有限元復(fù)習(xí)重點(diǎn)

?有限元起源于20世紀(jì)50年代中期航空工程中飛機(jī)結(jié)構(gòu)的矩陣分析。?有限元基本思想：在力學(xué)模型上將一個(gè)原來連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的單元，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。對于每個(gè)單元，根據(jù)分塊近似的思想，選擇一種簡單的函數(shù)來表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理（或用變分原理）建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后，把所有單元的這種關(guān)系式集合起來，就得到一組以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移?！耙环忠缓稀保麨榱?，集零為整，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體。?單元、節(jié)點(diǎn)、邊界：采用8節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元把受力體劃分成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格稱為單元；網(wǎng)格間互相連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)；網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線稱為邊界。節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)目是有限的。?有限元法的優(yōu)點(diǎn)：（1）理論基礎(chǔ)簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。（2）具有靈活性和適用性，應(yīng)用范圍極為廣泛。（3）該法在具體推導(dǎo)運(yùn)算中，廣泛采用了矩陣方法，便于實(shí)現(xiàn)程序設(shè)計(jì)的自動化。?有限單元法分為三類:位移法（以節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量）、力法（以節(jié)點(diǎn)力為基本未知量）和混合法（一部分以節(jié)點(diǎn)位移，另一部分以節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量）。?有限元法分析計(jì)算的基本步驟可歸納如以下五點(diǎn)。1.結(jié)構(gòu)的離散化（將某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計(jì)算模型）在平面問題用三角形、矩形或任意四邊形單元。在空間問題用四面體、長方體或任意六面體單元2.單元分析①選擇位移模式（位移模式是表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移隨位置變化的函數(shù)式，由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實(shí)的位移分布）位移模式或位移函數(shù)：y=Ua,*②建立單元剛度方程3e=Fe，e為單元編號；5e為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量；Fe為單元的節(jié)I點(diǎn)力向量；ke為單元剛度矩陣.③計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力：用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。3.整體分析：整體的有限元方程K5=F。K為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；5為整體節(jié)點(diǎn)位移向量；F為整體載荷向量。4.求解方程，得出節(jié)點(diǎn)位移5.由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變與應(yīng)力?有限元中得一個(gè)基本近似性是幾何近似性?有限元中的變量：應(yīng)力、應(yīng)變、變形?；痉匠逃校浩胶夥匠?、物理方程、幾何方程。邊界條件：力邊界、位移邊界。?彈性力學(xué)的任務(wù)是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態(tài)下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移狀態(tài)及其相互關(guān)系等。?外力：體力（分布在物體體積內(nèi)的力---重力、慣性力、電磁力）、面力（分布在物體表面上的力---流體壓力、接觸力、風(fēng)力）?應(yīng)力：物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力。

?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)力分量bxT?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)力分量bxTxyT小來表示。應(yīng)力的矩陣:?任意一點(diǎn)可由6個(gè)應(yīng)變分量8x7xy7yz7小來表示。應(yīng)變的矩陣:?位移：彈性體在載荷作用下，不僅會發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移，即彈性體位置的移動。?彈性力學(xué)方程：幾何方程、物理方程、平衡方程?變形協(xié)調(diào)條件：在變形前，把彈性體分為許多微小立方單元體，變形后，每個(gè)單元體都產(chǎn)生任意變形而必須滿足變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件的關(guān)系。2%必須滿足變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件的關(guān)系。2%G=—?拉伸彈性模量E： 三應(yīng)力和應(yīng)變的比值；剪切彈性模量G：一、應(yīng)變比值。P為泊松比。d27 合28 合28?平面問題變形協(xié)調(diào)條件：V?="f+oxdy dy2 ox2?物理方程：三維情況下應(yīng)力和應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。---廣義虎克定律。?平衡狀態(tài)：當(dāng)物體在外力作用下保持靜止或等速直線運(yùn)動時(shí)的狀態(tài)。則變量II稱為自變函數(shù)y(x)?泛函：如果對某一類函數(shù)y(x)則變量II稱為自變函數(shù)y(x)?李茲法的方法和步驟：①把所求泛函II[y(x)]的極值問題的解，表達(dá)成一系列可能解的線性組合錯誤!未找到引用源。②把這個(gè)線性組合式帶入所討論問題的泛函式II[y(x)忡去，并計(jì)算出此泛函式的變分5II③由泛函極值條件511=0，算出線性組合式中的待定系數(shù)錯誤!未找到引用源。，使之滿足基本微分方程④把算得的待定系數(shù)錯誤!未找到引用源。值代入設(shè)定的式，即求得所討論問題的解。?平面問題：指彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移只和兩個(gè)坐標(biāo)方向的變量有關(guān)。3m/工

