安徽省蕪湖市三山區(qū)三山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

安徽省蕪湖市三山區(qū)三山中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z則的虛部為（）A.i B.－i C.－1 D.1參考答案：D∵，∴z的虛部為1．故選D．4.“x＜1”是“l(fā)og2(x+)＜1”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B5.把化簡(jiǎn)后的結(jié)果是

(）

A．B．

C．D．參考答案：A6.在?ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E為BC的中點(diǎn)，則?=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，代入各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算【解答】解以AB所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（，）=（，），∴=（﹣3，）．==﹣12，故選：D7.tan70°·cos10°(tan20°－1)等于

A．1

B．2

C．－1

D．－2參考答案：C.tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°(·－1)＝·＝＝＝－1.8.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為 A．2 B.-2 C. D.參考答案：A9.設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則 A.2

B.1

C.0

D.參考答案：D10.若R，為虛數(shù)單位，且，則A．， B．，

C．， D．，參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)，則的面積為．參考答案：雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線為，過點(diǎn)且與平行的直線為，則，即，由，解得，即，所以的面積為.12.已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1,F2分別為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則的最小值為

．參考答案：8由已知，，；又雙曲線與橢圓焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，，則雙曲線；在右支上，根據(jù)雙曲線的定義有

，，故的最小值為.

13.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生500名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為_________．參考答案：略14.某個(gè)容量為N的樣本頻率分布直方圖如右圖所示，已知在區(qū)間[4,5)上頻數(shù)為60，則N＝________.參考答案：組距為1，在區(qū)間[4,5)上頻率為1－0.4－0.15－0.10－0.05＝0.3，在區(qū)間[4,5)上頻數(shù)為60，則＝0.3?N＝200.15.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．那么是斐波那契數(shù)到中的第

▲

項(xiàng)．參考答案：201616.設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=8，S6=7，則a7+a8+a9=．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)：若{an}為等比數(shù)列，則Sn，Sn+1，Sn+2，…也成等比數(shù)列．【解答】解：因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比數(shù)列，則S3（S9﹣S6）=（S6﹣S3）2，即8×（S9﹣S6）=（﹣1）2，解得S9﹣S6=，即a7+a8+a9=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，熟練利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，給解題帶來方便．17.已知函數(shù)f（x）=，無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上總是不單調(diào)，則a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6，x＞t，知x＞t時(shí)，f（x）=2x3﹣6x一定存在單調(diào)遞增區(qū)間，從而要使無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào)，必須有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能為增函數(shù)，由此能求出a的取值范圍．【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）=2x3﹣6x，f'（x）=6x2﹣6，x＞t當(dāng)6x2﹣6＞0時(shí)，即x＞1或x＜﹣1，此時(shí)f（x）=2x3﹣6x，為增函數(shù)當(dāng)6x2﹣6＜0時(shí)，﹣1＜x＜1，∵x＞t，∴f（x）=2x3﹣6x一定存在單調(diào)遞增區(qū)間要使無論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）總是不單調(diào)∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能為增函數(shù)∴4a﹣3≤0，∴a≤．故a的取值范圍是（﹣∞，]．故答案為：（﹣∞，]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一點(diǎn)．（1）若PA∥平面BDE，證明：PE＝EC；（2）在（1）的條件下，棱PB上是否存在點(diǎn)M，使直線DM與平面BDE所成角的大小為30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）見解析；（2）在棱上存在點(diǎn)使直線與平面所成角的大小為，此時(shí).【分析】（1）連接交于，連接由平面的性質(zhì)定理得是的中點(diǎn)，即可得出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面所成角的向量法，得出的值.【詳解】（1）連接交于，連接，則是平面與平面的交線.因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn).所以.（2）由已知條件可知，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，.假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，設(shè)，得，.記平面的法向量為，則即取，則，所以.要使直線與平面所成角的大小為，則，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使直線與平面所成角的大小為.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了線與面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，也考查了向量法解決線與面所成角的問題，屬于中檔題.19.（本題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值(＞0)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）如果當(dāng)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（Ⅲ）求證：＞.（注：n!表示1到n連續(xù)n個(gè)正整數(shù)的積參考答案：解．（Ⅰ）定義域，當(dāng)0＜＜1，＞0，，＞1，＜0，處取極大值，則,解得＜＜1.-----------4分（Ⅱ）恒成立，令記單增，1＞0，＞0恒成立，＞0，即在[1，+）..-------------8分（Ⅲ）由（Ⅱ）即＞令＞＞，＞，＞.

