均值不等式的說課

均值不等式樂陵一中耿欣說教材01說學生02說教法學法03說教學過程04過程說教材011、教材的地位與作用2、教學目標3、教學重點與難點教材的地位與作用：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中教科書人教B版必修一第二章第二節(jié)第四課內(nèi)容，教參設計兩課時，本節(jié)為第一課，主要講均值不等式的推導及簡單的應用。均值不等式是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及函數(shù)的一些最值值域進一步研究，起到承前啟后的作用。教學目標：1、知識與技能：（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；（2）能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。2、過程與方法：（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。3、情感態(tài)度與價值觀：（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；(3)認識到數(shù)學是從實際中來，通過數(shù)學思維認知世界。教學重點、難點：重點：理解并掌握均值不等式的推導以及應用。難點：掌握均值不等式成立的條件。說學生02

學生已經(jīng)學習了不等式的性質(zhì)，對于比較大小的方法已經(jīng)有了一定的了解。盡管學生尚不知道均值不等式的內(nèi)容，但學生已對不等式的證明與應用有一定的認識。在研究不等式的性質(zhì)時，學生懂得了由形象到具體，然后再由具體到一般的科學處理方法，具備一定數(shù)學研究方法的感性認識。高一學生具備一定的觀察能力，但觀察的深刻性及穩(wěn)定性也都還有待于提高。高一學生的學習心理具備一定的穩(wěn)定性，有明確的學習動機，能自覺配合教師完成教學內(nèi)容。2、說學生說教法與學法03教學方法：

為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點，我本著以教師為主導的原則，再結(jié)合本節(jié)的實際特點，確定本節(jié)課的教學方法。突出重點的方法：我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導；通過多媒體展示、精講點撥來突出均值不等式及其成立的條件。突破難點的方法：我將采用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和其成立的條件）、辨析法（借助多媒體判斷對錯）、有效訓練來突破均值不等式成立的條件這個難點。學習方法：在學生的學習中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體，具體如下：1、課前預習----學會自主學習；2、分組討論----合作探究、明確重點、解決疑點；3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；4、自主探究----學生實踐，鞏固提高；說教學過程04情境導入、引入新課此圖是公元前1000多年前中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經(jīng)》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》，它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。設計意圖：由圖引入，勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲。你能從這幅圖中找出一些相等或不等關系嗎？情景與問題：問題給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)稱為a，b的算術平均值；數(shù)稱為a，b的幾何平均值．兩個數(shù)的算術平均值，實質(zhì)上是這兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點的中點坐標，那么幾何平均值有什么幾何意義呢？兩個數(shù)的算術平均值和幾何平均值之間有什么相對大小關系呢？設計意圖：開門見山地給出算術平均值和幾何平均值的概念，為學生自己得出均值不等式及其幾何意義做好準備。【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（10分鐘）（1）假設一個矩形的長和寬分別為a和b，求與這個矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長，并比較這兩個邊長的大?。唬?）如下表所示，再任意取幾組正數(shù)，算出它們的算術平均值和幾何平均值，猜測一般情況下兩個數(shù)的算術平均值與幾何平均值的相對大小，并根據(jù)（1）說出結(jié)論的幾何意義．a(chǎn)12b14131設計意圖：讓學生從熟悉的矩形和正方形入手發(fā)現(xiàn)算術平均值和幾何平均值的幾何意義，再通過自己的比較，猜想兩個數(shù)值的大小關系。新知探究均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么

，當且僅當a＝b時，等號成立．設計意圖：由表格可以得出大小關系，但此關系是否具有普遍性？課本采用的證明方法是做差法，證明過程不難，讓學生自己證明，這樣既能較好地復習不等式的性質(zhì)和證明方法，又能幫助他們準確地理解定理中等號成立的條件。深入探究問題：均值不等式的實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值．那么，均值不等式有什么幾何意義呢？將均值不等式兩邊平方可得≥ab．如果矩形的長和寬分別為a和b，那么矩形的面積為ab，

可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，因此均值不等式的一個幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大．如圖所示半圓中，AB為直徑，O為圓心．已知AC＝a，BC＝b，D為半圓上一點，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以給出均值不等式的另一個幾何意義？探索與研究ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用三角形相似可得CD＝

，又CO＝，由圖可知CO≥CD，所以

，變形為a＋b≥2

．結(jié)論：均值不等式的幾何意義是：一個圓的直徑大于等于垂直該直徑的弦．典例分析、合作探究（10分鐘）例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并說明x為何值時y取得最小值．（2）已知并推導出等號成立的條件（3）求的最小值，以及取到最小值時x的值。設計意圖：（1）整體替換a,b,再應用均值不等式。（2）在利用均值不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”：（3）兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值．（4）利用均值不等式求最值時，等號必須取得到才能求出最值，若題設條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答．例2（1）已知矩形的面積為100，則這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36，則這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？方法總結(jié)：求實際問題中最值的一般思路：（1）讀懂題意，設出變量，列出函數(shù)關系式；（2）把實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學習的函數(shù)的單調(diào)性求解．（4）正確地寫出答案，回歸實際問題．歸納小結(jié)回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）什么叫均值不等式？如何證明？（2）均值不等式的幾何意義是什么？（3）如何利用均值不等式求最值？拓展遷移，能力提高1、已知a為大于0的常數(shù)，x＞0，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值時相應的x的值；2、已知x＜0，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值時相應x的值；3、已知設計意圖：通過課堂檢測，深入理解均值不等式的內(nèi)容，重點注意“一正二定三相等”的條件。課后作業(yè)：必做題：課本76頁練習A---1、2、

選做題：77頁習題A---8必做題比較基礎，就是例1的變式，學生必須完成。選做題需要先進行一步化簡，構(gòu)造均值不等式的形式才可以用，這一步對一些同學來說較難，可以選做，將在習題課中帶領學生共同完成。教學反思：均值不等式的幾何意義和推導是本節(jié)課的難點，從學生熟悉的矩形和同周長的正方形入手，得出不等式，再由學生自己動手證明，加深印象，隨后又用圓的直徑和弦長