2013-2017年高考數(shù)學(xué)(理)分類(lèi)匯編解析：第5章-平面向量

2013-2017年高考數(shù)學(xué)(理)分類(lèi)匯編解析：第5章-平面向量

（1，2），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）．由于圓與BD相切，所以PE垂直于BD，即向量PE與向量BD垂直，因此有（x-1，y-0）·（1，-1）=0化簡(jiǎn)得x-y+1=0，即y=x-1又因?yàn)锳P=λAB+μAD，所以有向量AP=λ(1,0)+μ(0,2)，即（x，y）-（0，0）=λ（1，0）+μ（0，2）化簡(jiǎn)得x=λ，y=2μ代入y=x-1，得到μ=（x-1）/2將μ代入AP=λAB+μAD中，得到λ=（2x-1）/5因此，λ+μ=（2x-1）/5+（x-1）/2=（4x-7）/10要使λ+μ最大，只需使2x-1盡可能大，即x取最大值，即x=1因此，λ+μ=（4x-7）/10=（4-7）/10=-3/10解法二：由于圓與BD相切，所以AP的長(zhǎng)度等于圓的半徑，即AP=AC=√5又因?yàn)锳P=λAB+μAD，所以有|AP|=|λAB+μAD|化簡(jiǎn)得|λAB+μAD|=√(λ^2+4μ^2)由于AB=（1，0），AD=（0，2），所以有|λAB+μAD|=|λ(1，0)+μ(0，2)|=|（λ，2μ）|化簡(jiǎn)得|λAB+μAD|=√(λ^2+4μ^2)因此，有√(λ^2+4μ^2)=√5解得λ^2+4μ^2=5又因?yàn)閥=x-1，所以μ=(x-1)/2代入λ^2+4μ^2=5中，得到λ^2+（x-1）^2=5/4化簡(jiǎn)得λ^2=（9-8x+2x^2）/4要使λ最大，只需使2x-1盡可能大，即x取最大值，即x=1因此，λ=1，μ=0因此，λ+μ=1+0=1綜上所述，選項(xiàng)A正確。1.因?yàn)?|CD|=1,|BC|=2$，所以$BD=\sqrt{1^2+2^2}=5$。因?yàn)?BD$切$\epsilon_C$于點(diǎn)$E$，所以$CE\perpBD$。所以$CE$是直角三角形$BCD$斜邊$BD$上的高。$EC=\frac{2S_{\triangleBCD}}{BD}$，即$\epsilon_C$的半徑為$\frac{1}{2}\cdotBC\cdotCD=\frac{1}{2}\cdot2\cdot1=\frac{1}{2}$。2.因?yàn)辄c(diǎn)$P$在$\epsilon_C$上，所以點(diǎn)$P$的軌跡方程為$(x-2)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}$。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，可以設(shè)出點(diǎn)$P$坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程$x=2+\frac{5}{5}\cos\theta,y=1+\frac{5}{2}\sin\theta$。而$AP=(x,y),AB=(0,1),AD=(2,0)$。因?yàn)?AP=\lambdaAB+\muAD=\lambda(0,1)+\mu(2,0)=(2\mu,\lambda)$，所以$\mu=\frac{15}{25}$。兩式相加得$\lambda+\mu=1+\sin\theta+\cos\theta=2+\frac{5}{2}\sin(\theta+\varphi)$（其中$\sin\varphi=\frac{1}{5}$，$\cos\varphi=\frac{2}{5}$），$2+\sin(\theta+\varphi)\leq3$，當(dāng)且僅當(dāng)$\theta=\pi+2k\pi-\varphi$，$k\inZ$時(shí)，$\lambda+\mu$取得最大值為$3$。故選A。3.已知向量$a,b$滿(mǎn)足$a=1,b=2$，則$a+b+a-b=2a+b=2\cdot1+2=4$。又因?yàn)?a+b$和$a-b$是以$a,b$為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)，所以$a+b+a-b=2a+b=2\sqrt{1^2+2^2}+2=2\sqrt{5}+2$。易知當(dāng)$A,B,C$三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，$AB+AC$最小，此時(shí)$AB+AC=BC=4$；當(dāng)$AO\perpBC$時(shí)，$AB+AC$最大，此時(shí)$AB+AC=2AB=2\sqrt{5}$。1.在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)。若2θ=π，求a+b+a-b的最大值。解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AB=AD=1，BC=CD=2sin60°=√3。又因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以CE=DE=1。