課程上課課件第2章剛體力學(xué)

第2章 剛體力學(xué)(

The

rigid

body

mechanics

)§2.1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§2.2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及其應(yīng)用§2.3

轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量§2.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體形狀、大小不變的物體實(shí)際物體在外力作用下形狀和大小會(huì)有一些變化，若這種變化對(duì)所討論的問題的影響可忽略，即視為剛體剛體可看作一組質(zhì)點(diǎn)系，其中任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變自由度剛體的位置由3個(gè)不共線的點(diǎn)確定，自由度為6剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作剛體隨某點(diǎn)(例如質(zhì)心)的整體平動(dòng)和繞該固定點(diǎn)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的組合3個(gè)平動(dòng)自由度，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可看作剛體繞某一瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：若剛體上有兩個(gè)固定點(diǎn)(速度為0)，剛體的運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，過兩個(gè)固定點(diǎn)的直線為轉(zhuǎn)軸剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為1，屬于約束運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)

Fi

Mi平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量：若剛體的質(zhì)心為固定點(diǎn)，動(dòng)量守恒角動(dòng)量：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律機(jī)械能：剛體中內(nèi)力不做功2d

rij

=

2rij

drij

=

0

\

drij

=

0fij內(nèi)力沿兩質(zhì)點(diǎn)連線等效力系，力系的簡(jiǎn)化§2.1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(The

rotation

of

a

rigid

body

about

a

fixed

axis)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1)平動(dòng)(任意兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向始終不變)

DrA

=

DrB\

vA

=vBA

Ba

=

aAABDrADrBv

=

0w2)轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn):各質(zhì)點(diǎn)角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等。純滾動(dòng)u

=rwr特點(diǎn):剛體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度均相等v

=

2uuurw

DtDtfi

0DtDtfi

0limDrA

=

limDrB2.1.1

平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)(The

translation

and

rotation

of

a

rigid

body)剛體(特殊的質(zhì)點(diǎn)系):受力時(shí)物體的形狀和體積不變剛體的基本運(yùn)動(dòng)

(平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體運(yùn)動(dòng)隨處可見,觀覽輪盤是一種具有水平轉(zhuǎn)軸、能在鉛垂平面內(nèi)回轉(zhuǎn)的裝置。輪盤和吊箱的運(yùn)動(dòng)各有什么樣的特點(diǎn)?如何描述?2π

π=T

10

·

60

300x2

+

(

y

+

L)2

=

R2A

A解:

w

=

2π

=例1:一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圓盤繞水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為0.1

rev/min。求:吊箱底部A點(diǎn)的軌跡及A點(diǎn)的速度和加速度的大小。吊箱運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)設(shè)t

=0時(shí)，角位置為q0xA

=

xB

=

R

cos(wt

+q0

)yA

=

yB

-

L

=

R

sin(wt

+q0

)

-

LwAyAxA+v

2

=

Rw

=

0.26v

202=

-Rw

cos(wt

+q

)dta

=AxAx\

v

=dv+

a2

=

Rw

2

=

2.7

·10-3

m

/

s2a2\

a

=AyAxA02=

-Rw

sin(wt

+q

)dta

=AyAydv0=

-Rw

sin(wt

+q

)dtdxAAxv

=0=

Rw

cos(wt

+q

)dtdyAAyv

=2.1.2

角速度和角加速度(The

angular

velocity

and

angular

acceleration)Pwvxq

rDqβOzdqw

=dtdw

d2qb

=

dt

=

dt

2角位置

q

角位移

Dq角速度角加速度1.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述剛體各點(diǎn)繞同一轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)方向:沿軸向,右手螺旋2.角量與線量關(guān)系

P點(diǎn)速度、加速度{v

=

rw

a2an

=

r

=

rwv2=

rbat

=dv

dtq

=

q

+

w

t

+

bt

2

/

20

0w

=

w

0

+

bt0w

2

-w

2

=

2bDq當(dāng)b

=const.例2:

一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500rev/min，受到制動(dòng)后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。求角加速度b和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；求制動(dòng)開始后t=25

s時(shí)飛輪的角速度w

；設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在t=25

s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。解:(1)設(shè)初角速度為w

,方向如圖0量值為w0=2p·1500/60=50p

[rad/s]在t=

50s時(shí)刻,

w

=

0

,代入方程w

=w0

+b

t

得5020=

=

-π[rad/s

]w

-

w

-

50πtb

=Ow

0Pvrb從開始制動(dòng)到靜止,飛輪的角位移Dq及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為21

