定積分的概念及性質(zhì)-課件

定積分的概念及性質(zhì)第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

第五章教學(xué)目的與要求:理解定積分的概念了解定積分的幾何意義重點:定積分的概念一、定積分問題舉例1、曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A、矩形面積梯形面積abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積、(四個小矩形)(九個小矩形)觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、播放曲邊梯形如圖所示,曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為解決步驟小結(jié):1)

分割(大化小):在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

以直代曲:(常代變)在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3)求和(近似和):、4)取極限、令則曲邊梯形面積元素法1分割(化整為零)2以直代曲

(以常代變)3求和(積零為整)yxoy=f(x)ab、、分法越細,越接近精確值

曲邊梯形的面積f(i)、元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細、ab、、、分法越細,越接近精確值1分割(化整為零)2以直代曲

(以常代變)3求和(積零為整)

曲邊梯形的面積、f(i)元素法4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細、、分法越細,越接近精確值1分割(化整為零)2以直代曲

(以常代變)3求和(積零為整)

曲邊梯形的面積f(i)Sab、、、S=、、2、變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s、已知速度思路:把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值、解決步驟:1)分割(大化小)、將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)以直代曲(常代變)、得n

個小段過的路程為3)求和(近似和)、4)取極限、上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“分割(大化小),以直代曲(常代變),

求和(近似和),

取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特別乘積和式的極限二、定積分的定義1、定義被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和注意:定理1定理22、可積的充分條件:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值3、定積分的幾何意義各部分面積的代數(shù)和幾何意義:例1利用定義計算定積分解[注]利用得兩端分別相加,得即例2利用定義計算定積分解例3、用定積分表示下列極限:解:說明:依照定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用、證明利用對數(shù)的性質(zhì)得極限運算與對數(shù)運算換序得故對定積分的補充規(guī)定:說明

在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小、1、基本內(nèi)容三、定積分的性質(zhì)證(此性質(zhì)能夠推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1證性質(zhì)2補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若性質(zhì)3(定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性)則證性質(zhì)4性質(zhì)5解令因此性質(zhì)5的推論:證(1)證說明：可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論:(2)證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6解解例4、

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7(定積分中值定理)積分中值公式使即積分中值公式的幾何解釋:說明:

可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣、

積分中值定理對因例5、

計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度、解:

已知自由落體速度為故所求平均速度解由積分中值定理知有使五、小結(jié)１、定積分的實質(zhì):特別和式的極限、２、定積分的思想和方法:分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直(不變)代曲(變)取極限3、定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4、典型問題(１)估計積分值;(２)不計算定積分比較積分大小、考慮題1將和式極限:表示成定積分、考慮題1解答原式考慮題2考慮題2解答例3、P233題34、P233題8(2),(4)題8(4)解:設(shè)則即練習(xí)題1練習(xí)題1答案練習(xí)題2練習(xí)題2答案觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系、觀察下列演示