設(shè)向量a=AB，向量b=CE，則a+b=AC，a-b=BE。根據(jù)余弦定理，可以得到AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos60°=1+3-2=2，BE2=AB2+CE2-2·AB·CE·cos120°=1+1+2·1·(-0.5)=2。所以a+b的最大值為2√2，a-b的最大值為2。所以a+b+a-b的最大值為2√2+2=2(√2+1)。2.設(shè)e1，e2為單位向量，且?jiàn)A角為π/3。若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的射影為多少？解析：向量a在b方向上的射影為a在b方向上的單位向量b/|b|的數(shù)量積，即(a·b/|b|)·(b/|b|)。因?yàn)閎=2e1，所以|b|=2。又因?yàn)閑1和b的夾角為0，所以a在b方向上的射影為(a·b/|b|)·(b/|b|)=(e1+3e2)·2e1/2·e1=2。3.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，AB+AD=λAO，則λ=多少？解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AB=CD，AD=BC。設(shè)向量a=AB，向量b=AD，則向量a+b=AC，向量a-b=BD。根據(jù)題目條件，可以得到AB+AD=BC+CD，即a+b=a-b。又因?yàn)锳C與BD互相平分，所以向量a+b和向量a-b互相垂直。所以根據(jù)勾股定理，可以得到|a+b|2+|a-b|2=2|AB|2+2|AD|2=8。又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以向量AC和向量BD相等。所以λ|AO|=|AB+AD|=|a+b|=√8。又因?yàn)锳C和BD互相平分，所以向量AC和向量BD互相垂直。所以根據(jù)勾股定理，可以得到|AC|2+|BD|2=2|AB|2+2|AD|2=8。所以|AO|2=|AC|2+|CO|2=|BD|2+|DO|2=4。所以λ=√2。4.若向量a,b滿(mǎn)足：a=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，則b=多少？解析：根據(jù)向量的垂直性質(zhì)，可以得到(a+b)·a=0，(2a+b)·b=0。根據(jù)向量的數(shù)量積的分配律和結(jié)合律，可以得到a·a+b·a=0，2a·b+b·b=0。因?yàn)閍=1，所以b·a=0。又因?yàn)?a+b)⊥a，所以b·a+b·a=0。所以b·a=0。又因?yàn)?a·b+b·b=0，所以b·(2a+b)=0。又因?yàn)閎·a=0，所以b·b=0。所以b=0。5.已知向量a=(1,0,-1)，則下列向量中與a成60°夾角的是哪個(gè)？解析：設(shè)向量b=(x,y,z)，則a·b=|a|·|b|·cos60°=1/2。又因?yàn)閍·b=x-z，所以x-z=1/2。又因?yàn)閍·b=x，所以x=1。所以z=-1/2。又因?yàn)閍·b=y，所以y=0。所以向量b=(-1/2,0,1)與向量a成60°夾角。6.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上，BE=λBC，DF=μDC。若AE:AF=1:3，CE:CF=1:2，則λ+μ=多少？解析：根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以得到AB=AD=2sin120°=√3，BC=CD=2cos120°=-1。又因?yàn)镃E:CF=1:2，所以CE=2/3，CF=4/3。設(shè)向量a=AB，向量b=CE，則a+b=AE，a-b=BE。根據(jù)余弦定理，可以得到AE2=AB2+CE2+2·AB·CE·cos∠BAC=4/3+3-4/3=2，BE2=AB2+CE2-2·AB·CE·cos∠BAC=4/3+3+4/3=10/3。所以λ=BE/BC=-10/3。設(shè)向量c=DF，向量d=DC，則c+d=CF，c-d=DF。根據(jù)余弦定理，可以得到CF2=CD2+DF2+2·CD·DF·cos∠DCF=16/9+1-8/9=2，DF2=CD2+CF2-2·CD·CF·cos∠DCF=16/9+4/3+16/9=20/3。所以μ=DF/DC=-2√5/3。所以λ+μ=-10/3-2√5/3。7.設(shè)向量a,b滿(mǎn)足a+b=10，a-b=6，則a·b=多少？解析：將a和b表示成a=(x,y)和b=(m,n)，則根據(jù)題目條件可以得到x+m=10，y+n=10，x-m=6，y-n=6。解得x=8，y=2，m=2，n=8。所以a·b=8·2+2·8=32。8.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，則AB·AD的值是多少？解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AB=CD，AD=BC。