12- ·

π

·

50

22=

50π

·

50Δq

=

q

-

q0

=

w

0

t

+

bt=

1250

π

[rad]N

=

Δq

=

1250π

＝625[rev]2π

2π(2)t=25

s

時(shí)飛輪的角速度w

=

w

0

+

bt

=

(50

π

-

π

·

25

)=

25

π[rad/s

]w的方向與w0相同;Ow

0

,wPvr=

wr

=

25π[m/s]v

=

v

=

wr

sin

j

=

wr

sin

90(3)t=25

s

時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度可由

v

=

w

·

r求得。所以方向如圖相應(yīng)的切向和法向加速度分別為ta

=

br

=

-

π[m/s

2

]2

3

2a

n

=

w

r

=

6.16

·

10

[m/s

](

6.16

·

10

3

)

2

+

3.14

2\

a

=

a

2

+

a

2

=n

t?

6.16

·

10

3

[m/s

2

]na的方向幾乎和

a

相同。Ow

0vr

an

ata

PbOrivi

=

w

·riDmi2.1.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量(The

angular

moment

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)第i

個(gè)質(zhì)元Dmi對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量:z

+

riz

)·viL

=

R

·(Δm

)

=

Δm

(ri

i

ivi

i

iwLRiiz

gi

=

Δmi

ri

·vi

+Δmi

riz

·viLiLih=

Liz

+

Lih2

=

Δmi

ri

w

-

Δmi

Ri

cosgiw

riii

ii

iihhL

=wΔm

R

cosg

r

)L

=

(-iii

Lz

=

Liz

=

(Δmi

ri

)w2剛體的角動(dòng)量：i

ih

ih

i

i

i

iΔm

R

cosg

r

)wL

=

(-L

=若轉(zhuǎn)軸為剛體對(duì)稱軸，Lh為零；一般情況下Lh不為零，方向與轉(zhuǎn)軸垂直，且隨著剛體以角速度ω繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)wLhdLhLh不為零時(shí)，在水平方向上角動(dòng)量不守恒，需要一相應(yīng)的外力矩以滿足角動(dòng)量定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為約束運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸會(huì)對(duì)剛體提供相應(yīng)的側(cè)向約束力，以滿足水平方向的力矩要求。因此對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，只需考慮z(轉(zhuǎn)軸)方向的動(dòng)力學(xué)。

Lz

=

Liz

=

(Δmi

ri

)w

=

w

r

dm

=

Jw2

2i

iLz與O點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，J只與剛體的結(jié)構(gòu)有關(guān)(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)2.1.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(The

moment

of

inertia

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)1.質(zhì)點(diǎn)(m)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:J

=

mr

22.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:22

21

1

2

2i

im

r+

m

r

+

.....

=J

=

m

rr

2dmJ

=

r

2dm3.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體上取質(zhì)元dm,質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量r

?mwr

dm?rimi?r2?m2r1m?1r

是質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離(或轉(zhuǎn)動(dòng)半徑)Vdm=rdV

J

=r

rdV2木(J小)

鐵(J大)2)J與質(zhì)量的分布有關(guān)(m相同，半徑相同)球J

最小圓盤

圓環(huán)

J最大3)J與軸的位置有關(guān)LJ

=r

ldl2l[kg/m]線密度dm=

ldls[kg/m2]面密度dm=sdSSJ

=r

sdS2r[kg/m3]體密度說明1)J與質(zhì)量有關(guān)平行軸定理：剛體對(duì)任一軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JA和通過質(zhì)心c并與A軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc有如下關(guān)系:dmr

r’2c22

2AV

V+

mddm

=

(r

+

d

-

2xd

)dm

=

Jr￠J

=

J

=

J

+

md

2A

c取c為原點(diǎn)r￠2

=

x￠2

+

y￠2

=

(x

-

d

)2

+

y2A

xcdy垂直軸定理：薄板剛體對(duì)板內(nèi)互相垂直的兩條軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx和Jy，則薄板對(duì)過xy交點(diǎn)且與xy軸垂直的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：zxydmyxV

