意實數，解空間可以表示為例１求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.三、應用舉例解方程組的系數矩陣所以從而基礎解系為通解為解把系數矩陣Ａ用初等行變換變成為例２求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.ERT所以基礎解系為所以線性方程組的通解為例３齊次線性方程組只有零解，則λ滿足（）.例４設ｎ階矩陣Ａ的各行元素之和為0，且秩為的通解為_______________.ｎ－１，則線性方程組分析：則的基礎解系只有一個向量.設的第ｉ個方程為又矩陣Ａ的各行元素之和為0，即為它的一個解向量.的通解為例５設三階方陣Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均為方程的解，（１）求λ.（２）證明解

（１）因為Ｂ≠０，且Ｂ的每一列均為方程的解，所以方程組有非零的解，即方程組的系數行列式等于零.（２）當時，方程組的矩陣為所以則線性方程組基礎解系所含向量的個數為3－2＝1個，四、小結１、對系數矩陣Ａ進行初等變換，將其化為最簡形２、得出，同時也可知方程組的一個基礎解系含有ｎ－ｒ個線性無關的解向量．由于令故為齊次線性方程組的一個基礎解系.就為方程組的通解.第二節(jié)非齊次線性方程組一非齊次線性方程組解的性質二應用舉例三小結１、設n元非齊次線性方程組若記（1）一、非齊次線性方程組解的性質則上述方程組（1）可寫成向量方程（2）若為的解，為的解，又可記非齊次方程組不一定有解，若有解，則稱方程組相２、非齊次線性方程組解的性質（1）若為的解，則是其導出組的解.（２）容，若無解，則稱方程組不相容.與非齊次方程組稱為該非齊次方程組的導出組.也是的解．則也是的解．（3）若都為的解，則對應的齊次方程組其中為其導出組的通解，３、非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解為為非齊次線性方程組的任意一個特解.４、非齊次線性方程組有解的幾個等價命題線性方程組有解，則以下命題等價：向量ｂ可由向量組線性表示.向量組等價.與向量組設ｎ元非齊次線性方程組的系數矩陣為Ａ，增廣１）線性方程組有唯一解定理矩陣為B=(Ab)也可記為，則２）線性方程組有無窮解３）線性方程組無解推論設由向量組Ａ線性表示，但表達式不唯一；時，向量ｂ可由向量組Ａ線性當表示，且表達式唯一；時，向量ｂ不可由向量組Ａ線性表示.時，向量ｂ可當當例１求解下列非齊次線性方程組二、應用舉例解方程組的增廣矩陣為所以線性方程組無解.ERT因所以線性方程組有無窮多解.例２求解下列非齊次線性方程組解方程組的增廣矩陣為~ERT即其中ｃ為任意常數.例３向量組試問，當滿足什么條件時線性表示，且表達式唯一？（１）β可由線性表示，且表達式不唯一？（２）β可由線性表示？（３）β不能由解線性表示，且表達式唯一.時,β可由線性表示.時，β不能由當當且時,β可由線性表示，但表達式不唯一；當且~~思考題設方程組的系數矩陣是是方程組的三個解又且思考題解答四、小結設ｎ元非齊次線性方程組的系數矩陣為Ａ，增廣１）線性方程組有唯一解矩陣為Ｂ，則２）線性方程組有無窮解３）線性方程組無解線性方程組齊次線性方程組非齊次線性方程組導出組基礎解系第四章小結與練習經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverythin