模型09 圓周運動-備戰(zhàn)2023年高考案頭必備模型+典例+方法+練習(xí)（原卷版）

模型09曲線運動之圓周運動-備戰(zhàn)2023年高考案頭必備模型+典例+方法+練習(xí)目錄圓周運動 2水平面內(nèi)的圓周運動 2豎直面內(nèi)的圓周運動 5模型1輕繩模型 6模型2輕桿模型 8斜面上圓周運動 10水平面、斜面內(nèi)的圓周運動臨界問題模型 11近心運動（F實>F需） 14離心運動（F實<F需） 15

圓周運動【模型】圓周運動是指在物理學(xué)中運動軌跡為圓或圓的一部分的一種運動。圓周運動是一種最常見的曲線運動。例如電動機(jī)轉(zhuǎn)子、車輪、皮帶輪等都作圓周運動。圓周運動分為，勻速圓周運動和變速圓周運動（如：豎直平面內(nèi)繩/桿轉(zhuǎn)動小球、豎直平面內(nèi)的圓錐擺運動）。在圓周運動中，最常見和最簡單的是勻速圓周運動（因為速度是矢量，所以勻速圓周運動實際上是指勻速率圓周運動）。水平面內(nèi)的圓周運動【模型+方法】1．向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力。2．幾種典型的運動模型運動模型向心力的來源圖示飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎圓錐擺飛車走壁汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎水平轉(zhuǎn)臺(光滑)3.解題步驟【典例】如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則下列說法不正確的是()A．球A的線速度必定大于球B的線速度B．球A的角速度必定等于球B的角速度C．球A的運動周期必定小于球B的運動周期D．球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力【答案】BCD【解析】以A為例對小球進(jìn)行受力分析，可得支持力和重力的合力充當(dāng)向心力，設(shè)圓錐筒的錐角為θ，則FN＝eq\f(mg,sinθ)，F(xiàn)n＝eq\f(mg,tanθ)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，A、B質(zhì)量相等，A做圓周運動的半徑大于B做圓周運動的半徑，所以球A的線速度必定大于球B的線速度，球A的角速度必定小于球B的角速度，球A的運動周期必定大于球B的運動周期，球A對筒壁的壓力必定等于球B對筒壁的壓力，A正確，B、C、D錯誤。故選BCD【練習(xí)1】如圖所示為火車車輪在轉(zhuǎn)彎處的截面示意圖，軌道的外軌高于內(nèi)軌，在此轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的火車行駛速度為v，則()A．若火車通過此彎道時速度大于v，則火車的輪緣會擠壓外軌B．若火車通過此彎道時速度小于v，則火車的輪緣會擠壓外軌C．若火車通過此彎道時行駛速度等于v，則火車的輪緣會擠壓外軌D．若火車通過此彎道時行駛速度等于v，則火車對軌道的壓力小于火車的重力【練習(xí)2】（2020·浙江省高三月考）如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點懸掛一根L的細(xì)繩，繩的下端掛一個質(zhì)量m的小球，重力加速度為g，已知細(xì)繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以u的速度落在墻角邊，以下選項正確的是（）A．懸點到軌跡圓的高度h與角速度的平方ω2成正比B．繩斷裂瞬間的速度v0C．圓柱形房頂?shù)母叨菻3.25LD．半徑RL[練習(xí)3]（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）如圖所示，在水平桌面上有一個固定豎直轉(zhuǎn)軸且過圓心的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤半徑為r，邊緣繞有一條足夠長的細(xì)輕繩，細(xì)繩末端系住一木塊。已知木塊與桌面之間的動摩擦因數(shù)。當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度旋轉(zhuǎn)時，木塊被帶動一起旋轉(zhuǎn)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，二者角速度相同。已知，下列說法正確的是（）A．當(dāng)穩(wěn)定時，木塊做圓周運動的半徑為2mB．當(dāng)穩(wěn)定時，木塊的線速度與圓盤邊緣線速度大小之比為C．要保持上述的穩(wěn)定狀態(tài)，角速度D．無論角速度多大，都可以保持上述穩(wěn)定狀態(tài)豎直面內(nèi)的圓周運動【模型+方法】1．概述豎直平面內(nèi)的圓周運動一般是變速圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運動過程復(fù)雜，合外力不僅改變速度的方向，還改變速度的大小，所以一般不研究任意位置的情況，常常研究的是特殊的位置——最高點、最低點和與圓心等高的位置。豎直平面內(nèi)的圓周運動一般可以分為兩類：(1)輕繩模型：豎直(光滑)圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運動、水流星的運動等，類似輕繩一端的物體以輕繩另一端為圓心的豎直平面內(nèi)的圓周運動。其特點是在最高點無支撐。(2)輕桿模型：豎直(光滑)圓管內(nèi)的圓周運動、小球套在豎直圓環(huán)上的運動等，類似輕桿一端的物體以輕桿另一端為圓心的豎直平面內(nèi)的圓周運動。其特點是在最高點有支撐。2．豎直面內(nèi)圓周運動的兩個基本模型的比較球—繩模型球—桿模型實例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運動的球等如球與輕桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運動等圖示最高點無支撐最高點有支撐最高點受力特征重力、彈力，彈力方向向下或等于零重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上受力示意圖力學(xué)特征mg＋FN＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FN＝0，vmin＝eq\r(gr)豎直向上的FN＝mg，v＝0過最高點條件v≥eq\r(gr)v≥0速度和彈力關(guān)系討論分析①恰好過最高點時，v＝eq\r(gr)，mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N＝0，繩、軌道對球無彈力②能過最高點時，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN③不能過最高點時，v<eq\r(gr)，在到達(dá)最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運動①當(dāng)v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心②當(dāng)0<v<eq\r(gr)時，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減?、郛?dāng)v＝eq\r(gr)時，F(xiàn)N＝0④當(dāng)v>eq\r(gr)時，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大注：汽車過凸形拱橋最高點相當(dāng)于桿只有支持力而沒有壓力的情況，此時mg－FN＝meq\f(v2,R)，過最高點的臨界條件是FN＝0時，v＝eq\r(gR)。3.解題技巧(1)定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同。(2)確定臨界點：抓住繩模型中在最高點v≥eq\r(gR)及桿模型中在最高點v≥0這兩個臨界條件。(3)研究狀態(tài)：通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。(4)受力分析：對物體在最高點或最低點時進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程：F合＝F向。(5)過程分析：應(yīng)用動能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程。模型1輕繩模型【典例1】如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運動。g取10m/s2，求：(1)小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為多大？(2)當(dāng)小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力多大？(3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的速度不能超過多大？【答案】（1）小球能夠通過圓周上端最高點的最小速度是2m/s；（2）若小球在圓周上端最高點速度為4m/s時，此時細(xì)線的拉力是15N；（3）若小球運動到圓周最低點時細(xì)線拉力是45N，此時小球速度是4eq\r(2)m/s．【解析】(1)在最高點，對小球受力分析如圖甲，由牛頓第二定律得mg＋F1＝meq\f(v2,R)①由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力，即F1不可能取負(fù)值，亦即F1≥0②聯(lián)立①②式得v≥eq\r(gR)代入數(shù)值得v≥2m/s所以，小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/s。(2)對小球，由牛頓第二定律得mg＋F2＝meq\f(v\o\al(2,2),R)將v2＝4m/s代入得，F(xiàn)2＝15N。(3)由分析可知，小球在最低點時輕繩張力最大，對小球受力分析如圖乙，由牛頓第二定律得F3－mg＝meq\f(v\o\al(2,3),R)③又F3≤45N④聯(lián)立③④式得v3≤4eq\r(2)m/s，所以小球的速度不能超過4eq\r(2)m/s?！揪毩?xí)1】（2022·浙江1月卷·T6）圖甲中的裝置水平放置，將小球從平衡位置O拉到A后釋放，小球在O點附近來回振動；圖乙中被細(xì)繩拴著的小球由靜止釋放后可繞固定點來回擺動。若將上述裝置安裝在太空中的我國空間站內(nèi)進(jìn)行同樣操作，下列說法正確的是（）A.甲圖中的小球?qū)⒈３朱o止B.甲圖中的小球仍將來回振動C.乙圖中的小球仍將來回擺動D.乙圖中的小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運動【練習(xí)2】（2020·新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖，一同學(xué)表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10m，該同學(xué)和秋千踏板的總質(zhì)量約為50kg。繩的質(zhì)量忽略不計，當(dāng)該同學(xué)蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為（）A.200N B.400N C.600N D.800N模型2輕桿模型【典例2】如圖所示，輕桿長為L，一端固定在水平軸上的O點，另一端系一個小球(可視為質(zhì)點)。小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，且能通過最高點，g為重力加速度。下列說法正確的是()A．小球通過最高點時速度可能小于eq\r(gL)B．小球通過最高點時所受輕桿的作用力不可能為零C．小球通過最高點時所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而增大D．小球通過最高點時所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而減小【答案】A【解析】小球在最高點時，桿對球可以表現(xiàn)為支持力，由牛頓第二定律得：mg－F＝meq\f(v2,L)，則得v＝eq\r(gL－\f(FL,m))<eq\r(gL)，故A正確。當(dāng)小球通過最高點的速度為eq\r(gL)時，由重力提供向心力，桿的作用力為零，故B錯誤。在最高點輕桿對小球的作用力可以表現(xiàn)為拉力，此時根據(jù)牛頓第二定律有mg＋F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越大，即隨小球速度的增大，桿的拉力增大；小球通過最高點時桿對球的作用力也可以表現(xiàn)為支持力，當(dāng)表現(xiàn)為支持力時，有mg－F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越小，即隨小球速度的增大，桿的支持力減小，故C、D錯誤?！揪毩?xí)1】（2022·河北滄州·二模）如圖所示，輕桿的一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一個小球，小球隨輕桿一起在豎直平面內(nèi)在轉(zhuǎn)軸的帶動下繞O點以角速度做勻速圓周運動。已知桿長為L，小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，A、B兩點與O點在同一水平直線上，C、D分別為圓周的最高點和最低點，下列說法正確的是（）A．小球在運動過程中向心加速度不變B．小球運動到最高點C時，桿對小球的作用力為支持力C．小球運動到A點時，桿對小球作用力為D．小球在D點與C點相比，桿對小球的作用力的大小差值一定為【練習(xí)2】如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是()A．小球通過最高點時的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通過最高點時的最小速度vmin＝eq\r(gR)C．小球在水平線ab以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力D．小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力斜面上圓周運動【方法】在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和臨界條件也不相同。(1)靜摩擦力控制下的圓周運動(2)輕繩控制下的圓周運動(3)輕桿控制下的圓周運動由于重力沿斜面的分力，在斜面內(nèi)做圓周運動的物體的速率不斷變化，運動情況與豎直面內(nèi)的圓周運動類似，所以通常分析物體在最高點和最低點的受力情況求臨界狀態(tài)。物體在斜面上運動時，若受摩擦力，還要參照水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題分析摩擦力的突變問題，如靜摩擦力的方向變化、靜摩擦力變?yōu)榛瑒幽Σ亮?。【典例】如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小物塊a和b(可視為質(zhì)點)靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動，a到轉(zhuǎn)軸的距離為l，b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l，物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)，盤面與水平面的夾角為30°。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，下列說法中正確的是()【答案】AD【解析】若a在最高點時所受摩擦力為0，則對a有mgsin30°＝mω2l，對b有mgsin30°＋fb＝mω2·2l，解得fb＝mgsin30°<μmgcos30°，故A正確；a在最低點，由牛頓運動定律有fa－mgsin30°＝meq\f(v2,l)，所以a在最低點時所受摩擦力不可能為0，故B錯誤；對a在最低點，由μmgcos30°－mgsin30°＝mωeq\o\al(2,a)l，得a開始滑動的臨界角速度ωa＝eq\r(\f(g,4l))，故C錯誤；對b在最低點，由μmgcos30°－mgsin30°＝mωeq\o\al(2,b)·2l，得b開始滑動的臨界角速度ωb＝eq\r(\f(g,8l))，故D正確?！揪毩?xí)1】（2020·浙江卷）如圖所示，底部均有4個輪子的行李箱a豎立、b平臥放置在公交車上，箱子四周有一定空間。當(dāng)公交車（）A．緩慢起動時，兩只行李箱一定相對車子向后運動B．急剎車時，行李箱a一定相對車子向前運動C．