VzJ

=

(x

+

y

)dm

=J

+

Jr

dm

=2

22薄板忽略z方向厚度J

z

=

J

x

+

J

y剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，沿轉(zhuǎn)軸方向的角動(dòng)量(對(duì)軸的角動(dòng)量)L

=

Jw類比于動(dòng)量p

=

mvL

—

p，J

—

m，w

—

v一般情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為二階張量

zx

zy zz

z

J

J

J

L

Ly

=

J

yx

Lx

w

J

yz

w

y

J

xx

J

xy

J

xz

w

x

J

yy

z

繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)Lx

=

J

xzw

z

Ly

=

J

yzw

z

Lz

=

J

zzw

z慣量張量非對(duì)角元為零時(shí)角動(dòng)量方向與角速度方向相同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是慣量張量的Jzz分量例3:質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的勻質(zhì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求:

1)定軸在一端, 2)定軸在質(zhì)心xyO解:

積分四大步:化整為零,寫出微分尋找對(duì)稱,選擇坐標(biāo)引入密度,統(tǒng)一變量定上下限,積零為整1)dJ2202213mlmllJ

=

x

dm

=xx

dx

=yOc2)由平行軸公式14

12ml2l

2J

=

J

-

m

=cdmdxm2

2=

x

dm

=

x

ldx

=

x

dxl例4:

質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿,中點(diǎn)有一垂直于桿的轉(zhuǎn)軸。桿繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度為w求:

桿對(duì)O軸的角動(dòng)量?！xdm

dx解:質(zhì)元dm對(duì)O軸的角動(dòng)量為ldx2

m2dL

=

wx

dm

=

wx則桿對(duì)O軸的角動(dòng)量:lmL

=

w

l12x

dx

=ml

2w2

l

2-

2=Jw

方向:⊙wdL

=

r

·vdmvr

=

xi方向:

⊙J

=220

0321dmRr

drR

2πq

=r

sdS

=

s2問:1)圓盤繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?(Jy=

1

mR

2

+

mR

2

)2112

2-

m

R

)(J

=

mR2)圓盤邊緣有一質(zhì)量為m1的小塊(很小)脫落了,求繞OO'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?例5:均勻圓盤(m,R)繞OO'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量yOO解:取面積元dS,其質(zhì)元的質(zhì)量為dmdm

=

sdS

dS

=r

dq

dr則質(zhì)元dm對(duì)OO'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ

=

r

2dm

=

r

2sdSdSdrdqr43)圓盤對(duì)沿直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

(

J

=

1

mR

2

)§2.2

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及應(yīng)用(The

law

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

and

it's

application)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用2.2.1

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律(The

law

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation

)1.繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩rF^F//FzyxM

=

R

·

FO

=

r

·

F^

+

r

·

F//

+

d·

FF

對(duì)點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩:(moment

of

force

about

a

fixed-axis

rotation

)F

對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為對(duì)O點(diǎn)力矩的z方向分量:M

=

·

Fr

^aOMO

PRMd

=

r

·

F

+

d

·

FM

=

r

·

F^

=

r

·

F^

t

+

r

·

F^

n通過轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生力矩

^t

^

z=

rF

sina

eM

=

r

·

F力對(duì)定軸的力矩只需考慮力作用點(diǎn)到軸的距離以及力在垂直于OPZ平面的分量rF^OF^

tF^

naP在垂直與轉(zhuǎn)軸方向(水平方向)，有約束力提供力矩?？紤]水平方向的動(dòng)力學(xué)方程只能給出約束力的信息。側(cè)向約束力通過軸心，不提供沿轉(zhuǎn)軸方f向的力矩。但當(dāng)考慮轉(zhuǎn)軸半徑時(shí)，轉(zhuǎn)軸處的力可以提供沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩。約束力一般會(huì)提供沖量，因此動(dòng)量不便使用

對(duì)定軸的合外力矩對(duì)定軸的合外力矩等于各分力矩的矢量和:M

=

M1

+

M2

+....M

=0·N

+0·mg

+R1

·F1

+R2

·F2沿軸線選定力矩方向:與w

相同的方向?yàn)榱氐恼较騇

=

0

+

0

-

RF1

+

RF2F1F2mgNR

?