設(shè)向量a=AB，向量b=AD，則向量a+b=AC，向量a-b=BD。又因?yàn)锳P·BP=2，所以AP2·BP2=4。所以根據(jù)余弦定理，可以得到AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos∠BAC=64+25-80/3=27/3，BD2=AB2+CD2+2·AB·CD·cos∠BAD=64+25+80/3=233/3。所以AB·AD=|a|·|b|·sin∠BAD=2·(27/3)·(233/3)·sin120°/2=155√3。9.已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα=1/3。向量a=3e1-2e2，向量b=3e1-e2，則向量a和向量b的夾角為多少？解析：根據(jù)向量的數(shù)量積公式，可以得到a·b=|a|·|b|·cosθ=(3e1-2e2)·(3e1-e2)/2=7/2。又因?yàn)閨a|=|b|=√13，所以cosθ=7/2√13。所以θ=arccos(7/2√13)。又因?yàn)閏osα=1/3，所以α=arccos(1/3)。所以向量a和向量b的夾角為θ-α=arccos(7/2√13)-arccos(1/3)。10.在△ABC中，已知AB·AC=tanA，且AB+AC，△ABC的面積為6。求A的值。解析：根據(jù)△ABC的面積公式，可以得到[ABC]=1/2·AB·AC·sinA=tanA/2·sinA=6。所以sinA=12/tanA。又因?yàn)锳B+AC=2AB·cosA=tanA/cosA，所以cosA=tanA/2AB。所以sinA=24/AB。所以AB·AC=tanA=12·AB/sinA=12·AB2/24=AB2/2。所以AB=AC。所以∠A=π/3。12.設(shè)$D$為$\triangleABC$所在平面內(nèi)一點(diǎn)，$BC=3CD$，則$AD=$（）。解析：由題可得$BC=AC-AB$，所以$CD=BC=AC-AB$，所以$AD=AC+CD=AC+AC-AB=2AC-AB$。故選B。13.在$\triangleABC$中，點(diǎn)$M$，$N$滿(mǎn)足$AM=2MC$，$BN=NC$。若$MN=xAB+yAC$，則$x=$（），$y=$（）。解析：在$\triangleABC$中，點(diǎn)$M$滿(mǎn)足$AM=2MC$，點(diǎn)$N$滿(mǎn)足$BN=NC$，所以$AB-AC=BM-MC=CN-NA$，即$BM+CN=AB+AC$，所以$MN=BM+CN=AB+AC$。所以$x=1$，$y=-1$。14.在平面內(nèi)，定點(diǎn)$A$，$B$，$C$，$D$滿(mǎn)足$DA=DB=DC$，$DA\cdotDB=-2$，動(dòng)點(diǎn)$P$，$M$滿(mǎn)足$AP=1$，$PM=MC$，則$BM$的最大值是（）。解析：已知$\angleADC=\angleADB=\angleBDC=120^\circ$，$DA=DB=DC=2$。以$D$為原點(diǎn)，直線(xiàn)$DA$為$x$軸建立平面直角坐標(biāo)系，則$A(2,0)$，$B(-1,-\sqrt{3})$，$C(-1,\sqrt{3})$。設(shè)$P(x,y)$，由已知$PA=1$，得$(x-2)^2+y^2=1$。又$PM=PC$，所以$M\left(\frac{x-1}{2},\frac{y+\sqrt{3}}{2}\right)$，所以$BM=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}-\frac{x}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{y}{2}\right)^2}$。由坐標(biāo)系中的距離公式可得$BM_{\max}=\sqrt{\frac{37+33\sqrt{3}}{34}}$。故選A。15.如圖所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，且OB與OC的夾角為45°，C為OA與OB、OC的平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠BOC=α，若O(m,n)，則m+n=______。解析：首先可以根據(jù)向量的模和夾角關(guān)系，得到OC·OA=2，OC·OB=1，OB·OA=cos45°=1/√2。然后可以通過(guò)向量分解或者坐標(biāo)法求出向量OC在OB，OA方向上的分量，進(jìn)而得到OC向量的坐標(biāo)。最后可以通過(guò)向量的點(diǎn)乘公式求出cosα，進(jìn)而得到sinα，從而求出OC向量在OA方向上的分量，進(jìn)而得到m和n，最終得到m+n=3。1.（2014福建理8）在下列向量組中，可以把向量a表示出來(lái)的是（）。A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.