22地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-課件

第2章地理信息系統(tǒng)§2.2地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標轉(zhuǎn)換四空間尺度一地理空間參考解決地球的空間定位與數(shù)學(xué)描述問題。（一）地球形狀與地球橢球（二）坐標系統(tǒng)（三）高程基準一地理空間參考

（一）地球形狀與地球橢球自然地球表面自然地球表面是一個起伏不平，十分不規(guī)則的表面，最高點珠峰（8848.13米），最深處馬里亞那海溝（-11034米。這個高低不平的表面無法用數(shù)學(xué)公式表達，也無法進行計算。那么如何準確表達地球上每一點的絕對位置呢？——找出一個規(guī)則的曲面來代替地球的自然表面。

假設(shè)，當(dāng)海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時，存在著一個從海平面延伸到所有大陸下部、而與地球重力方向處處正交的一個連續(xù)、閉合的水準面，這就是大地水準面。

大地水準面以大地水準面為基準，可以用水準儀完成地球自然表面上任一點高程的測量。地球橢球面——規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面ab基于大地水準面建立地球橢球體模型：

旋轉(zhuǎn)橢球體是地球表面幾何模型中最簡單一類模型，為世界各國普遍采用作為測量工作的基準。我國目前一般采用克拉索夫斯基橢球體作為地球表面幾何模型。主要參數(shù)：長軸、短軸、扁率國際主要的橢球參數(shù)

橢球名稱年代長半徑/m扁率附注

德蘭勃（Delambre）18006,375,6531：334.0法國

埃弗瑞斯(Everest)18306,337,2761:300.801英國

貝賽爾(Bessel)18416,377,3971:299.152德國

克拉克(Clarke)18806,378,2491:293.459英國

海福特(Hayford)19106,378,3881:297.01942年國際第一個推薦值

克拉索夫斯基19406,378,2451:298.3蘇聯(lián)

1967年大地坐標系19676,378,1601:298.2471971年國際第二個推薦值

1975年大地坐標系19756,378,1401:298.2571975年國際第三個推薦值

1980年大地坐標系19796,378,1371:298.2571979年國際第四個推薦值地球表面橢球體海面大地水準面從地球自然表面

大地水準面

地球橢球面

大地基準面：大地基準面是利用特定橢球體對特定地區(qū)地球表面的逼近。因此每個國家或地區(qū)均有各自的大地基準面。

橢球體與大地基準面之間的關(guān)系是一對多的關(guān)系一地理空間參考

（二）坐標系統(tǒng)坐標系統(tǒng)球面坐標系統(tǒng)平面坐標系統(tǒng)天文坐標系大地坐標系空間直角坐標系表示地面點在大地水準面上的位置，它的基準面是大地水準面，它用天文經(jīng)度λ和天文緯度φ兩個參數(shù)來表示地面點在大地體上的位置。球面坐標系統(tǒng)：天文坐標系天文坐標系K(λ,φ)大地測量中以參考橢球面為基準面建立起來的坐標系。地面點的位置用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高程來表示。球面坐標系統(tǒng)：大地坐標系P(L,B,H)LB大地坐標系大地經(jīng)、緯度是根據(jù)起始大地點（大地原點，該點的大地經(jīng)緯度與天文經(jīng)緯度一致）的大地坐標，按大地測量所得的數(shù)據(jù)推算而得的。由于天文坐標和大地坐標選用的基準線和基準面不同，所以同一點的天文坐標與大地坐標不一樣，不過這種差異很小，在普通測量工作中可以忽略。陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)石際寺村大地原點國家大地控制網(wǎng)大地坐標系1954北京坐標系——采用克拉索夫斯基橢球，實質(zhì)上是由原蘇聯(lián)普爾科沃為原點的1942年坐標系的延伸。

1980西安坐標系——采用1975國際橢球，以陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)大地原點為起算點。

參心空間直角坐標系的坐標原點位于參考橢球的中心，Z軸指向參考橢球的北極，X軸指向起始子午面與赤道的交點，Y軸位于赤道面上切按右手系于X軸呈90度夾角。球面坐標系統(tǒng)：空間直角坐標系（參心、地心）地心空間直角坐標系的坐標原點位于地球質(zhì)心。WGS-84坐標系——“WorldGeodeticSystem”(世界大地坐標系）是美國國防局為進行GPS導(dǎo)航定位于1984年建立的地心坐標系，1985年投入使用，采用WGS-84橢球。平面坐標系統(tǒng)=球面坐標系統(tǒng)+投影規(guī)則一地理空間參考

（三）高程基準

1絕對高程。地面點沿垂線方向至大地水準面的距離稱為絕對高程或稱海拔。

高程基準是推算國家統(tǒng)一高程控制網(wǎng)的水準原點的起算依據(jù)，它包括一個水準基面和一個永久性水準原點。我國高程基準：1956年黃海高程系（水準原點高程為72.289m）1985年國家高程基準（國家水準原點高程為72.260m)水準原點1985國家高程基準，72.2604米黃海海面1952-1979年平均海水面為0米青島市觀象山上國家水準原點國家高程控制網(wǎng)是確定地貌地物海拔高程的坐標系統(tǒng)，按控制等級和施測精度分為一、二、三、四等網(wǎng)。目前提供使用的1985國家高程系統(tǒng)共有水準點成果114041個，水準路線長度為416619．1公里。2019年5月，為更好地利用水準原點這一獨特的資源，經(jīng)國家測繪局批準，由專家精確移植水準原點信息數(shù)據(jù)，在青島銀海大世界內(nèi)（也叫銀海國際游艇俱樂部內(nèi)）建起了“中華人民共和國水準零點”。這也是全國唯一的水準零點標志。2相對高程。地面點沿鉛垂線方向至任意假定的

水準面的距離稱為該點的相對高程，亦稱假定高程。

3高差。地面上任意兩點的高程(絕對高程或相對

高程)之差稱為高差。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標轉(zhuǎn)換四空間尺度二空間數(shù)據(jù)投影解決如何把地球曲面信息展布到二維平面。（一）為何要進行投影？（二）地圖投影變形（三）地圖投影的分類（四）常用地圖投影概述（五）地圖投影的選擇地圖投影MapScaleMapdistance

Earthdistance=CurvedEarthGeographiccoordinates:B,L

(Latitude&Longitude)FlatMap

Cartesiancoordinates:x,y(Easting&Northing)(xo,yo)XY二空間數(shù)據(jù)投影

將地球橢球面上的點映射到平面上的方法，稱為地圖投影。1球面坐標不方便進行距離、方位、面積等參數(shù)的量算；2地圖為平面，符合視覺心理，并易于進行距離、方位、面積等量算和各種空間分析。3地球橢球體為不可展曲面；（一）為何要進行投影？地圖投影實質(zhì)：

建立地球橢球面上的點的地理坐標（B，L）與平面上對應(yīng)點的平面坐標（x，y）之間的函數(shù)關(guān)系：

二空間數(shù)據(jù)投影

（二）地圖投影變形將不可展的地球橢球面展開成平面，并且不能有斷裂，則圖形必將在某些地方被拉伸，某些地方被壓縮，故投影變形是不可避免的。長度變形面積變形角度變形二空間數(shù)據(jù)投影

（三）地圖投影的分類變形分類：等角投影：投影前后角度不變等面積投影：投影前后面積不變；任意投影：角度、面積、長度均變形投影面：圓柱投影：投影面為圓柱圓錐投影：投影面為圓錐方位投影：投影面為平面投影面位置：正軸投影：投影面中心軸與地軸相互重合斜軸投影：投影面中心軸與地軸斜向相交橫軸投影：投影面中心軸與地軸相互垂直

相切投影：投影面與橢球體相切相割投影：投影面與橢球體相割二空間數(shù)據(jù)投影

（四）常用地圖投影概述1高斯-克呂格投影2通用墨卡托投影（UTM-UniversalTransverseMercator)3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)1高斯-克呂格投影-等角橫軸切圓柱投影

高斯-克呂格爾投影是德國的C.F.高斯于1822年提出的，后經(jīng)德國的克呂格(J.H.L.Krüger)于1912年加以擴充而完善。設(shè)想一個橢圓柱橫切于地球橢球某一經(jīng)線，根據(jù)等角條件，用解析法將中央經(jīng)線兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)地球橢球體面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到橢圓柱面上，并將此橢圓柱面展為平面所得到的一種等角投影。示意圖如下：高斯-克呂格投影有以下特性：①中央子午線是直線，其長度不變形，離開中央子午線的其他子午線是弧形，凹向中央子午線。離開中央子午線越遠，變形越大。②投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。③離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。④所有經(jīng)線和緯線正交。通常其按經(jīng)差6°或3°分為六度帶或三度帶。六度帶自本初子午線起每隔經(jīng)差6°自西向東分60帶。三度帶是在六度帶的基礎(chǔ)上分成的，自1.5度子午線起每隔經(jīng)差3度自西向東分120帶。我國規(guī)定1:1萬、1:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬比例尺地形圖均采用高斯投影。1:2.5至1:50萬比例尺地形圖采用經(jīng)差6度分帶，1:1萬比例尺地形圖采用經(jīng)差3度分帶。高斯平面直角坐標系坐標原點：赤道和中央子午線的交點。x軸：中央子午線，北方向為正。y軸：赤道投影線，東方向為正。※在計算中為避免Y值出現(xiàn)負值，我國規(guī)定各投影帶內(nèi)縱坐標軸西移500KM。YA=100000mYB=-200000m2通用墨卡托投影（UTM-Universal

