第一章矩陣12節(jié)課件

第一章矩陣12節(jié)第一章矩陣12節(jié)第一章矩陣12節(jié)此表格可簡記為

這樣的一個矩形數(shù)表就稱為一個4行3列或4×3的矩陣。此表格可簡記為

這樣的一個矩形數(shù)表就稱為一個4行3列或4×3的矩陣。例2設(shè)有三個煉油廠以原油為主要原料，利用一噸原油生產(chǎn)的燃料油、柴油和汽油數(shù)量如表1.2所示（單位：t）:第一煉油廠第二煉油廠第三煉油廠燃料油0.7620.4760.286柴油0.1900.4760.381汽油0.2860.3810.571可以組成一個數(shù)表，并稱之為3階矩陣：二、矩陣的概念定義1.1設(shè)F是由一些數(shù)組成的集合，其中包含0和1。如果F中的任意兩個數(shù)的和、差、積、商仍然是F中的數(shù)，則F就稱為一個數(shù)域。有理數(shù)域Q，實數(shù)域R，復(fù)數(shù)域C。若無特別說明，各章中涉及的數(shù)均為實數(shù)。問：最小的數(shù)域是什么？定義1.2

由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.主對角線副對角線例如是一個實矩陣,是一個復(fù)矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個1×1矩陣.（2）例如是一個3階方陣.三、幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).（3）形如的方陣,不全為0

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(６)數(shù)量矩陣

當(dāng)對角矩陣的主對角線上的元都相同時，

稱為數(shù)量矩陣．(７)上三角形與下三角形矩陣

形如的矩陣稱為上三角形矩陣．形如的矩陣稱為下三角形矩陣．(8)對稱矩陣與反稱矩陣

如果n階矩陣A=()的元滿足

，則稱A為n階對稱矩陣;例如：

如果n階矩陣A=()的元滿足則稱A為n階反稱矩陣。例如：

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作§1.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法

定義1.4：設(shè)有兩個m×n矩陣A=(aij)

和B=(bij)

，則矩陣A與B矩陣的和矩陣規(guī)定為注意:只有當(dāng)兩個矩陣具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)時才能相加.我們稱矩陣

為A=(aij)的負(fù)矩陣，記作-A.

按照矩陣的加法定義可得出矩陣的減法：

矩陣的加法,滿足下列運(yùn)算律（設(shè)A,B,C都是m×n矩陣）：

(1)(2)(3)例設(shè)兩矩陣

求

解:

二、數(shù)與矩陣的乘法定義1.5：設(shè)矩陣A=(aij)

，λ是一個數(shù)，則數(shù)λ與矩陣A的乘積規(guī)定為：數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律（設(shè)A，B為m×n矩陣，λ，μ為實數(shù)）：(1)(2)(3)例設(shè)

求3A-2B.解：

三、矩陣的乘法定義1.6：設(shè)兩個矩陣

其中

則A與B的乘積矩陣,注意:只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)與B的行數(shù)相同時，A與B才能作乘積，并且乘積矩陣的行數(shù)與A的行數(shù)相等，乘積矩陣的列數(shù)與B的列數(shù)相等.矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是成立的）：

(1)結(jié)合律:

(2)分配律：

(3)設(shè)k是實數(shù):

例設(shè)

求乘積矩陣.

解：

例設(shè)求AB，BA與AC.解：例設(shè)則但是

例設(shè)可見，單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用。

從例題中我們可以得出下面的結(jié)論：(1)矩陣的乘法不滿足交換律,即AB≠BA，但對任一方矩陣A,有EA=AE.(2)兩個非零矩陣的乘積可能等于零矩陣.若

A≠0,B≠0,而AB=0,則稱A,B互為零因子,稱A為B的左零因子,B為A的右零因子.一般:AB=0,不能推出A=0或B=0.

(3)矩陣乘法中消去律不成立,即

AB=AC,且A≠0，不一定有B=C.必須注意：根據(jù)矩陣乘法分配律，對AB-Ka=0（k是正整數(shù)）只能推出A(B-kE)=0),不能推出A(B-k)=0,因為在一般情況下B-k沒有意義.

定義

如果兩矩陣相乘,有則稱矩陣A與矩陣B可交換.簡稱A與B可換.例：設(shè)矩陣求出所有與A可交換的矩陣。解：設(shè)為與A可交換的矩陣，由AX=XA可得

定義:

設(shè)A是一個n階方陣，規(guī)定

（k是正整數(shù)）

稱

為A的k次方冪.

方陣的冪滿足下列運(yùn)算律:(l,k為正整數(shù)）

兩個n階方陣A與B，一般：

定義:若

則稱A為冪等矩陣(inempotentmatrix),則稱A為冪零矩陣(nilpotentmatrix).若有正整數(shù)k,使例設(shè)

,n為正整數(shù),試求解:

設(shè)

有

而

所以有

四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義1.7：

設(shè)

則矩陣

稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣(transposedmatrix),記作

矩陣的轉(zhuǎn)置是一種運(yùn)算，它滿足下列運(yùn)算律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）

（2）

（3）

（k是數(shù)）

（4）

例9

已知

求

解:

A為對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)