變量間的相關(guān)關(guān)系

2.3

變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)習(xí)要點1.

什么叫做兩個變量間的相關(guān)關(guān)系?

2.

什么叫做兩個變量間相關(guān)關(guān)系的確定性和不確定性?3.

什么樣的關(guān)系叫兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系?4.

什么叫正相關(guān)關(guān)系?什么叫負(fù)相關(guān)關(guān)系?5.

如何畫兩個變量的散點圖?2.3.1

變量之間的相關(guān)關(guān)系

問題1.

(1)

兩個變量x,y

滿足y

=2x,x、y

之間是否相互影響,它們存在一個什么樣的關(guān)系?(2)

數(shù)學(xué)成績的好壞與物理成績的好壞是否相互有影響,它們之間存在一個什么樣的關(guān)系?(1)和(2)的兩個問題有什么相同和不同?(1)x一變化,y就隨之而變化,且是隨x的2倍同樣,y

一變化,x也就隨著變化,且值確定.變化.(2)數(shù)學(xué)成績不好,物理成績就可能好不起來;數(shù)學(xué)成績好,物理成績就可能會好.數(shù)學(xué)成績的好壞對物理成績有影響.么確定,還與其他因素有關(guān),對有些人影響較大,而但影響有多大,這不像問題(1)那對另一些人可能影響不十分大.2.3.1

變量之間的相關(guān)關(guān)系

問題1.

(1)

兩個變量x,y

滿足y

=2x,x、y

之間是否相互影響,它們存在一個什么樣的關(guān)系?(2)

數(shù)學(xué)成績的好壞與物理成績的好壞是否相互有影響,它們之間存在一個什么樣的關(guān)系?(1)和(2)的兩個問題有什么相同和不同?

這兩個關(guān)系又有它的不同.(1)中的兩個變量的關(guān)系非常確定,而(2)中的兩個變量間的關(guān)系不確定,存在不同的情況,即不確定因素.(1)中的兩個變量互相影響,一個變量的變化會引起另一個變量確定性的變化.(2)中也有這樣的一個關(guān)系,兩個變量之間相互存在著一定的影響作用.

兩個變量相互間有一定影響,我們就說這兩個變量之間存在著一定的相關(guān)關(guān)系.在現(xiàn)實生活中,存在著許多不確定的相關(guān)關(guān)系的問題.(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.(2)糧食產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系.(3)開發(fā)一項產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出的關(guān)系.(4)個人的教育投資與收入的關(guān)系.

要分析這些關(guān)系的大小、強弱,一是憑經(jīng)驗粗略估計;二是發(fā)揮統(tǒng)計知識的作用,用一些有說服力的數(shù)據(jù)來確定變量之間的相關(guān)關(guān)系.兩個變量之間,除了像函數(shù)這樣有確定的關(guān)系外,如:(5)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系.

問題2:

人體的脂肪含量與年齡存在相關(guān)關(guān)系,那么這兩個變量間是怎樣的一個相關(guān)關(guān)系呢?這個相關(guān)關(guān)系可以用數(shù)或式的形式表示嗎?

下面是對不同年齡進(jìn)行抽樣調(diào)查得到的一組數(shù)據(jù),我們由這組數(shù)據(jù)討論脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系.人體的脂肪百分比和年齡調(diào)查數(shù)據(jù)表:借助坐標(biāo)系,作出這些數(shù)據(jù)的散點圖:年齡脂肪020253035404550556065510152025303540年齡脂肪020253035404550556065510152025303540

此散點圖有兩特點:(2)從左到右在升高,左低右高.(1)在某一條直線附近.滿足第(2)個特點的相關(guān)關(guān)系,稱為正相關(guān);

如果散點圖是從左到右下降,即左高右低,則稱為兩變量成負(fù)相關(guān).滿足第(1)個特點的相關(guān)關(guān)系,稱為線性相關(guān);1.

你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關(guān)關(guān)系的成語嗎?水漲船高,站得高,看得遠(yuǎn),只要功夫深,鐵杵磨成針,夜長夢多,正相關(guān)關(guān)系.如:正相關(guān)關(guān)系.負(fù)相關(guān)關(guān)系.正相關(guān)關(guān)系.困難象彈簧,你弱它就強,負(fù)相關(guān)關(guān)系.010203040熱量口味2.

有時候,一些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第一行表示此種食品所含熱量的百分比,第二行數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:(1)

作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;52606265717578808989口味紀(jì)錄13192419202619203425所含熱量JIHGFEDCBA品牌

3.

一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下:122115108102958981756862時間y(m)100908070605040302010零件x(個)(1)

畫出散點圖;20406080100零件時間4.