（2014湖南理16）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(-1,0)，B(3,0)，C(3,4)，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足CD=1，則OA+OB+OD的最大值是________。3.（2014陜西理13）設(shè)∠θ<π，向量a=(sin2θ,cosθ)，b=(cosθ,1)，若a//b，則2tanθ=_______。4.（2014陜西理18）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上。(1)若PA+PB+PC=OP，求OP；(2)設(shè)OP=mAB+nAC(m,n∈R)，用x,y表示m-n，并求m-n的最大值。5.（2015年江蘇6）已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，若ma+nb=(9,-8)，則m-n的值為_(kāi)______。6.（2017江蘇13）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O:x^2+y^2=50上。若PA·PB≥20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_______.題目22：已知點(diǎn)P(x,y)在圓O:x+y=50上，且在直線(xiàn)2x-y+5=0的左上方（含直線(xiàn)）。求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解析：聯(lián)立圓和直線(xiàn)方程，得到x的取值范圍為[-5,1]。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以y=50-x，代入直線(xiàn)方程中得到y(tǒng)>15。所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5,y)或(1,y)，其中y的取值范圍為(15,50]。題目65：已知向量a=(3,-2)，b=(1,4)，求向量a在b方向上的投影。解析：向量a在b方向上的投影為a·cosθ，其中θ為a和b的夾角。根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a·b=|a||b|cosθ，所以cosθ=a·b/|a||b|=5/√13。所以向量a在b方向上的投影為(3,-2)·(1/√13,4/√13)=(11√13)/13。1.AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有PB/PA=5/2，則C.AC=2，BD=5/2。2.設(shè)△ABC,P是邊AB上一定點(diǎn)，滿(mǎn)足PB=PC，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有PB*PC=5，則選項(xiàng)B成立。3.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則AE*BD=2。4.已知向量AB與AC的夾角為120度，且AB=3，AC=2，若AP=lambda*AB+AC，且AP垂直于BC，則lambda的值為-1/2。5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a,b，a=b=1，且a·b=0，點(diǎn)Q滿(mǎn)足∠OQa=2π/3，區(qū)域OQ=2(a+b)。曲線(xiàn)C=POP'，其中P'為P關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，C與OQ的交點(diǎn)為P，則選項(xiàng)C成立。6.設(shè)a,b,c是非零向量，已知命題p：若a·b=0，b·c=0，則a·c=0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c，則選項(xiàng)A成立。7.平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=-2。8.已知向量a=(k,3)，b=(1,4)，c=(2,1)，且2a-3b⊥c，則k=-9/5。9.已知向量a=1，b=(2,1)，且λa+b=0，則λ=-2/5。10.設(shè)向量a=(3,3)，b=(1,-1)，若(a+λb)⊥(a-λb)，則λ=1/2。11.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊a,b,c，且a>c。已知BA·BC=2，cosB=3/5，b=3。則a=4，c=1。17．解析設(shè)雙曲線(xiàn)C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上方，且OF1=OF2=c，則雙曲線(xiàn)方程為y2/c2-x2/c2=1，即y2=c2(x2/c2+1)。由于M在雙曲線(xiàn)上，所以y2=1+x2，代入上式得c2=1/3。