chap動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程(I)課件

第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程2.拉格朗日方程3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式4.拉格朗日方程的初積分5.碰撞問(wèn)題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題φ1φ2擺長(zhǎng)不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？K混沌擺問(wèn)題多桿擺問(wèn)題引言2：慣性力的概念達(dá)朗伯（1717-1785）通過(guò)引入慣性力的概念，建立了著名的達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題）；約翰·伯努利（1667-1748）于1717年精確表述了虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題）；拉格朗日（1736-1813）應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P

+T擺錘M在受到P、T的同時(shí)，將給施力體（地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力，反作用力的合力為T(mén)R'=－R=－ma

此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的“反作用力”，稱(chēng)為慣性力。a

nφφφPTPTPTa

na

na

n

圖示圓錐擺擺長(zhǎng)為l，擺錘M的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v，錐擺的頂角為2φ，擺錘M受力如圖。RvRvRvR結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用一個(gè)慣性力，該力的大小等于其質(zhì)量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。若用Fg表示慣性力，則有Fg=－ma說(shuō)明：1.此力是不是真實(shí)的力！2.此力作用于施力給質(zhì)點(diǎn)的物體上！3.此力又稱(chēng)為牛頓慣性力！引言3：達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、約束反力FN，加速度為a，則根據(jù)牛頓第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma

=F+FNFg=－ma令則F+FN+Fg

=0形式上的平衡方程結(jié)論：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上一慣性力Fg，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力有主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，假想地加上其慣性力Fgi=－miai，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i、FNi與Fgi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力將組成形式上的平衡力系。Fi+

FNi+Fgi=0（i=1，2，…，n）∑MO(Fi)

+

∑MO(

FNi)

+∑MO(

Fgi)

=0∑Fi+

∑

FNi+∑Fgi=0質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理即或1.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)單結(jié)合的產(chǎn)物。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上其慣性力Fgi=－miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi則根據(jù)達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i

、FNi

與Fgi，應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi

+

FNi

+Fgi=0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有或動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。則動(dòng)力學(xué)普遍方程的坐標(biāo)分解式為若9例1.兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；中心用質(zhì)量為m2的連桿連接，在傾角為α的斜面上純滾動(dòng)。求連桿的加速度。α研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：設(shè)桿的加速度為a，則αm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，F(xiàn)g2=m2a，給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得:于是解得122.拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出第二類(lèi)拉格朗日方程。

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到k個(gè)如下形式的完整約束fi

,又若系統(tǒng)中質(zhì)量為mj的第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力Fj，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足3n個(gè)方程如左，稱(chēng)為第一類(lèi)拉格朗日方程，λi稱(chēng)為拉各朗日未定乘子。*第一類(lèi)拉格朗日方程用到的較少設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）。

用q1，q2，…qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為ri。則ri=ri(q1，q2，…qN，t)對(duì)上式求變分得動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫(xiě)成其中根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo)的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有(k=1，2，……，N)廣義力廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理對(duì)式中廣義慣性力進(jìn)行變換：將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）（廣義速度）得所以代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)18得到這就是第二類(lèi)拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程，揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力）則廣義力Qk可寫(xiě)成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫(xiě)成用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L=T－VL稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢(shì)力及非有勢(shì)力兩部分構(gòu)成時(shí)用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。2.拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本量，是用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。3.拉格朗日方程形式簡(jiǎn)潔，運(yùn)用時(shí)只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能；對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問(wèn)題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開(kāi)了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單。2.動(dòng)力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱(chēng)為拉格朗日第二類(lèi)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為拉格朗日方程。用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；2.選廣義坐標(biāo)；3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來(lái)表示動(dòng)能；4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。ⅠⅡrRMMO

AM例1位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿OA，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿受力偶M的作用時(shí)，求細(xì)桿的角加速度。解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則∴系統(tǒng)的動(dòng)能為ⅠⅡARMrO

T=TOA+T輪PPP行星輪瞬心為P，角速度為vAvAvA25ⅠⅡO

AvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagrange方程：∴于是得26O例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長(zhǎng)度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Rmlll27RlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V=mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程O(píng)OO例3

已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求三棱柱的加速度。ωOOθ(設(shè)圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2θO圓柱中心的速度為圓柱的角速度為vO解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為則三棱柱速度為加速度為x2vOx2vOx2vOx2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1、x2的廣義力分別為：32例5

桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上，A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。m1bam2OABvAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選1、2為廣義坐標(biāo)，∴系統(tǒng)動(dòng)能為vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA∵系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，∴cos(2－1)≈11221系統(tǒng)受力如圖。m2g