影響消費水平的原因很多,其中重要的一項是工資收入.研究這兩個變量的關(guān)系的一個方法是通過隨機抽樣的方法,在全國范圍內(nèi)收集被調(diào)查者的工資收入和他們的消費狀況.下面的數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局公布的統(tǒng)計年鑒(2000年版),是祖國大陸31個省、自治區(qū)、直轄市的職工平均工資與居民消費水平(單位:元).78956366634237656065393270225033110567346140547040人均工資消費水平遼寧內(nèi)蒙古山西河北天津北京省、區(qū)、市651649851120179859171623916641119437094563271585216人均工資消費水平安徽浙江江蘇上海黑龍江吉林省、區(qū)、市926952905991529264944214765660606749348294906255人均工資消費水平湖南湖北河南山東江西福建省、區(qū)、市6595433672494876718261906865470067764987122458987人均工資消費水平貴州四川重慶海南廣西廣東省、區(qū)、市90814384青海7611398873923813742746156931452012962468582764933人均工資消費水平新疆寧夏甘肅陜西西藏云南省、區(qū)、市(1)

畫出散點圖;人均工資消費水平20004000600080001000012000140001600040006000800010000120001400001.

有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年內(nèi)的收入的總和)與某種商品的銷售額的有關(guān)數(shù)據(jù):51.048.044.042.041.039.037.034.030.025.0銷售額/萬元46.044.643.039.038.037.135.832.931.132.2年收入/億元10987654321第n年(1)

畫出散點圖;02030405035453040年收入銷售額【課時小結(jié)】1.

相關(guān)關(guān)系

兩個變量互相影響,一個變量的變化會引起另一個變量的變化.函數(shù)的兩個變量之間的關(guān)系是一個確定性關(guān)系.非確定性關(guān)系:兩變量間的影響程度不能確定.這一節(jié)關(guān)注的要點:尋找非確定關(guān)系的規(guī)律.【課時小結(jié)】3.

線性相關(guān)關(guān)系

兩關(guān)系的數(shù)據(jù)散點圖在某一條直線附近,(其關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)表示),這樣的相關(guān)關(guān)系稱為線性相關(guān).

若散點圖分布左低右高,則稱兩變量正相關(guān);反之,左高右低分布,則稱兩變量負(fù)相關(guān).2.

散點圖

將兩變量對應(yīng)數(shù)據(jù)看作點的坐標(biāo),在直角坐標(biāo)平面上描出樣本中的所有點.兩個變量的線性相關(guān)線性相關(guān)及回歸方程學(xué)習(xí)要點1.

什么叫回歸直線?

2.

怎樣能使回歸直線從整體上看與散點圖的各點距離最小?3.

回歸直線的方程是怎樣的?

剛才,我們畫出了人體脂肪含量與年齡的散點圖.同學(xué)們又畫出了習(xí)題中的散點圖,這些散點圖中的樣本點從整體上看,大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.年齡脂肪020253035404550556065510152025303540

怎樣得到這條回歸直線的方程呢?

回歸直線的方程是一次函數(shù),即y=kx+b

的形式,關(guān)鍵是求出斜率k

和截距b.科學(xué)家們是這樣思考的:設(shè)回歸方程為如圖:xy0·····(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)表示各點到回歸線若所有縱距離之和最小,則從整體上看,各點與直由于絕對值不易計算,就改用平方,即=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2,的縱距離,線的距離最小.經(jīng)過推導(dǎo)可得:即要使

Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2最小,a,b

應(yīng)取什么值?求出a,b

的值,就得到回歸方程

這種使樣本數(shù)據(jù)各點到回歸直線的距離的平方和最小來得到回歸直線的方法叫做最小二乘法.例：觀察兩相關(guān)變量得如下表：求兩變量間的回歸方程解：列表：計算得:∴所求回歸直線方程為y=x^小結(jié)：求線性回歸直線方程的步驟：第一步：列表；第二步：計算；第三步：代入公式計算b,a的值；第四步：寫出直線方程。

例(補充):

為了對公式的理解,我們求下面兩個變量的線性回歸方程,并估計當(dāng)數(shù)學(xué)為98分成績時,物理可能是多少分的成績.斜率≈0.56,截距=74-0.5674.5=32.28.∴回歸方程為:解:

例(補充):

為了對公式的理解,我們求下面兩個變量的線性回歸方程,并估計當(dāng)數(shù)學(xué)為98分成績時,物理可能是多少分的成績.∴回歸方程為:解:當(dāng)x=98時,≈87當(dāng)數(shù)學(xué)為98分成績時,估計物理可能是87分的成績.【利用計算機求回歸方程】

用筆算求回歸方程,計算量較大.下面我們用MicrosoftOffice中的Excel軟件求回歸方程.以人體脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系數(shù)據(jù)為例:基本步驟如下:1.單擊啟動Excel,輸入數(shù)據(jù);2.選擇數(shù)據(jù)→插入→圖表→散點圖→下一步→完成;選擇散點圖→圖表→添加趨勢線→線性→選項→顯示公式→確定→拖動圖表的大小,恰當(dāng)擺放回歸方程→關(guān)閉程序.【利用回歸方程作預(yù)測】

利用回歸直線方程,我們可以對所調(diào)查的項目進(jìn)行預(yù)測.如人體脂肪含量與年齡問題.我們可以預(yù)測23~61歲之間任一年齡的體內(nèi)脂肪含量.如某人37歲,將x=37代入回歸方程≈20.90,得即這個人的體內(nèi)脂肪含量約為20.90%左右.