+MdtdLM

=轉(zhuǎn)動(dòng)定律：意義:剛體所受的對(duì)某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。說明定律的瞬時(shí)性,與牛頓第二定律對(duì)比。定律中各物理量是對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言的。矢量方向(沿轉(zhuǎn)軸)固定，可看作標(biāo)量方程。M

:對(duì)軸的合外力矩

M

=

Jb2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角動(dòng)量定理，在沿轉(zhuǎn)軸z方向Mzdt=

J

dw=

dLzF

=

ma類比M

—

F，J

—

m，β

—

adtdwdtb

=w一質(zhì)量為M的均勻細(xì)桿，長(zhǎng)度為l，繞通過桿中心O的轉(zhuǎn)軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，桿與轉(zhuǎn)軸夾角為θ，轉(zhuǎn)軸被AB兩點(diǎn)固定，AO=BO=d，求A、B兩點(diǎn)對(duì)軸的水平作用力(約束力)AOB

ii

iiih

i

ihcosg

r

)L

=

(-

Δm

R

L

=120202Ml

w

sinq

cosqwMMhl/

2hL

=

-dR

R

sinq

cos(p

-q)wldR

R

sinq

cosq

-lL

=

--l

/

2水平方向角動(dòng)量θRhh12Mdt=

dLh

1

2=

w

·

L

M

=

Ml2w

sinq

cosq1Ml2w

2

sinq

cosq24d方向A向左B向右合力為0f

=f

A

=

-

fBh

12f

A

=

fB

=

f

Mh

=

2

fd力矩解題步驟:認(rèn)剛體;定轉(zhuǎn)軸,找運(yùn)動(dòng);分析力和力矩;定轉(zhuǎn)向,列方程。2.2.2

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用(The

application

of

the

law

about

a

fixed-axis

rotation)二類問題:第一類:由角量運(yùn)動(dòng),求力矩。(微分法)第二類:由力矩及初始條件,求運(yùn)動(dòng)。(微分方程)特別注意:明確轉(zhuǎn)動(dòng)軸位置。選定轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向,

注意力矩、角速度、角加速度的正負(fù)。同一方程式中所有量都必須相對(duì)同一轉(zhuǎn)軸。對(duì)輪:對(duì)m

:TR

=

Jb

(1)bTN解:輪與m為聯(lián)結(jié)體,輪為定軸轉(zhuǎn)動(dòng),m為平動(dòng),m速度大小與輪邊緣線速度大小相等。Gmgmg

-

T

=

ma

(2)T

' =

-

Tma例6:己知:定滑輪為均勻圓盤,其上繞一細(xì)繩,繩一端固定在盤上,另一端掛重物m,繩與輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng),繩不可伸長(zhǎng),輪半徑R=0.2m,

m=1kg,

m下落時(shí)間t

=3s,

v0=0,h=1.5m。求:輪對(duì)O軸J

=?Rhmt繩v0=0O?

+x22hgt

2聯(lián)立解得:

J

=

(-1)mR

=

1.14[kg

m2

]運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:a=Rb(3)(4)2h

=

1

at

2用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題小結(jié)：平動(dòng)物體,用隔離體法,寫出牛頓方程轉(zhuǎn)動(dòng)物體,用隔離體法,分析力矩,寫出轉(zhuǎn)動(dòng)方程由角量和線量關(guān)系,將平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)系起來v

=

rw

,

at

=

rbm2

:

m2

g

-T2

=

m2a2B+

J

)bm

,

m

:

r

T

-

r

T

=

(JA

B

A

2

B

1

A?

+a1

=

rB

ba2

=

rA

b解得:a

=0.82[m/s2],a

=1.63[m/s2]例7:

組合輪由二個(gè)勻質(zhì)圓盤固結(jié)而成,

己知mA=

6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盤邊緣繞有細(xì)繩,繩子下端掛二個(gè)物體m1=m2=2kg,

二個(gè)物體離地面高度均為

h=2m,

求1)二物體的加速度a1,a2

;

2)下降物體著地時(shí)間,3)繩中張力解:1)

m

1

:

m

1

g

-

T1

=

-m

1

a1a2a1x12)h=a2t2/22t=1.56[s]3)T1=m1(g+a1)=21.2[N],

T2=m2(g－a2)=16.3[N]m

g2m

g1hAB1T2

T例8:

如圖裝置,己知木塊(m1=5kg)可在斜面上滑動(dòng)

(m=0.25)斜面傾角q=30o定滑輪(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg設(shè)繩與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)求重物m2加速度,繩中張力?1

