高等數(shù)學(xué)：第十二章-傅氏級數(shù)課件

第十二章傅氏級數(shù)1Fourier

級數(shù)前面我們討論了一般項是非負(fù)整數(shù)次冪的冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)------冪級數(shù)，給出了冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，討論了函數(shù)展開為冪級數(shù)的條件及函數(shù)展開為冪級數(shù)的直接展開法、間接展開法。從本章開始我們來討論一般項是三角函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)------三角級數(shù)，重點討論如何把函數(shù)展開為三角級數(shù)的問題，它的重要應(yīng)用之一是對周期信號進(jìn)行頻譜分析，是學(xué)習(xí)積分變換的基礎(chǔ)，也可利用三角級數(shù)展開式求出某些數(shù)項級數(shù)的和.2一、問題的提出在自然科學(xué)與工程技術(shù)問題中，常會遇到周期現(xiàn)象具有周期現(xiàn)象的量，每經(jīng)過時間

T

后所取的值就重復(fù)出現(xiàn)，這樣的量在數(shù)學(xué)上可表示成時間

t

的周期函數(shù)

f(t+T)=f(t)正弦函數(shù)是一類比較簡單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛的一類周期函數(shù)。如在簡諧振動和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)但是在實際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會遇到非正弦周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運動.3非正弦型周期函數(shù)：矩形波如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開成簡單的周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成的級數(shù).不同頻率的正弦波逐個疊加.4567以電路計算為例，往往將以T

為周期的函數(shù)化成一系列不同頻率的正弦量之和。將周期函數(shù)按上述方式展開，其物理意義是很明確的，這就是把一個比較復(fù)雜的周期運動看成一系列不同頻率的簡諧振動的疊加.8§1三角函數(shù)系及其正交性三角級數(shù)級數(shù)

稱為三角級數(shù)其中a0

an

bn(n

12

)都是常數(shù)

9102.基本三角函數(shù)系及其特點1

cos

xsinx

cos2xsin2x

cos

nxsinnx

任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[

]上的積分為0。任何兩個相同函數(shù)的乘積在區(qū)間[]上的積分不等于零。單位正交系11121314§2周期為2π的函數(shù)的傅氏級數(shù)及其收斂性1.周期函數(shù)的傅氏系數(shù)與傅氏級數(shù)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)且能展開成三角級數(shù)，那么系數(shù)a0

a1

b1

與函數(shù)f(x)之間存在著關(guān)系。15函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?16171819傅里葉系數(shù)202.傅氏級數(shù)收斂性定理及傅氏展開式(1)分段連續(xù)：f(x)在[a,b]上除去有限個第一類間斷點外處處連續(xù)。21第一類間斷點y1-1O12x222.傅氏級數(shù)收斂性定理及傅氏展開式(2)分段單調(diào)：f(x)在[a,b]上只有有限個單調(diào)區(qū)間。232425262.傅氏級數(shù)收斂性定理及傅氏展開式(3)分段可微：函數(shù)f(x)在[a,b]上分段連續(xù)，存在有限個點a=x0<x1<…<xn=b，使f(x)

在每一個小區(qū)間(xi,xi+1)上可微，且在這些點處的廣義導(dǎo)數(shù)f’(xi+0),f’(xi+1-0)存在(i=0,…,n)，則稱f(x)在[a,b]上分段可微。27f(x)在點x0處的右導(dǎo)數(shù):f(x)在x0的廣義右導(dǎo)數(shù)：28f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù):f(x)在x0的廣義左導(dǎo)數(shù)：29問題:傅里葉級數(shù)30以上我們是在f(x)可以展開成三角級數(shù)并可以逐項積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個前提只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)并可唯一地寫出f(x)的F-----級數(shù)至于這個級數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題，有以下定理：狄利克雷充分條件31(4)狄利克雷充分條件定理1：設(shè)函數(shù)f(x)以2為周期在區(qū)間[

]上分段連續(xù)且分段單調(diào)，則f(x)的傅氏級數(shù)在任一點x處均收斂，且其和函數(shù)為32(5)定理2設(shè)函數(shù)f(x)以2為周期且在區(qū)間[