問題:

凡是37歲的人,體內(nèi)脂肪含量都是20.90%嗎?都與20.90%很接近嗎?不一定,因為會受其他隨機因素的影響.

例:

有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表:54769389104116130128132150156杯數(shù)36312723191512740-5溫度/C(1)

畫出散點圖;(2)

從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律;(3)

求回歸方程;(4)

如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).

例:

有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表:54769389104116130128132150156杯數(shù)36312723191512740-5溫度/C(1)

畫出散點圖;(2)

從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律;

隨著氣溫的升高,熱飲杯數(shù)減少,氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系.氣溫杯數(shù)

例:

有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表:54769389104116130128132150156杯數(shù)36312723191512740-5溫度/C(3)

求回歸方程;解:氣溫平均數(shù)杯數(shù)平均數(shù)斜率≈-2.35,截距≈147.77,∴回歸方程為:

例:

有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表:54769389104116130128132150156杯數(shù)36312723191512740-5溫度/C(4)

如果某天的氣溫是2℃,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).解:∵回歸方程為∴當(dāng)氣溫x=2時,≈143,

即氣溫在2℃時,這天賣出的熱飲杯數(shù)大約在143杯左右.1.

利用本節(jié)例題中求出的回歸方程,求當(dāng)x=0時的值,說明它為什么與實際賣出的熱飲杯數(shù)不一樣.解:例題的回歸方程是∴當(dāng)氣溫x=0時,≈148,即氣溫在0℃時,賣出的熱飲約為148杯.計算結(jié)果與實際賣出的150杯有差異.

這是因為回歸直線只是靠近散點的直線,散點不全在直線上,即x=0的點不一定在回歸直線上.

即便某點在回歸直線上,由于是樣本數(shù)據(jù)求得的回歸方程,同一氣溫,在不同一天,可能賣出的熱飲杯數(shù)也不同.練習(xí):(92頁)2.

下表給出了某些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與這些地區(qū)的海拔高度(m).分析這些數(shù)據(jù),看一看鳥的種類數(shù)與海拔高度是否有關(guān).5497621493670610731701457106711581250海拔/m154291317131111373036種類數(shù)KJIHGFEDCBA地區(qū)作出鳥類種數(shù)與海拔高度的散點圖:

從總體上看,鳥類種數(shù)與海拔高度成正相關(guān)關(guān)系.但線性關(guān)系不強.【課時小結(jié)】1.

回歸直線

當(dāng)兩變量是線性相關(guān)時,散點圖在一條直線附近,若這條直線從整體上看距各散點的距離最近,則這條直線叫這兩變量的線性回歸直線.回歸直線是用函數(shù)的形式反映兩變量的相關(guān)性.【課時小結(jié)】2.

回歸直線的方程

使散點圖的各點到直線的縱距離的平方和最小(最小二乘法)求得回歸直線方程的斜率b,與截距a.2.

有時候,一些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第一列表示此種食品所含熱量的百分比,第二列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:(1)

作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;(2)

作出回歸直線;(3)

關(guān)于兩個變量之間的關(guān)系,你能得出什么結(jié)論?(4)

對于這種食品,為什么人們更喜歡吃位于回歸直線上方的食品而不是下方的?52606265717578808989口味紀(jì)錄13192419202619203425所含熱量JIHGFEDCBA品牌2.

有時候,一些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第一列表示此種食品所含熱量的百分比,第二列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:(1)

作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;010203040熱量口味(2)

作出回歸直線;(3)

關(guān)于兩個變量之間的關(guān)系,你能得出什么結(jié)論?兩個變量成正相關(guān)關(guān)系,即口味好的熱量也高.2.

有時候,一些東西吃起來口味越好,對我們的身體越有害.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù).第一列表示此種食品所含熱量的百分比,第二列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價:010203040熱量口味(4)

對于這種食品,為什么人們更喜歡吃位于回歸直線上方的食品而不是下方的?

答:因為人們喜歡吃口味好的,如果是同熱量時,回歸線上方的口味相對較好,所以人們就喜歡吃回歸線上方的.3.

一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進(jìn)行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下:122115108102958981756862時間y(m)100908070605040302010零件x(個)(1)

畫出散點圖;(2)

求回歸方程;(3)

關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間,你能得出什么結(jié)論.20406080100零件時間回歸方程:

加工零件個數(shù)與加工時間成正相關(guān)關(guān)系,即加工零件個數(shù)越多,需要的時間越多.且線性相關(guān)非常強.(2)(3)4.

影響消費水平的原因很多,其中重要的一項是工資收入.研究這兩個變量的關(guān)系的一個方法是通過隨機抽樣的方法,在全國范圍內(nèi)收集被調(diào)查者的工資收入和他們的消費狀況.下面的數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局公布的統(tǒng)計年鑒(2000年版),是祖國大陸31個省、自治區(qū)、直轄市的職工平均工資與居民消費水平(單位:元).78956366634237656065393270225033110567346140547040人均工資消費水平遼寧內(nèi)蒙古山西河北天津北京省、區(qū)、市651649851120179859171623916641119437094563271585216人均工資消費水平安徽浙江江蘇上海黑龍江吉林省、區(qū)、市92695290599152926494421