1

1

1解:

m

:T

-

f

-m

gsinq

=

m

am2

:

m2

g

-T2

=

m2am

:

T2

R

-T1

R

=

Jb2J

=

1

mR

2a

=

Rbf

=

mm g

cos

qm1

+

m

2

+

m

/

21解得

a

=

m

2

-

mm1

cos

q

-

m1

sin

q

=

2.52[m/s

2

]T2

=

m2

(

g

-

a)

=

72.8[N]T1

=T2

-

Jb

/

R

=

47.6[N](m,R)m

g1m

g21T2Tfa初始時(shí)它在水平位置求:它由此下擺q

角時(shí)的wm

lqx解:dm

質(zhì)元gdmM

=

dM

=

1

mgl

cosqb

=

Mdwdwb

=

dt

=

w

dq0

0例9:均勻細(xì)直棒m

、l

，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)ldm

=

m

dxdm

重力矩

dM

=

gdm

x

cosq3J1ml2J

=2l3g

cosqb

=dq3

g

cosq2lw

qwdw

=

2重力對(duì)棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩\

w

2

=（3g

sinq）/

lO?例10:

勻質(zhì)圓盤(m,R),初角速度w0

不計(jì)軸承處的摩擦,如空氣對(duì)圓盤表面每單位面積摩擦力正比于該處速率,即f=kv

(k為常數(shù))求:1)t時(shí)刻圓盤角速度為w

時(shí),所所受的空氣阻力矩:

00dq2

π

Rr

3dr

=

-πkR4wM

=

-2kw受空氣阻力矩? 2)圓盤停止前轉(zhuǎn)數(shù)?解:

取剛體m為對(duì)象,

w

0為正方向設(shè)t

時(shí)刻圓盤角速度為w用積分法求力矩。1)取圓盤上的面積元dS,該面積元w

0v

=

rw2

fdS\

M

=

dM

=

-2

rkvr

dq

drdq

rdrdSdMdM

=

r

·(2

fdS

)\

dM

=

-2rf

dS

=

-2rfr

dq

dr2)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M

=Jbd

t2d

w=

1

mR-

π

kR

4

wwdq00dw

=

-mq

-

2πkR

2w

dt

=

0m22πkR

20w2πkR

2mq

=2π

4π

2

kR

2mw

0N

=

q

=剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律*2.3.3

進(jìn)動(dòng)§2.3

轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)量(The

angular

moment

in

rotation

)dt

dtdL

=

d(Jw

)

=

JbdtM

=

dL剛體的角動(dòng)量定理:剛體所受合外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。21L1tL2t

dL

=

L2

-

L1Mdt

=剛體的角動(dòng)量定理:剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。微分形式積分形式注意式中合外力矩及角動(dòng)量都是對(duì)同一個(gè)軸的。式中角動(dòng)量與力矩都是沿轉(zhuǎn)軸方向分量，可看作標(biāo)量方程。2.3.1

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理(The

theorem

of

angular

momentum

about

a

fixed-axis

rotation)2.3.2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律(The

conservation

of

angular

momentum

abouta

fixed-axis

rotation)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量

L

=

J

守恒wM

=

0當(dāng)

時(shí)J

(t

)ω(t

)=常量3)變形體所受合外力矩為零時(shí),角動(dòng)量也守恒。J(t)大,w(t)小J(t)小,w(t)大說明沿轉(zhuǎn)軸方向外力矩為零，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J不變,角動(dòng)量守恒時(shí),剛體將以恒定角速度w

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如:導(dǎo)航定向回轉(zhuǎn)儀Nxy0vm13ML2

+

my2mv0

y\

w

=w例11:

一均質(zhì)棒,長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為M,現(xiàn)有一子彈在距軸為y

處水平射入細(xì)棒。求:子彈細(xì)棒共同的角速度w

。解:子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒mv0

y

=

Jw3例y

=2

L

(打擊中心)時(shí)，Nx=0,

則水平方向動(dòng)量守恒3+

J

=

1

ML2

+

my

2其中

J

=

J子彈棒碰撞前后系統(tǒng)水平方向動(dòng)量是否守恒?取決于轉(zhuǎn)軸對(duì)棒作用力在水平方向投影Nx

是否等于0Nxyv0mw3y

=2

L

時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒的驗(yàn)證作用后m

w

y均質(zhì)棒子彈作用前

mv0

+

0+=？(w

L/2)M

(質(zhì)心)討論31

ML2

+

my2mv0

yw

=其中例12:轉(zhuǎn)臺(tái)繞過質(zhì)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng),初角速度為w0

,轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=5·10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在轉(zhuǎn)臺(tái)上,砂粒落點(diǎn)距軸r

=0.1m,求:砂粒落20Jw

=

(J

+

0.001tr

2

)

w

0=

5[]s=1

·10

-3

·

0.12J

5

·10

-5t

=0.001

r

2在轉(zhuǎn)臺(tái)上使轉(zhuǎn)臺(tái)角速度減為w0/2所需時(shí)間?解:取轉(zhuǎn)臺(tái)和落下的砂粒為系統(tǒng)M

=0\L

守恒t

時(shí)刻落下的砂粒質(zhì)量:m=0.001t

[kg]rw

0

dL

=

Mdt高速自旋的物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。dtdL對(duì)O點(diǎn)的重力矩:

M=mgr角動(dòng)量定理:

M

=進(jìn)動(dòng)的角速度:wL

JwpL

M

mgr=

=dt

dt=

dq

=

dLdt

時(shí)間內(nèi)軸OO'轉(zhuǎn)過dq

角rOLdLOML

+dLdqwp設(shè)自旋剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng),

就是對(duì)本身對(duì)稱軸OO￠的角動(dòng)量。*2.3.3

進(jìn)動(dòng)(Precession)(又叫旋進(jìn))OwLmgM

?^

L

(俯視圖)mgfvw

p?cw

L為什么炮筒內(nèi)壁上刻有螺旋線(又稱來復(fù)線)?§2.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能(The

work

and

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)力矩的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理2.4.1

力矩的功(The

work

of

moment

of

force)FwOrPΔqf1q2qMdqA

=^a

Fcosf

=

sina外力F對(duì)剛體所做的元功:DA

=

F^

Dr

cos

f

=

F^

r

sin

aDq=

MDq對(duì)一有限過程：力矩的瞬時(shí)功率P:P

=

DA

=

Mdq

=

MwDt

dt力對(duì)剛體所做的功可用力矩與剛體角位移乘積的積分表示,稱為力矩的功。Dr

2.4.2

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的機(jī)械能(The

mechanical

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)wOrivi

=

wriiDm1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能第i

個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221i

ikiDm

vE

=22211N2i

iNi=1i=1

2=

(

Δmi

ri

)wEk

=

Δm

v2kE

=

1

Jw

2J

—

m，ω

—

v2.剛體的重力勢(shì)能各質(zhì)元重力勢(shì)能的總和,就是剛體的重力勢(shì)能。iihiEp

=

mghcmi

iDm

h=

mg

i

c=

mghhiDmiEp=0hcc?質(zhì)心的勢(shì)能Ep

=

Dmi

g

hi

=

g

Dmi重力正比于質(zhì)量212212

21q2qJw

-

JwM

dq

=外1外M

dqA

=2kE

=

1

Jw

22.4.3

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理(Theorem

of

kinetic

energy

of

a

rigid

body

about

a

fixed-axis

rotation)1.動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理意義:合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功(即力矩的功)等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。計(jì)算剛體動(dòng)能時(shí),是否考慮內(nèi)力所做的功？A

=

Ek

2

-

Ek1動(dòng)能定理:剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng):-

Ek

1

+

Ep12.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理質(zhì)點(diǎn)系功能原理對(duì)剛體仍成立:A外

+

A非保內(nèi)

=

Ek

2

+

Ep

2若系統(tǒng)是一個(gè)包含剛體、質(zhì)點(diǎn)、彈簧等復(fù)雜系統(tǒng)時(shí),則系統(tǒng)機(jī)械能守恒:Ek

+

Ep

=

Const.2

2kE

=

1

mv

2

+

1

Jw

2

+

.....包括系統(tǒng)中所有物體相對(duì)于慣性系的動(dòng)能。Ep

應(yīng)包括系統(tǒng)中所有物體的勢(shì)能。3.機(jī)械能守恒定律對(duì)于包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng),若只有保守內(nèi)力作功A外+A非保內(nèi)=021J