TransverseMercator)

——等角橫軸割圓柱投影

圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形。該投影將地球劃分為60個投影帶，自180度經(jīng)線向東每帶經(jīng)差為6度，已被許多國家作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。高斯-克呂格投影的中央經(jīng)線投影后保持長度不變，而UTM投影的比例系數(shù)為0.9996。3蘭勃特等角投影（Lambertconformalconic)

——正軸割圓錐投影由德國數(shù)學(xué)家蘭勃特在1772年擬定。設(shè)想用一個正圓錐割球面兩標準緯線，應(yīng)用等角條件將地圖投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平面。我國比例尺小于1:100萬的地圖通常采用蘭勃特投影。二空間數(shù)據(jù)投影

（五）地圖投影的選擇地圖投影的選擇依據(jù)：1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍2.制圖比例尺3.地圖的內(nèi)容1.制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍地理位置

制圖區(qū)域的地理位置決定了所選擇投影的種類。例如，制圖區(qū)域在極地位置，理所當(dāng)然地選擇正軸方位投影；在赤道附近應(yīng)考慮選擇橫軸方位投影或正軸方位投影；若制圖區(qū)域在中緯地區(qū)，則應(yīng)考慮選擇正軸圓錐投影或斜軸方位投影。選用投影時最好使等變形線與制圖區(qū)域的輪廓形狀基本一致。方位投影的變形線的形狀是以投影中心為圓心的圓形，所以它最適合表示具有圓形輪廓的區(qū)域；當(dāng)制圖區(qū)域沿東西方向延伸且處于中緯地區(qū)時，則宜采用正軸圓錐投影，如中國、美國等。當(dāng)制圖區(qū)域在赤道附近或處于赤道兩側(cè)沿東西方向延伸時，應(yīng)采用正軸圓柱投影，如印度尼西亞。當(dāng)制圖區(qū)域沿南北方向延伸，一般采用橫軸圓柱投影和多圓錐投影，如南美洲的阿根廷、智利。形狀

制圖區(qū)域的范圍大小也影響地圖投影的選擇。當(dāng)制圖區(qū)域范圍不太大時，無論選擇什么投影，制圖區(qū)域范圍內(nèi)各處變形差異都不會太大。有人曾以我國最大的省區(qū)新疆維吾爾自治區(qū)為例，用等角、等積、等距三種正軸圓錐投影作比較，其計算結(jié)果表明，不同緯度的長度變形差別甚微?？梢娖渌^(qū)圖變形差異就更微乎其微了。而對于制圖區(qū)域廣大的大國地圖、大洲地圖、半球圖、世界圖等，則需要慎重地選擇投影。范圍2.制圖比例尺

不同比例尺地圖對精度要求的不同，導(dǎo)致在投影選擇上亦各不相同。以我國為例，大比例尺地形圖，由于要在圖上進行各種量算及精確定位，因此應(yīng)選擇各方面變形都很小的地圖投影，比如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影（如高斯—克呂格投影）。而中小比例尺的省區(qū)圖，由于概括程度高于大比例尺地形圖，因而定位精度相對降低，選用正軸等角、等積、等距的圓錐投影即可滿足用圖要求。3.地圖的內(nèi)容

即使同一個制圖區(qū)域，但因地圖所表現(xiàn)的主題和內(nèi)容不同，因而其地圖投影選擇也應(yīng)有所不同。如交通圖、航海圖、軍用圖等要求方向正確地圖應(yīng)選擇等角投影；而自然地圖和社會經(jīng)濟地圖中的分布圖、類型圖等則要選擇等積投影。再如世界時區(qū)圖，為使時區(qū)的劃分表現(xiàn)得清楚，只能選擇經(jīng)線投影成直線的正軸圓柱投影等。本章內(nèi)容：一地理空間參考二空間數(shù)據(jù)投影三空間坐標轉(zhuǎn)換四空間尺度把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中。三空間坐標轉(zhuǎn)換三空間坐標轉(zhuǎn)換（一）空間直角坐標的轉(zhuǎn)換（二）投影解析轉(zhuǎn)換（三）數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換本章內(nèi)容：一地理空間參考