Sv邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等單元的劃分：單元各內(nèi)角和各邊長不應(yīng)相差太大。對于三角形單元，應(yīng)使其盡量接近等邊或等腰三角形，以提高計(jì)算精度。為得到較好的位移結(jié)果，單元細(xì)長比不應(yīng)超過7；為得到好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長比不超過3.內(nèi)角不應(yīng)大于150小于30度）③節(jié)點(diǎn)的編號（相鄰節(jié)點(diǎn)的號碼差值盡可能的小，一邊縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)的存儲）。?平面問題的幾何方程:服如<>■十元平面應(yīng)力物理方程:x=EQ?平面問題的幾何方程:服如<>■十元平面應(yīng)力物理方程:x=EQri=2(1+p)T

xy E—xy彈性矩陣:[D]=b=[D]8?彈性力學(xué)問題的有限元法主要步驟：離散化(離散后才能使結(jié)構(gòu)變成有限個(gè)單元的綜合體)---單元分析---整體分析?連續(xù)彈性體離散化：將連續(xù)體劃分為有限個(gè)互不重疊、互不分離的三角形單元，這些三角形在其頂點(diǎn)處互相鉸接。?離散化的注意事項(xiàng)：①對稱性的利用(單軸對稱減少二分之一，雙軸對稱減少四分之一)②節(jié)點(diǎn)的選擇和單元的劃分(節(jié)點(diǎn)選取：通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突破點(diǎn)，分布載荷與分布載荷與自由?單元分析的主要任務(wù)：推導(dǎo)基本未知量單元節(jié)點(diǎn)位移哥與其對應(yīng)量單元節(jié)點(diǎn)力】'之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。?單元分析的步驟：?位移模式：將結(jié)構(gòu)離散為許多小單元的集合體，用較簡單的函數(shù)來描述單元內(nèi)各點(diǎn)位移的變化規(guī)律?？捎绊懹邢拊ǖ挠?jì)算精度和收斂性。錯誤!未找到引用源。，N為形函數(shù)矩陣1,y），節(jié)點(diǎn)為。，v），U,v），