=2

2Mr

2mgh

=

1

mv

2

+

1

Jw

2v

=

rwmghM

+

2mv

=

2h例13:滑輪(r,M)，在繩的一端掛一重物m，開始時(shí)靜止，不計(jì)摩擦力。求:重物下落高度h

時(shí)重物的速度v

。mgO解:

取m、M和地球?yàn)橄到y(tǒng)。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，m

的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為滑輪和m

的動(dòng)能例14:

一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m,可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后,它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m,它與地面的摩擦系數(shù)為m

,相撞后,物體沿地面滑行一距離s而停止;求:相撞后棒的質(zhì)心C上升的最大高度h,并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解:可分為三個(gè)階段。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)機(jī)械能守恒。把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能零點(diǎn),用w表示棒這時(shí)的角速度,則C22

32

w

2l

1

1

12

2mg=

Jw

＝

(

ml

)O?C勢(shì)能零點(diǎn)s第二階段是碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短,沖力極大,物體雖受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒與物體相撞時(shí),它們組成的系統(tǒng)對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。用v表示物體碰撞后的速度,則w

￠13

32(

1

ml

2

)w

=

m

v

l

+

(

ml

)由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得式中w'為棒在碰撞后的角速度,它可正可負(fù)。w'取正值,表示碰后棒向左擺;反之,表示向右擺。第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng),加速度由牛頓第二定律求得為-

mmg

=

ma0

=

v

2

+

2as=

2

mgsv

2l2

mgs3

gl

-

3w

￠=當(dāng)w'取正值,棒向左擺,其條件:當(dāng)w'取負(fù)值,棒向右擺,其條件:2

mgs

>

03

gl

-

33

gl

-

32

mgs

<

0棒的質(zhì)心C上升的最大高度h,與第一階段情況相似,也可由機(jī)械能守恒定律求得:mgh

=

1

(

1

ml

2

)w

￠22

3l2+

3

ms

-

6

msl\

h

=CO?w'sh可以大于l

/2嗎？￠13

312

2(

ml

)w

=

m

v

l

+

(

ml

)wl3

gw

=1

mgl

?

1

m

v

2

+

1

(

1

ml

2

)w

￠22

2

2

3v

?

lw8\

h

￡

1

l？8ms

￡

3

ldM例15:勻質(zhì)圓盤(m,R)在水平桌面上可繞過圓心并與桌面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng),它與桌面之間摩擦系數(shù)為m

;求：1)從w0

到停止轉(zhuǎn)了多少圈?2)用了多少時(shí)間?解法1: 1)

考察面積為dS的質(zhì)元dm根據(jù)動(dòng)能定理:A=Ek2k1022π

R0r

drπR2dq=

-m

mg21qqMdq

=

M

(Δq)—

E

A

=w

0πR2dm

=

m

r

dq

drdf

=m

g·dm32b取w

0

方向?yàn)檎?

-

mmgRrdfdM

=

·df

\

dM

=

-r

dfrM

=

dM

=

-

rmg

dmdrdSdq

0

8

mg3

Rw

223

R

w

0

2

π 16

π

mgΔ

q=\

N

=解法2:

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:M

=

Jb2

b23=

1

mR-

2

mmgR解得:3

Rb

=

-

4mgw

2

-

w

2

=

2bΔq02b

8mg-w

2

3Rw

2解得:

Δq

=

0

=

0

2)由w

=w

+bt04

mg=

3

Rw

0-

bt

=

w

02012JwmmgR(Δq)

=

0

--

23\

Δq

=m2例16:勻質(zhì)細(xì)桿(m1,L)一端掛在墻上O處,一端固定有一物體(m2),求:1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;2)從圖中水平位置無(wú)初速落下時(shí)的b

;3)落到鉛直位置時(shí)的角加速度、角速度。解:1)以m1、m2為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:2

21

231+

m

LJ

=

m

Lm

gL

+

m g

L

=

Jb22

1解得(6m2

+

2m1

)Lb

=

(6m2

+

3m1

)g121

L2

2m2

gL

+

m1

gL

=Jw

+

m

g(3m2

+

m1

)L(6m2

+

3m1

)g\

w

=w

,

b取w

方向?yàn)檎?/p>

2)由M

=Jb3)豎直位置時(shí),棒受重力矩M=0,故此時(shí)角加速度b'=0以m1、m2、地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒,得O