＞＞＞

＞.---------14分20.（13分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2，設(shè)l為曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直線l的方程（用x0表示）（2）求直線l在y軸上的截距的取值范圍；（3）設(shè)直線y=a分別與曲線y=f（x）（x∈[0，+∞））和射線y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值及此時(shí)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；（2）由直線l的方程，可令x=0，求出y，再求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)小于等于0，可得函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最值，進(jìn)而得到l在y軸上截距的范圍；（3）設(shè)a=ex﹣x2的解為x1，a=x﹣1的解為x2，可得x2=1+ex1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+ex1﹣x12﹣x1|，x1≥0，設(shè)y=1+ex﹣x2﹣x，二次求出導(dǎo)數(shù)，即可判斷函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ex﹣x2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣x，可得切線的斜率為k=ex0﹣x0，切點(diǎn)為（x0，ex0﹣x02），切線l的方程為y﹣ex0+x02=（ex0﹣x0）（x﹣x0），即為（ex0﹣x0）x﹣y+ex0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直線l：（ex0﹣x0）x﹣y+ex0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=ex0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．則y′=ex0（﹣x0）+x0=x0（1﹣ex0），當(dāng)x0=0時(shí)，1﹣ex0=0，則x0（1﹣ex0）=0；當(dāng)x0＞0時(shí)，1﹣ex0＜0，則x0（1﹣ex0）＜0；當(dāng)x0＜0時(shí)，1﹣ex0＞0，則x0（1﹣ex0）＜0；綜上可得x0（1﹣ex0）≤0恒成立．則y=ex0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上遞減，可得y的最大值為+，最小值為．則直線l在y軸上的截距的取值范圍是[，+]；（3）設(shè)a=ex﹣x2的解為x1，a=x﹣1的解為x2，可得x2=1+ex1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+ex1﹣x12﹣x1|，x1≥0，設(shè)y=1+ex﹣x2﹣x，則y′=ex﹣x﹣1，y′′=ex﹣1，可得ex﹣1≥0，則y′在[0，+∞）遞增，即有1+ex﹣x2﹣x[0，+∞）遞增，可得1+ex﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，則|MN|的最小值為2，此時(shí)a=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查方程思想和分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知ΔABC的面積為2，且滿足，則和的夾角為θ。（1）求θ的取值范圍；（2）求函數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）設(shè)ΔABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則由已知：，，

……4分可得，，所以：

……6分（2）

……8分∵，∴，∴即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以：函數(shù)的取值范圍是

……12分22.某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件．若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n﹣1）千元時(shí)多賣出件，（n∈N*）．（1）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)a=10，b=4000時(shí)廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：應(yīng)用題；壓軸題．分析：對(duì)于（1）中的函數(shù)關(guān)系，設(shè)廣告費(fèi)為n千元時(shí)的銷量為sn，則sn﹣1表示廣告費(fèi)為（n﹣1）元時(shí)的銷量，由題意，sn﹣﹣sn﹣1=，可知數(shù)列{sn}不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差構(gòu)成等比數(shù)列，對(duì)于這類問題一般有以下兩種方法求解：一、直接列式：由題，s=b++++…+=b（2﹣）解法二、利用累差疊加法：，，…，累加結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求Sn（2））b=4000時(shí)，s=4000（2﹣），設(shè)獲利為Tn，則有Tn=s?10﹣1000n=40000（2﹣）﹣1000n，欲使Tn最大，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，代入結(jié)合n為正整數(shù)解不等式可求n，進(jìn)而可求S的最大值解答：（1）解法一、直接列式：由題，s=b++++…+=b（2﹣）（廣告費(fèi)為1千元時(shí)，s=b+；2千元