設(shè)M到F1，F(xiàn)2的距離分別為d1，d2，則根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有d1-d2=2c。由于MF1=MF2=d，所以d1^2+d2^2=4d^2。代入上式得d1+d2=sqrt(16d^2-4c^2)。根據(jù)題意得(d1-d2)^2<4d1d2，即(d1-d2)^2<4d^2，代入上式得2c<sqrt(16d^2-4c^2)，整理得c^2+2cd<4d^2，代入c^2=1/3得1/3+2d/sqrt(3)<4d^2，整理得d^2-d/sqrt(3)+1/12>0，解得d∈(-∞,1/2sqrt(3))∪(sqrt(3)/2,∞)，所以選項(xiàng)B正確。20．解析如圖所示，連接DN、BM交于點(diǎn)X，由題可得BM3MC，DN2NC，則MX2NC，NX3MC，AXADDN2，BXBMMX5，所以AMNMAXNXBXMX23MC2NC52NC3MC60，故選A.20.解析：根據(jù)題目中的公式AM=AB+AD，NM=CM-CN=-AD+AB，代入得到16AB-9AD=4AB+3AD，化簡(jiǎn)得到4AB-3AD=0，因此AM∈NM。根據(jù)勾股定理，得到AM=√(16^2*3^2-9^2*3^2)/48=3√7/2，因此選C。21.解析：設(shè)向量a和b的夾角為θ，根據(jù)題目中的條件(a-b)⊥(3a+2b)，得到(a-b)∈b-2a，展開(kāi)得到3a-abcosθ=2b，再代入a=b/2，得到3b/2-b/2cosθ=2b，化簡(jiǎn)得到cosθ=2/3，因此夾角θ=arccos(2/3)，因此選A。22.解析：因?yàn)镺A⊥AB，所以O(shè)A·AB=0，又因?yàn)镺A·OB=|OA||OB|cosθ，代入得到OA·OB=|OA|^2=9，因此選9。23.解析：根據(jù)題目中的條件，有DF=DC，DC=AB=2，因此CF=AB=2。又因?yàn)椤螦BC=60°，所以BC=AB/2=1，因此AE=AB+BE=AB+λBC=1+λ。同理，AF=AB+BC+CF=AB+BC+AB=4，因此AE·AF=(1+λ)·4=4+4λ。當(dāng)λ=-1/9時(shí)，AE·AF取得最小值，因此選-4/9。1.此處缺少題目，無(wú)法進(jìn)行修改。2.已知向量$e_1,e_2$是空間單位向量，$b\cdote_2=\frac{1}{5}$，若空間向量$b$滿(mǎn)足$b\cdote_1=2$，且對(duì)于任意$x,y\in\mathbb{R}$，$b-(xe_1+ye_2)\cdotb-(xe_1+ye_2)=1$，則$x=\frac{7}{24}$，$y=\frac{5}{12}$，$b=\frac{22}{3}e_1-\frac{2}{3}e_2$。3.已知向量$\overrightarrow{BA}=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，則$\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BC}+(1+\lambda)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{21\lambda^2+17\lambda+29}{18\lambda+18}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\lambda=\frac{9}{13}$時(shí)，$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$的最小值為$\frac{9}{13}$。4.在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，已知向量$\overrightarrow{m}=\frac{1}{\sqrt{22}}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}\sinx\\\cosx\end{pmatrix}$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。$(1)$若$\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}$，則$\tanx=1$；$(2)$若$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{\pi}{3}$，則$x=\frac{\pi}{6}$。31.解析：不妨設(shè)P為$(cos\alpha,sin\alpha)$，$\alpha\in[0,\pi]$，則$BA=(1,1)$，$BP=(cos\alpha,sin\alpha+1)$。由向量?jī)?nèi)積的幾何意義可得：$BP\cdotBA=|BP|\cdot|BA|\cdotcos\theta$，其中$\theta$為$BP$與$BA$的夾角。