]上分段可微，則f(x)的傅氏級數(shù)在任一點x處均收斂到和函數(shù)3334例1.35例1.36例1.37例1.38例1.39例1.40注意:函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低得多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.41和函數(shù)圖象為42和函數(shù)圖象為43所求函數(shù)的傅氏展開式為44例2f(x)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的條件45例3試求其Fourier級數(shù)的和函數(shù)解f(x)在整個數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級數(shù)處處收斂于f(x)本身.46思考題47解答4849傅氏級數(shù)的意義——整體逼近50515253545556575859606162633.奇偶周期函數(shù)的傅氏級數(shù)若f(x)是偶函數(shù)，其傅氏系數(shù)為643.奇偶周期函數(shù)的傅氏級數(shù)若f(x)是奇函數(shù)，其傅氏系數(shù)為65展開步驟①驗證

f(x)滿足Dirichlet

條件，并確定f(x)的所有間斷點，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②根據(jù)公式計算Fourier系數(shù)③寫出Fourier級數(shù)展開式，并注明展開式的成立范圍注求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯，此外，某些an,

bn

需要單獨計算，容易忽略而導(dǎo)致錯誤66求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，主要的工作是計算Fourier系數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計算，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時此時其Fourier級數(shù)展開式是只含有正弦項而沒有常數(shù)項和余弦項的正弦級數(shù)67當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時此時其Fourier級數(shù)展開式是只含有常數(shù)項和余弦項而沒有正弦項的余弦級數(shù)684.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的周期為2l，在R上有定義，在[-l,l]上可積，則相應(yīng)的三角函數(shù)系為令，則改寫成694.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)令，則是以2為周期的函數(shù).704.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)714.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)724.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)周期為2l的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)為734.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時

其中744.任意周期的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時

其中757677787980818283解84858687非周期函數(shù)的展開前面我們研究了周期為T=2l的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，其中所涉及到的函數(shù)都是定義在無限區(qū)間上，但在實際應(yīng)用中卻需要對非周期函數(shù)，或定義在有限區(qū)間上的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，下面我們就來討論這種情況.885.定義在有窮區(qū)間的函數(shù)的傅氏系數(shù)(1)若f(x)在[

)上有定義，則令當(dāng)k=0時，F(xiàn)(x)=f(x),x∈[

).F(x)

以2為周期,稱為f(x)的周期延拓函數(shù)。8990F(x)的傅氏級數(shù)915.定義在有窮區(qū)間的函數(shù)的傅氏系數(shù)若f(x)在(

]上有定義，則令925.定義在有窮區(qū)間的函數(shù)的傅氏系數(shù)若f(x)在[

]上有定義，且f()=f(),則令935.定義在有窮區(qū)間的函數(shù)的傅氏系數(shù)若f(x)在[

]上有定義，且f()≠f(),則令94解95解9697解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于.9899100101所求函數(shù)的傅氏展開式為102利用傅氏展開式求級數(shù)的和103利用傅氏展開式求級數(shù)的和104105106(2)f(x)在[-l,l)or(-l,l]or[-l,l]上有定義可按(1)的方法將其延拓為以2l為周期的函數(shù)，f(x)對應(yīng)的傅氏級數(shù)為107周期延拓設(shè)函數(shù)f(t)在[-l,l)上滿足Dirichlet

條件為了將其展開為Fourier

級數(shù)，需要將f(t)在[-l,l)以外進(jìn)行周期性延拓，也就是作一個周期.為l

的函數(shù)

F(t)使得F(t)在[-l,l)上與f(t)恒等，將F(t)展開成Fourier

級數(shù).108而在[-l,l)的連續(xù)點處，有若

t0

是[-l,l)內(nèi)的間斷點，則在該點處，級數(shù)收斂于109需要注意的是區(qū)間的兩個端點，雖然對f(t)來說，在左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù)，但延拓成F(t)以后，在就不一定連續(xù)，由收斂定理，級數(shù)收斂于因此若f(t)在[-l,l)上左端點的右極限等于右端點的左極限，即展開式在110展開式在此時Fourier