mm iijjU,Vm）。將它們代入式（2—6），1,y），節(jié)點(diǎn)為。，v），U,v），

mm iijjU,Vm）。將它們代入式（2—6），有聯(lián)立求解上述公式左邊的3個(gè)方程，可以求出待定系數(shù)％%a為式中，A為三角形單元i,j,m的面積要注意的是，為了使得出的面積的值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i,j,m的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i，則沒有關(guān)系。整理后:u=我+he+礎(chǔ)）陽+（%.+b.r t+虹工4f）叭］i>—上-—-（u,■乩，+“3*：+怎e+土/+同理可得 二］M一/:斗—5.=3'.一一總 。，八冶.）式中=一.「，+?咨令W,.令W,.如+—?,?形函數(shù)的性質(zhì)（1）形函數(shù)是坐標(biāo)G,y）的線性函數(shù)。（2）形函數(shù)N在節(jié)點(diǎn)i處等于1,在其他節(jié)點(diǎn)上的i值等于0；對于N/.也有同樣的表達(dá)式。單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1，即jw—N上—N而品.?門，.—— 1（3）單元內(nèi)任意一點(diǎn)G,y）有（4） 在三角形單元邊界〃?上一點(diǎn)G,y），有形函數(shù)公式一七".（5）— A',（.!：hV）— —X*'心H。、■i;—.1, 」J—1.…，一' _,INd心-4E-!V77,…（5） 形函數(shù)N在單元上的面積分和邊界上i的線積分為3八-ij為長度。i位移函數(shù)所要滿足的條件：①位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移②位移函數(shù)必須能反應(yīng)單元的常量應(yīng)變③位移函數(shù)應(yīng)盡可能反應(yīng)位移的連續(xù)性（完備單元：滿足①②；協(xié)調(diào)單元：滿足③；完備而非連續(xù)單元：滿足①②不滿足③）常應(yīng)變?nèi)切螁卧寒?dāng)單元確定后。矩陣B是常量，單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量也是常量的單元。有限元法的任務(wù)：建立和求解整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系的平衡方程。單元剛度矩陣：表達(dá)了單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。單元剛度矩陣的性質(zhì)：①單元剛度矩陣中每個(gè)元素有明確的物理意義②Ke是對稱矩陣③Ke的每一行或每一列元素之和為零，因此Ke為奇異矩陣④Ke不隨單元的平行移動或作nn角度的轉(zhuǎn)動而改變。剛度集成法集成規(guī)律：①先對每個(gè)單元求出其單元剛度矩陣Ke,而且以分塊形式按節(jié)點(diǎn)編號順序排列②將單元剛度矩陣擴(kuò)大階數(shù)為2n*2n,并將單元剛度矩陣中的子塊按局部碼與總碼的對應(yīng)關(guān)系，搬到擴(kuò)大后的矩陣中，形成單元貢獻(xiàn)矩陣Ke。③將所有單元貢獻(xiàn)矩陣同一位置上的分塊矩陣簡單疊加成總體剛度矩陣中的一個(gè)子矩陣，各行各列都按以上步驟即形成總體剛度矩陣K。?整體剛度矩陣的性質(zhì)：①整體剛度矩陣是對稱矩陣②整體剛度矩陣中每一元素的物理意義：整體剛度矩陣的第一列元素代表使第一個(gè)節(jié)點(diǎn)在x方向有一單元位移，而其余節(jié)點(diǎn)位移皆為零時(shí)必須在節(jié)點(diǎn)上施加的里。對于K的其余各列也有類似意義③整體剛度矩陣K的主對角線上的元素總是正的④整體剛度矩陣K是一個(gè)稀疏陣⑤整體剛度矩陣K是一個(gè)奇異陣。?半帶寬：在半個(gè)斜帶形區(qū)域中，每行具有的元素個(gè)數(shù)。?帶形矩陣：整體剛度矩陣K的非零元素分布在以主對角線為中心的斜帶形區(qū)域內(nèi)的矩陣。?半帶存儲：利用帶形矩陣的特點(diǎn)，并利用矩陣的對稱性，則在計(jì)算機(jī)中可以只存儲上半帶的元素的存儲方法。引用已知節(jié)點(diǎn)位移的方法：化1置0法、乘大數(shù)法?由計(jì)算結(jié)果推出彈性體內(nèi)某一點(diǎn)接近實(shí)際的應(yīng)力值的方法：繞節(jié)點(diǎn)平均法、兩單元平均法。注意事項(xiàng)：①相連單元間的應(yīng)力連續(xù)性只有當(dāng)相連單元具有相同厚度和材料時(shí)才存在，平均法才有意義②位于結(jié)構(gòu)邊界或介質(zhì)間斷線上的應(yīng)力點(diǎn)是無法用兩單元平均法得到應(yīng)力值的，若用繞節(jié)點(diǎn)平均法也因其相連單元太少而不能得到較佳的近似值。這種情況往往改用內(nèi)部應(yīng)力點(diǎn)外推的辦法去求它的近似值。?有限元法的具體解題過程：①將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元劃分、節(jié)點(diǎn)編號、單元編號、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算、位移約束條件的確定②等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算③剛度矩陣的計(jì)算④建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點(diǎn)位移⑤應(yīng)力計(jì)算。?平面問題幾何方程：錯誤!未找到引用源。例2-1如圖2.6所示平面應(yīng)力情形的直角三角形單元i,j,m，直角邊長均為a,厚度為t，彈性模量為E，泊松比為H=0.3，求單元剛度矩陣。-L⑵求D。：J- 1!T. Io 產(chǎn)砂-, Et"=如世）r'成的r三本題屬于平面應(yīng)力問題，k的系數(shù)為單元貢獻(xiàn)矩陣32Vi注意這兒的單元的上標(biāo)代表單元的號碼。對于單元②，i,j,m對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)總剛度矩陣為剛度矩陣后，再形成載荷列陣，即可得整體剛度方程，經(jīng)約束處理后就可求解節(jié)點(diǎn)位移。單元貢獻(xiàn)矩陣載荷列陣為"二F位移列陣為“?形成整體平衡方程'7形成整體平衡方程'7—3—41T0-32—4一4j也%：=V2二-4一4—12；n.:-3:■:嗎邊-1-2 -12o:0—32：■-413-位移約束條件為U1=V1=u4=v4=0（見圖2.13b），將此