概率論課后答案第2章作業(yè)題解

為保證設(shè)備的正常運(yùn)行,必須配備一定數(shù)量的設(shè)備維修人員.180臺(tái),且各臺(tái)設(shè)備工作相互獨(dú)立,任一時(shí)刻發(fā)生故障的概率都是0.01，假設(shè)一臺(tái)設(shè)備的故障由一人進(jìn)行修理,問至少應(yīng)配備多少名修理人員,才能保證設(shè)備發(fā)解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則P(Xm1)n=180較大，p=0.01X近似服從參數(shù)為1800.011.8的泊m+1=7m=6。6名設(shè)備維修人員。某種元件的X(單位：小時(shí))的概率密度函數(shù)為f(x) 51500小時(shí)后,21500

P(1000X1500)

15001000dx 1000x2

51500Y為

Y~B(5,3

P(Y2C21)2(2)3805 設(shè)某地區(qū)每天的用電量X(單位：百萬千瓦時(shí))是一連續(xù)型隨量,概率 12x(1x)2, f(x)0, 假設(shè)該地區(qū)每天的供電量僅有80萬千瓦時(shí),求該地區(qū)每天供電量不足的概率.若每天的供電量上升到90萬千瓦時(shí),每天供電量不足的概率是多少?解：求每天的供電量僅有80萬千瓦時(shí),該地區(qū)每天供電量不足的概率，只需要求出該地區(qū)用電量X超過80萬千瓦時(shí)（亦即X0.8百萬千瓦時(shí)）的概率：0.=1-0.=1- 01(6x28x33x4)08090萬千瓦時(shí),P(

0.=1-0.=1- 01(6x28x33x4)090設(shè)隨量K~U(2,4),求方程x22Kx2K30有實(shí)根的概率x22Kx2K304K28K124(K3)(K10K3K1x22Kx2K30K~U(2124314 某型號(hào)的飛機(jī)發(fā)射管的X(單位：小時(shí))服從參數(shù)為0.005的指數(shù)分布,求下列 不超過100小時(shí) 超過300小時(shí) 不超過100小時(shí),另一只發(fā)射管的在100至300小時(shí)解：(1)發(fā)射管不超過100小時(shí)的概率00P(X100)1000.005e0005xdxe0005x1001e0500發(fā)射管的超過300小時(shí)的概率P(X300)1P(x300)1(1e15)e15一只發(fā)射管的不超過100小時(shí),另一只發(fā)射管的在100至300小時(shí) 的時(shí)間(單位：分鐘)服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布.求282 中,有兩次或兩次以上超過10分鐘的概率 的時(shí)間為X，X~E(0.5)，則一個(gè)人打 超過10分鐘的概1010P(X10)0.5e05xdxe05x1010又設(shè)282人中 超過10分鐘的人數(shù)為Y，則Y~B(282,e5)n=282較大，pY近似服從參數(shù)為282e51.9的泊松分布。1e1.91.9e1.912.9e1.9某高校的收縮壓X(單位：毫米柱)服N(110,122),求該校某名收縮壓不超過105的概率收縮壓在100至120之間的概率(解：(1)P(X105105110(0.421(10.6628(2)P(100X120)120110)100 (0.83(0.83)2(0.83120.796710.5934公共汽車門的高度是按成年與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過0.01設(shè)計(jì)的,設(shè)身高X(單位：厘米)服從正態(tài)分布N(170622),問車門的最低高度應(yīng)為多少?x。則：P(Xx)10.010.99(x6查表得，(2.330.99x1702.336已知20件同類型的產(chǎn)品中有2件次品,其余為正品.今從這20件產(chǎn)品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件數(shù),求X的概率分布與分布函數(shù).解：X的可能取值為0,1,2181716 因?yàn)镻(X0) ,； P(X2)18 C CP(X1)1123 XX012P3X xF(x)

0x1x1 x1袋中有同型號(hào)小球5只,編號(hào)分別為1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,X出的3只中的最小號(hào)碼,求隨量X的概率分布和分布函數(shù).解：X1,2,3。 C3P(X14C3

P(X3)

C5 C5

P(X2)10.60.1XX123PX xF(x)

1x2x

x設(shè)連續(xù)型隨量X的分布函數(shù)為 xF(x)lnx,1x x（2）Xf(x。解：(1)P(X2)F(2)ln2P(0X3)F(3)F(0)10 X

1x

f(x)F(x)0 0設(shè)連續(xù)型隨量X的分布函數(shù)為abeF(x)求常數(shù)

2

xxXf(xlnln

X

a解：(1)由F()1及l(fā)imF(x)F(0，得

a=1,b=-

f(x)F(x)

2

x

ab

x

X

ln16)

ln 2)4

0.25設(shè)隨量X的概率分布為X022解：(1)Y0,π2,4π2。P(Y0)P(X)0.2；2P(Y2)P(X0)P(X)0.7P(Y42)P(X3)2YY0P(2)Y的可能取值為-1,1因?yàn)镻(Y1P(X0P(X0.7P(Y1)P(X)P(X3) YY-1P設(shè)隨量X的分布函數(shù) x 1xF(x)0.81x

x（1）求X的概率分布 （2）求Y

X解：(1)XF(x)的分界點(diǎn)，即-1,1,2因?yàn)镻(X10.3P(X10.80.30.5P(X210.8XX-12P(2)Y1,2因?yàn)镻(Y1P(X1P(X1P(Y2)P(X2)YY12P設(shè)隨量X~N(0,1)，求下列隨量Y概率密度函數(shù)（1）Y2X （2）YeX；(3)YX2解：設(shè)FY(y)和fY(y)分別為隨量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)fX(x)

eFyP(YyP(2X1yP(Xy1

(yY

f(y)

(y

y11

2(y

2 2)(2

2 2

(

(22Y參數(shù)分別為-1,22

y1

，F(xiàn)YyP{YyP(0

y

fX(x)

e2YF(y)P(Yy)P(eXy)P(XlnY

eeP(Xlny)1P(Xlny)1FX(lny)

ln

ln2

f(y)

e

,yY ,yY

y0

FYyP{YyP(0

y

fX(x)

e2yYF(y)P(Yy)P(X2y) X yyYFX

y)FX

y

2

y

fY(y)2

y設(shè)隨量X~U(0,)，求下列隨量Y概率密度函數(shù)Y2lnX （2）YcosX；(3)YsinX解：(1)fX(x)

0x FYyP(YyP(2lnXyP(Xe2FX(e2 y

1 y

fY(y)

fX(e2)(e2

e2fX(e2) 因?yàn)楫?dāng)0e2y2lnfX(e2yfX(e20所

(y)(y)2

y2ln

FY(y)P(Yy)P(cosXy)P(arccosyX)，由于 X~U(0,Fyarccos

Yf(y)Y

110

1yYsinX(0,1)y(0,1，F(xiàn)YyP(YyP(sinXyP(0XarcsinyP(arcsinyX)，由于 量X~U(0,)，容易求得F(y)2arcsin

Yf(y)Y

210

1y （1）離如果離散型 量可能取值為aii1,2,（1）離PaipipiPai為隨量的分布列，也稱為分布律，簡稱分布

i

也可以用下列表格或矩陣的形式來表示，稱為隨量的piPai（2）連量設(shè)X為隨量，如果存在一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)軸上的函數(shù)f(x)，滿足(1)f(x) f(x)dx(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b（ab）(a可以是- b也可以是∞)，bP{aXb}af(x)dx則稱X為連續(xù)型隨量，而f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率（3）離量P(Xx)P(xXxdx)f積分元f(x)dx在連續(xù)型隨量理論中所起的作用與P(Xxk)pk在（4）分設(shè)X為隨量，x是任意實(shí)數(shù)，則函F(x)P(X稱為隨量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)P(aXb)F(b X(a,b布函數(shù)F(x)表示隨量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。1°0F(x) x2°F(xx1x2時(shí)，有F(x1)F(x2)；3°F()limF(x)0，F(xiàn)()limF(x) 4°F(x0F(xF(x5°P(Xx)F(x)F(x0)。 量，F(xiàn)(x)pk；xkx對(duì)于連續(xù)型 量，F(xiàn)(x)f(x)dx（5）八0-1P(X1)p,P(X0)1p在n重貝努里試驗(yàn)中設(shè)A發(fā)生的概率為p A發(fā)生的次數(shù)是隨量，設(shè)為X，則X可能取值為P(Xk)Pn(k)Ckpk nq1p,0p1,k0,1,2,,n則稱隨量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記X~B(npn1PXk)pkq1kk0.1，這就是（0-1）設(shè)隨量X的分布律P(Xk)e，0，kk則稱隨量X服從參數(shù)為的泊松分布記為X~P(（np=λ，n→∞超幾何分CkCnk P(Xk)M NM,Cn N隨量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記H(nNMPXk)qk1pk1,2,3,p≥0，q=1-p。隨量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)[ab]b]上為常數(shù) ，b f(x)b 則稱隨量X在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a， xab xF(x)f(x)dx 當(dāng)a≤x1<x2≤b，X（x1x2）P(xXxx2x1 bex x0f(x) x0其中0，