(m1,L)?例17:勻質(zhì)圓盤可繞中心豎直軸旋轉(zhuǎn),輕繩跨過圓盤一端與彈簧相連,另一端與質(zhì)量為m的物體相連,彈簧另一端固定在地面上,輕繩與盤無(wú)滑動(dòng),系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),

此時(shí)靠近圓盤邊緣質(zhì)量為m0的小物塊從h

高度處自由落下,與m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s。2120

0v0

=

2ghm0

gh

=

m

v解:

m0的質(zhì)量很小,整個(gè)過程分成兩個(gè)階段,第一階段:m0與m碰撞,但碰撞過程未引起m移動(dòng);第二階段:m0與m一起下降。m0與m碰撞前的速度v0

:MvRm0v0

R

=

(m0

+

m)Rv

+

J取M、m、m0為系統(tǒng),第一階段角動(dòng)量守恒:2MJ

=

1

MR2MRm0hmsk勢(shì)能零點(diǎn)2020

02012121212Jk(x

+

s)gs

=kx

+

(m

+

m)

+M

R

v

2(m

+

m)v

+取M、m、m0、彈簧、地球?yàn)橄到y(tǒng),只有保守力做功第二階段機(jī)械能守恒(取下落s處為重力勢(shì)能零點(diǎn)):其中x0

為m下降前彈簧的伸長(zhǎng)量,且mg

=kx0滑輪與彈簧之間,滑輪與物體之間的內(nèi)力做功多少?注意:易犯的兩個(gè)錯(cuò)誤:不分過程,從小物塊m0下落開始,到發(fā)生碰撞,再到碰后系統(tǒng)下降的整個(gè)過程籠統(tǒng)處理,對(duì)全過程應(yīng)用機(jī)械能守恒(完全非彈性碰撞,機(jī)械能有損耗)。對(duì)小物塊m0與m的碰撞過程,對(duì)M、m、m0系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒。例18:

能繞OZ軸旋轉(zhuǎn)的靜止勻質(zhì)圓盤(m1,R),盤底面與水平接觸面之間的摩擦系數(shù)為m

,一個(gè)質(zhì)量為m2的子彈以速度v

射入盤邊緣并嵌在盤邊,求:1)子彈嵌入盤邊后盤的角速度?經(jīng)多少時(shí)間停下來?盤共轉(zhuǎn)多少角度?2)子彈與盤從w到停止轉(zhuǎn)動(dòng),運(yùn)用角動(dòng)量定理)w122122

2m

Rm

vR

=

(m

R

+(2m2

+

m1

)R2m2vw

=解:1)子彈與圓盤相撞,

L守恒2tt1

M

d

t

=

L

2

-

L1ZOvM2=－f2R=－m

m2

gRw213221221m

R

)-

(m

R

+-

(

mm gR

+

mm

gR)Dt

=

0(2m1

+

3m2

)mg23m2v\

Dt

=M=M1+M2M1

=

dM1

=

-

rmgdm1=

-m022π

R021r

drπRdqmg132=

-

mm

gRMw1f2f取w

方向?yàn)檎齞q

rdrdS13)運(yùn)用動(dòng)能定理:q2qMdq

=

MDq

=

Ek

2

-

Ek122122121223wm

R

)(m

R

+-

(mm1

gR

+

mm2

gR

)Dq

=

0

-

2

(

2

m

2+

m

1

)(

2

mm

1

gR

+

3

mm

2

gR

)3

m

2v

2D

q

=與例15差不多剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可看作是剛體隨其上某基點(diǎn)A在平面內(nèi)的平動(dòng)和繞過基點(diǎn)且垂直于該平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的組合；2個(gè)平動(dòng)自由度，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度ABB剛體上每一點(diǎn)都在與某固定平面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)在垂直于該固定平面方向的速度為零剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)可由與該固定平面平行的任一截面的運(yùn)動(dòng)來代表；自由度為3ABABAB為方便處理，一般選取質(zhì)心為基點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室系中質(zhì)心的在平面內(nèi)的移動(dòng)質(zhì)心系中剛體繞過質(zhì)心且垂直于平面的軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

Mi

=

Jc

bi

F

=

mac質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心系中的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體動(dòng)量P

=

mvc剛體角動(dòng)量剛體動(dòng)能2c2c21J

wkmv

+E

=外力的力矩外力的功cicA

=L

=

·