第4講矩陣的初等變換課件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程大學(xué)數(shù)學(xué)（3）第四講矩陣的初等變換腳本編寫：彭亞新教案制作：彭亞新——線性代數(shù)第二章矩陣?yán)碚摰诙?jié)矩陣的初等變換本節(jié)教學(xué)要求：▲

理解矩陣初等變換的概念?！?/p>

知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。▲

能熟練地運(yùn)用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形和階梯形?！?/p>

理解矩陣的秩的概念。知道初等變換不改變秩的原理?！苁炀毜赜?jì)算矩陣的秩。一.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、階梯形二.矩陣的秩三.矩陣的初等變換第二節(jié)矩陣的初等變換四.初等矩陣一.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、階梯形1.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形2.階梯形矩陣二.矩陣的秩例解例解例解定理1定理2例解例解三.矩陣的初等變換高斯J.C.F.Gauss1777—1855高斯消元法反映在矩陣的運(yùn)算上為:這些就是矩陣關(guān)于“行”的初等變換。對“行”施行的變換稱為“行變換”;對“列”施行的變換稱為“列變換”。

矩陣的初等變換是可逆的。定理獲證保秩性定理告訴我們，可以運(yùn)用初等變換求矩陣的秩。例解如果高興,可以化為標(biāo)準(zhǔn)形。四.初等矩陣初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程初等矩陣的類型——產(chǎn)生過程例例行左列右

高斯J.C.F.Gauss1777—1855高斯是18世紀(jì)末與19世紀(jì)初最偉大的德國數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)遍及純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。高斯的名字是數(shù)學(xué)告別傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的時(shí)代象征?！叭绻覀儼?8世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們想象為一系列的崇山峻嶺，那么最后一座令人肅然起敬的顛峰就是高斯?！备咚贡徽J(rèn)為是歷史上出現(xiàn)的少有的神童。據(jù)傳說，高斯在三歲時(shí)就能發(fā)現(xiàn)父親作帳時(shí)的錯(cuò)誤。高斯7歲入學(xué)，學(xué)習(xí)十分刻苦，常常在小油燈下演算到深夜。十歲時(shí)他的超群的數(shù)學(xué)思維能力就已顯現(xiàn)出來。在當(dāng)?shù)毓舻馁Y助下，不滿15歲的高斯進(jìn)入卡羅琳學(xué)院。他很快就掌握了微積分理論，并在最小二乘法和數(shù)論的二次互反律的研究中取得成果，從而開始了他的數(shù)學(xué)創(chuàng)造生涯。