級數(shù)的收斂域包括區(qū)間的端點，否則Fourier

級數(shù)的收斂域不包括區(qū)間的端點.應(yīng)該指出，這里所要展開的是f(t)要得到的是第二個級數(shù)，在實際計算中并不需要得到第一個級數(shù)，雖然兩個展開式形式上完全相同，但它們的收斂域不同，F(xiàn)(t)是延拓到整個數(shù)軸上的情形，而

f(t)的展開式只局限于[-l,l]，因此在討論f(t)的展開式的收斂域時，不要擴展到f(t)的定義域之外.111解112113另解114(3)f(x)在[0,l]上有定義偶延拓。令當(dāng)0≤x≤l時,115(3)f(x)在[0,l]上有定義奇延拓。令當(dāng)0<x<l時,116注意

f(x)在[0,l]連續(xù)時，在[0,l]內(nèi)f(x)即可展開為余弦級數(shù),也可展開為正弦級數(shù).兩個級數(shù)在(0,l)內(nèi)都等于f(x),而在(0,l)之外,兩個級數(shù)可能就不相同了.117注意一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點偶延拓的收斂域包括端點118解02-2xy1119120解02-2xy1121解02-2xy1122123解124解(1)求正弦級數(shù).125126(2)求余弦級數(shù).127128§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式若f(x)以2為周期，設(shè)若，則誤差最大偏差：平均平方誤差：選擇使最小。129§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式130§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式其中是f(x)的傅氏級數(shù)。當(dāng)

最小。131§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式定理1：設(shè)函數(shù)f(x)在[

]上可積，則當(dāng)取等于f(x)的傅氏系數(shù)時，三角多項式Tn(x)與f(x)的平均平方誤差達(dá)到最小，且其中為f(x)的傅氏級數(shù)。132§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式推論1：設(shè)函數(shù)f(x)在[

]上有界可積，則有下列貝塞爾不等式：推論2：設(shè)函數(shù)f(x)在[

]上有界可積，則傅氏系數(shù)an與bn都趨向于零(當(dāng)n→∞時)。133§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式定理2：設(shè)函數(shù)f(x)在[

]上有界可積，將f(x)的傅氏系數(shù)的前(2n+1)項的部分和記作Sn(x),即令則有134§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式推論1：當(dāng)函數(shù)f(x)在[

]上有界可積，則有帕斯瓦爾不等式：這里為f(x)的傅氏系數(shù)。135§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式貝塞爾不等式幾何解釋帕斯瓦爾不等式的幾何意義平均逼近與平均收斂：Sn與f之間在可積函數(shù)空間中的距離趨于零（當(dāng)n→∞時）。136§3貝塞爾不等式與帕斯瓦爾不等式[

]上兩個有界可積函數(shù)f與g之間的距離是f-g的范數(shù)，令那么137小結(jié)1以2L為周期的傅氏系數(shù);2利用變量代換求傅氏展開式;3求傅氏展開式的步驟;（1）.畫圖形驗證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);（2）.求出傅氏系數(shù);（3）.寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于1384非周期函數(shù)的展開奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余弦級數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;5、需澄清的幾個問題.(誤認(rèn)為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);139Fourier級數(shù)小結(jié)140常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一般項級數(shù)正項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項級數(shù)傅氏展開式傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)滿足狄氏條件在收斂級數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化一、主要內(nèi)容141一、主要內(nèi)容1。Fourier級數(shù)Fourier

系數(shù)1422。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)在一個周期內(nèi)①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點②只有有限個極值點則Fourier

級數(shù)收斂，且1433。周期為2L

的函數(shù)展開為

Fourier級數(shù)144若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有簡化的計算公式偶函數(shù)奇函數(shù)4。非周期函數(shù)的展開上有定義的函數(shù)f(

x)145先在整個數(shù)軸上作周期延拓，將延拓后的函數(shù)展開成Fourier

級數(shù)，最后限制自變量的取值范圍，即得f(

x)的

Fourier

級數(shù)展開式上有定義的函數(shù)f(

x)奇延拓——-展開成正弦級數(shù)（收斂域一般不包含端點）偶延拓——展開成余弦級數(shù)（收斂域一定包含端點）1465。強調(diào)幾點這部分內(nèi)容所涉及到的問題，類型不多，有求函數(shù)的Fourier

級數(shù)展開式，討論其和函數(shù)，證明三角等式，求某些數(shù)項級數(shù)的和。解法也比較固定首先是求出Fourier

系數(shù)，寫出Fourier

級數(shù)，然后根據(jù)Dirichlet

充分條件討論其和函數(shù)⑴記住Fourier

系數(shù)公式。Fourier

系數(shù)的計算須不止一次地使用分部積分公式，要小心⑵掌握Dirichlet

收斂定理的內(nèi)容147⑶求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，必須注明展開式的成立范圍——即連續(xù)區(qū)間，也即只要去掉間斷點⑷注意函數(shù)的奇偶性、周期性⑸注意函數(shù)的定義域，是否需要延拓?zé)o