高數(shù)上8八章1節(jié)

學(xué)習(xí)改變命運(yùn)，勤奮贏(yíng)得未來(lái)，細(xì)節(jié)影響成敗，態(tài)度決定一切。=a11a22

-a12a2121a1222a

aa1、二階行列式：D=

11a11

a12稱(chēng)為數(shù)表 所確定的二階行列式.a21

a22數(shù)aij

(i,

j=1,2)稱(chēng)為行列式的元；元aij的下標(biāo)i(j)稱(chēng)為行(列)標(biāo),表示該元 位于行列式的第i

行(第j列)；元aij

稱(chēng)為行列式的(i,j

)元.2、三階行列式：a

a

a稱(chēng)為數(shù)表a21a31a11

a12

a1321

22

23a31

a32

a33a11

a12

a22a32=

a11a22a33

+a13a21a32

+a12a23a31-a13a22a31

-a11a23a32

-a12a21a33a13a23

所確定的三階行列式.a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a21

a2331

331232a22

a233311

a31a21

a213213

a-aa=

aa

aa+a3、按第一行展開(kāi)計(jì)算三階行列式：第八章知識(shí)點(diǎn)1、空間直角坐標(biāo)系.2、向量代數(shù)：1--2節(jié).3、空間解析幾何：3--6節(jié).點(diǎn)是幾何中最基本的元素，有了平面直角坐標(biāo)系以后，可以用二元有序數(shù)對(duì)表示平面上每一個(gè)點(diǎn)．這樣就可將幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化．笛卡爾對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)：建立了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系．如解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科；而數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)基本思想方法，實(shí)際上是利用幾何圖形(方法)幫助解決代數(shù)問(wèn)題.平面直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系有一個(gè)原點(diǎn),三個(gè)坐標(biāo)軸,三個(gè)坐標(biāo)面,八個(gè)卦限.oz上y

右前

x下左后x前y

右左下0常見(jiàn)畫(huà)法：x,

y,z

軸滿(mǎn)足右手系.上z后8.1

向量及其線(xiàn)性運(yùn)算一、向量及其相關(guān)概念：既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量.與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為自由向量.1、向量的大小(模)：AB|

|,|

a

||

a

|=0

(方向任意)2、零向量：

=a

o

a|

a

|

a注："

a

?

o有單位化向量e

=

.a

4、

=

b

a與b大小相等方向相同a,b

=

0

p

?

[0,p

](2)a

^

ba,b

=2p5、q

=a,b(1)a

//

b

▲3、a為單位向量

|

a

|=1二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算：1、向量的加法：平行四邊形法則：三角形法則：多邊形法則：(2)a

-b

=

a

+(-b).

2、數(shù)與向量的乘法：

大?。簗

l(l

>

0)a

反向

(l

<

0)la

方向與a

同向與| |

a

|(1)a

?

o,b

/

/a

$1l?

R,

st：b

=

la；▲注3、線(xiàn)性運(yùn)算律：

(1)a

+b

=

b

+a

(2)(a

+b)

+c

=

a

+(b

+c)(3)a

+o

=o

+a

=a(4)a-a

=a+(-a)

=o(5)l(m)

=

m(l)

=(lm)

a

a

aa

a

a(6)(l

+

m)

=

l

+

m(a

b)(7)l

+

=la

+lb(8)1

a

=

a；(-1)a

=

-a("l,m?

R)

例、如圖：AB

=a,AD

=b,用a、b表示MA、MB、MC、MDABCMDMC

=

(a

+

b),

MB

=

(a

-b)2

2

1

1

三、向量的坐標(biāo)表示：(1)a

=xi

+yj

+zk

(坐標(biāo)分解式)(坐標(biāo)表示式)(2)a

=(x,

y,

z)

x,y,z軸上的基本單位向量i

,j,kM

(x,

y,

z),a

=

OM,四、利用坐標(biāo)作線(xiàn)性運(yùn)算：a

=(ax

,ay

,az

),b

=(bx

,by

,bz

)(1)a

–b

=(ax

–bx

,ay

–by

,az

–bz

)(2)"l?

R,l

=(la

,la

,la

)a

x

y

zbybxbzax

ay

az=

=注：

//ba求u,l例：已知

=(2,-1,1)//b

=(4,u,l)，a4

u

l2

-1

1解：

/

/b

=

=a\

u

=-2,l

=22|

a

|=r

=

x2

+

y2

+z五、向量的模、方向角：M

(x,

y,

z),a

=

OM,▲1、向量的模：a

r

r r

x

y z

(1)"a

?o有：e

=,

,

.(2)A(x1,

y1,

z1),B(x2,

y2,

z2

)

AB=(x2

-x1,

y2

-

y1,

z2

-z1)▲由此即得兩點(diǎn)間距離公式：d

=

(x

-x

)2

+(y

-y

)2

+(z

-z

)2AB

2

1

2

1

2

1▲(3)三角不等式：

"a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),有：

|

a

|

-

|

b

|

￡|

a

–

b

|￡|

a

|

+

|

b

|

其中等號(hào)在a與b同向或反向時(shí)成立.A1

(4,0,0)A2

(0,-3,0)A3

(0,0,5)dx

=|

AA1

|dy

=|

AA2

|dz

=|

AA3

|例、已知：A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)求證：DABC是正三角形例、求A(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距離例、已知A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)求M

?

yoz面使：|

MA|=|

MB

|=|

MC

|M(0,1,-2)例、已知：A(1,1,1),B(2,3,1),求滿(mǎn)足|

MA

|=|

MB

|的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程2x+4y

-11=0▲2、方向角和方向余弦：(1)的方向角：與x,y,z軸正方向a

a的夾角a

,b

,ga

=

,

b

=

,g

=

k

a,

i a,

j

a,\

a,b,g?[0,p]a(2)"a?

o

e

=

(cosa,cos

b,cosg).

(2)a的方向余弦：cosa

=

x

,cosb

=

y

,cosg

=

zr

r

r注：(1)cos2

a

+cos2

b

+cos2

g

=1；例、已知：A(3,

2,

2),

B(2,

3,

0),求向量AB的模,方向余弦,方向角.解a

=AB

=(-1,1,-2)r

=|

|=2

a\

cosa

=-1,cosb

=

1,cosg=-

22

2

2a,b,g?[0,p]

\a

=2p,b

=p,g=3p3

3

4▲例1、已知：A(2,

2,

0),

B(1,

3,

2),n求與

=AB同向的單位向量解：

=

AB

=

(-1,1,

2)n\

r

=|

n

|=

21

1n

2

\

e

=

-,

,

為所求2

2

2

n注：–e為與n平行的單位向量.2

=(u

-u1)e-u1e(1)AB=OB-OA=u2eeA

Bu1

u2u01

六、向量AB在u軸上的投影Pr

ju

AB：1、AB在u軸上：

(2)Pr

ju

AB：有向線(xiàn)段AB的值u2

-u1.2、AB在u軸外：(與u軸成角q)(1)q

=a,

eu

?[0,p].(2)點(diǎn)A、B在u軸上的投影A'、B'：過(guò)點(diǎn)A、B作u軸的垂面與u軸的交點(diǎn).u(3)Pr

j

AB：有向線(xiàn)段A'B'的值.1)Pr

ju

(a+b)

=Pr

jua+Pr

jub