又因?yàn)?y=1-x^2$在第一象限內(nèi)，所以$sin\alpha\leq1-cos^2\alpha$，即$sin\alpha+1\leq2-cos^2\alpha$。所以$BP\cdotBA=(cos\alpha)(1+sin\alpha)\leqcos\alpha(2-cos^2\alpha)$。令$f(x)=x(2-x^2)$，則$f'(x)=2-4x^2$，$f(x)$在$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$。故$BP\cdotBA\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}$，取等號(hào)時(shí)$\alpha=\frac{\pi}{4}$。綜上所述，$BP\cdotBA\in[0,\frac{3\sqrt{2}}{4}]$。32.（2016江蘇13）如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是多少？解法一（基底法）：令DC=a，DF=b，則DB=-a，DE=2b，DA=3b，則BA=a+3b，CA=-a+3b，BE=a+2b，CE=-a+2b，BF=a+b，CF=-a+b。因此，BA·CA=-a^2+9b^2=4，BF·CF=-a^2+b^2=-1。解得a^2=135/22，b^2=32/11。因此，BE·CE=-a^2+4b^2=-5137/888。解法二（建系法）：以D為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，BC的中垂線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)C（a,0），F(xiàn)（b,c），則B（-a,0），E（2b,2c），A（3b,3c）。則BA=(3b+a,3c)，CA=(3b-a,3c)，BE=(2b+a,2c)，CE=(2b-a,2c)，BF=(b+a,c)，CF=(b-a,c)。由題意BA·CA=9b^2+9c^2-a^2=4，BE·CE=4b^2+4c^2-a^2=-5137/888。已知向量a=1，b=2，求a·b的最大值，使得對(duì)于任意單位向量e，都有a·e+b·e≤k。解析：根據(jù)柯西-施瓦茨不等式，有a·e+b·e≤|a|·|e|+|b|·|e|=|a|+|b|=√2+1。因此，k的最大值為√2+1。而a·b=|a|·|b|·cosθ≤|a|·|b|=2，因此a·b的最大值為2。當(dāng)(a+b)e=ae+be=6時(shí)，有ab=0。取a與b的夾角余弦值的a與b，使e與a+b平行。當(dāng)ab可取到。在△ABC中，∠A=60，AB=3，AC=2。若BD=2DC，a^2+b^2+2ab≤6，ab≤2/3。AE=λAC-AB(λ∈R)，且AD×AE=-4，則λ的值為_(kāi)__________。解法一：如圖所示，以向量AB，AC為平面向量的基底，則依題意可得AB·AC=ABACcos60=3×2×1/2=3。又因?yàn)锽D=2DC，AC-AB=AC+AB，則AD=AB+BD=AB+BC=AB+2/3AC，因此-4=AD×AE=AC-AB-(2/3AC)^2-1/3AB^2=λ-5/3，解得λ=113/33。解法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)。依題意易得A(0,0)，B(3,0)，C(1,3)，AB=(3,0)，BC=(-2,3)，AC=(1,3)。則可得AD=AB+BD=AB+BC=(5/3,3)，AE=λAC-AB=(λ-3,3λ)，于是有-4=AD×AE=(λ-3)-10/3，解得λ=113/33。設(shè)m，n為非零向量，則存在負(fù)數(shù)λ，使得m=λn且|m·n|<|m||n|的充分而不必要條件。已知向量a，b的夾角為60，a=2，b=1，則a+2b=4。2236.解析a+2b=(a+2b)2=a+2?a?2b?cos60°+(2b)2=22+2?2?2?+22=4+4+4=12，所以a+2b=12=23.37.（2017全國(guó)2理12）已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?(PB+PC)的最小值是（）.解法一（幾何法）：如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD，取AD的中點(diǎn)E，由PA?PB+PC=2PD?PA=2PE?(PE-ED)=2PE2-ED2，因?yàn)镻E≥ED，所以PA?PB+PC≥0，當(dāng)且僅當(dāng)P與E重合時(shí)，取得最小值為0，故選B.解法二（解析法）：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，PA=-x,3-y，PB=(-1-x,-y)，PC=(1-x,-y)，所以PA?PB+PC=2x-23y+2y=2x+4，則其最小值為2?(-2)=-4，此時(shí)x=3/2，y=-1/2．故選B.38.（2017全國(guó)3理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)