1795年高斯來到哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)。19歲時(shí)，他解決了僅用直尺和圓規(guī)作出正17邊形的數(shù)學(xué)難題，轟動了當(dāng)時(shí)的整個(gè)數(shù)學(xué)界。22歲高斯證明了當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家想證而不會證明的代數(shù)基本定理，為此他獲得了博士學(xué)位。1807年高斯在哥廷根大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，并任該校天文臺臺長。高斯被認(rèn)為是非歐幾何學(xué)的創(chuàng)始人之一，這是因?yàn)樗亲钕日J(rèn)識到非歐幾何可以用來描述物質(zhì)空間的數(shù)學(xué)家。高斯從15歲時(shí)（1792年）就認(rèn)識到能夠存在一種邏輯幾何思想，在其中歐幾里得的平行公理不成立。1799年底，高斯開始相信歐幾里得的平行公理不能從其余的公理中推出。1813年高斯進(jìn)一步發(fā)展了他的新幾何，并稱之為反歐幾里得幾何，后又稱之為星空幾何，最后才稱為非歐幾里得幾何，簡稱為非歐幾何。高斯深信非歐幾何在邏輯上是相容的，是能夠?qū)嶋H應(yīng)用的，并專門進(jìn)行了實(shí)際測量。高斯生前關(guān)于非歐幾何的筆記、信件等一直沒有發(fā)表。他的“寧可少些，但要好些”的信條使他對自己的發(fā)現(xiàn)力求盡善盡美。他認(rèn)為對非歐幾何的研究還未能達(dá)到這一點(diǎn)，所以一直不愿意發(fā)表這方面的研究成果。直到1855年高斯去世后，這些有關(guān)非歐幾何的研究的成果才被收入到高斯文集中出版，而這已是后來公認(rèn)的非歐幾何創(chuàng)始人羅巴切夫斯基（俄國人，數(shù)學(xué)碩士，喀山大學(xué)的校長）和鮑耶（高斯的大學(xué)同學(xué)、密友，匈牙利人）發(fā)表研究成果30年以后的事了。高斯在數(shù)學(xué)王國里處處留芳，在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域內(nèi)都有卓越的建樹：數(shù)論、超幾何級數(shù)、復(fù)變函數(shù)論、橢圓函數(shù)論、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)、向量分析、微分幾何（只是他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際時(shí)的產(chǎn)物）等等。高斯花費(fèi)較多的時(shí)間和精力研究數(shù)論，他認(rèn)為“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”。他在數(shù)論方面的研究工作對數(shù)論的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。19世紀(jì)，德國在代數(shù)數(shù)論方面取得突飛猛進(jìn)的發(fā)展，是與高斯的貢獻(xiàn)分不開的。高斯除了進(jìn)行純粹數(shù)學(xué)研究外，還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用。他的大量的著作都與天文學(xué)、大地測量學(xué)、物理學(xué)有關(guān)。19世紀(jì)的第一個(gè)凌晨，天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了一顆無尾彗星，為了確定這一發(fā)現(xiàn)，他一連追蹤觀察了41天后因疲勞過度而病倒。當(dāng)皮亞齊將觀測結(jié)果告訴其他天文學(xué)家時(shí)，這顆無尾彗星已在太空中消逝得無影無蹤。高斯（24歲）得知后，經(jīng)過幾個(gè)星期的苦心鉆研，創(chuàng)建了行星軌道計(jì)算方法，根據(jù)計(jì)算結(jié)果重新找到了這顆無尾彗星，顯示了數(shù)學(xué)的威力。高斯在電磁學(xué)、光學(xué)方面也有杰出的貢獻(xiàn)。高斯與韋伯共同享有電磁波發(fā)明者的殊榮。此外，磁通量密度單位就是以高斯的名字命名的。高斯是一位嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)家，工作刻苦、踏實(shí)，精益求精，對待研究的結(jié)果始終是十分慎重的。他生前只發(fā)表了155篇論文，還有大量的研究成果沒有發(fā)表。在清理高斯的遺物時(shí)人們發(fā)現(xiàn)，后來研究的許多數(shù)學(xué)成果是高斯早在半個(gè)世紀(jì)前就已經(jīng)研究過了。由于高斯的過于謹(jǐn)慎和不輕易發(fā)表研究結(jié)果，使得他對當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展沒有作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，產(chǎn)生應(yīng)有的影響。他與青年數(shù)學(xué)家缺少接觸，缺乏思想交流，在他的周圍沒有形成一個(gè)人才濟(jì)濟(jì)，思想活躍的學(xué)派。例如，他稱贊當(dāng)時(shí)的青年數(shù)學(xué)家阿貝爾、狄里克雷等的工作，卻對他們的信件和文章表現(xiàn)冷淡。盡管如此，高斯仍是德國經(jīng)典數(shù)學(xué)的奠基人。德國的數(shù)學(xué)到了魏爾斯特拉斯和希爾伯特時(shí)代才形成了柏林學(xué)派和哥廷根學(xué)派，成為世界數(shù)學(xué)的中心。高斯一生勤奮好學(xué)，多才多藝，喜愛音樂和詩歌。擅長歐洲語言，懂得多個(gè)國家的語言。62歲開始學(xué)習(xí)俄語，達(dá)到能用俄文寫作的水平。晚年還在學(xué)習(xí)梵文。高斯的一生是不平凡的一生，幾乎在數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落里都有他的足跡。后人常用他的事跡和格言來鞭策自己。一百多年來，不少有才華的青年在高斯形象的影響下成長為杰出的數(shù)學(xué)家，并為人類的文化作出了巨大的貢獻(xiàn)。高斯于1855年2月23日逝世，終年78歲。他的墓碑樸實(shí)無華，僅鐫刻“高斯”二字。墓地位于哥廷根附近。