緩慢轉(zhuǎn)彎時，兩只行李箱一定相對車子向外側(cè)運動D．急轉(zhuǎn)彎時，行李箱b一定相對車子向內(nèi)側(cè)運動【練習(xí)2】（教材必修二P41頁A組第7題）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺以一定角速度勻速轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，此時小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度。水平面、斜面內(nèi)的圓周運動臨界問題模型【模型+方法】1．水平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題如下圖，在水平面內(nèi)做圓周運動的物體，提供向心力的可能是繩子的拉力、摩擦力等及它們的合力或分力。對于這類動態(tài)變化的問題，關(guān)鍵是找到臨界狀態(tài)，作受力分析。2．四種臨界條件(1)接觸與脫離的臨界條件：兩物體相接觸或脫離，臨界條件是彈力FN＝0。(2)相對滑動的臨界條件：兩物體相接觸且相對靜止時，常存在著靜摩擦力，則相對滑動的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值。(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛的臨界條件是：FT＝0。(4)運動趨勢方向變化的臨界條件：靜摩擦力為0。3．斜面上圓周運動的臨界問題在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和臨界條件也不相同。(1)靜摩擦力控制下的圓周運動(2)輕繩控制下的圓周運動(3)輕桿控制下的圓周運動由于重力沿斜面的分力，在斜面內(nèi)做圓周運動的物體的速率不斷變化，運動情況與豎直面內(nèi)的圓周運動類似，所以通常分析物體在最高點和最低點的受力情況求臨界狀態(tài)。物體在斜面上運動時，若受摩擦力，還要參照水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題分析摩擦力的突變問題，如靜摩擦力的方向變化、靜摩擦力變?yōu)榛瑒幽Σ亮Α?.解題技巧(1)分析臨界問題時，如果不能確定靜摩擦力的方向，可以假設(shè)靜摩擦力沿某個方向，然后做受力分析求解，根據(jù)求出的靜摩擦力的正負(fù)判斷它的方向。(2)物體做圓周運動時，在支持面上滑動時的臨界情況常常有兩種可能，例如核心綜述圖c中木塊既可能向靠近圓心的方向滑動，也可能向遠(yuǎn)離圓心的方向滑動，應(yīng)全面分析，不要漏解?！镜淅咳鐖D所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B，它們與盤間的動摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩個物體剛好還未發(fā)生滑動時，燒斷細(xì)線，兩個物體的運動情況是()A．物體B仍隨圓盤一起做勻速圓周運動B．物體A發(fā)生滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)C．兩物體仍隨圓盤一起做圓周運動，不發(fā)生滑動D．兩物體均沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)【答案】AB【解析】當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動到兩物體剛要發(fā)生滑動時，A物體靠細(xì)線的拉力與圓盤給它指向圓心的最大靜摩擦力的合力提供向心力做勻速圓周運動，所以燒斷細(xì)線后，A所受最大靜摩擦力不足以提供其做圓周運動所需要的向心力，A要發(fā)生滑動，離圓盤圓心越來越遠(yuǎn)，但是B所需要的向心力小于B所受的最大靜摩擦力，所以B仍與圓盤保持相對靜止?fàn)顟B(tài)，故C、D錯誤，A、B正確?！揪毩?xí)1】（2022·山東菏澤高三下學(xué)期一模）如圖所示，粗糙程度處處相同、傾角為的傾斜圓盤上，有一長為L的輕質(zhì)細(xì)繩，一端可繞垂直于傾斜圓盤的光滑軸上的O點轉(zhuǎn)動，另一端與質(zhì)量為m的小滑塊相連，小滑塊從最高點A以垂直細(xì)繩的速度開始運動，恰好能完成一個完整的圓周運動，則運動過程中滑塊受到的摩擦力大小為（）A.B.C. D.【練習(xí)2】如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動。質(zhì)量不同的小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止，A、B和球心O點連線與豎直方向的夾角分別為a和β，a>β。則()A．A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量B．A、B受到的摩擦力可能同時為零C．若A不受摩擦力，則B受沿容器壁向上的摩擦力D．若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大近心運動（F實>F需）【方法】當(dāng)物體受到的合力超過其做圓周運動需要的向心力時，向心力產(chǎn)生的向心加速度對物體速度方向的改變較快，物體會做靠近圓心的運動，即近心運動。由于生產(chǎn)、生活中常追求高速、低損耗，發(fā)生的離心運動現(xiàn)象往往比較典型，而近心運動的應(yīng)用范例較少，最常見的近心運動的應(yīng)用實例是航天器的減速變軌。【典例】A、B兩顆地球衛(wèi)星在同一軌道中同向運行，如圖所示，若要使B衛(wèi)星追上A衛(wèi)星，下列方法可行的有（）A．B衛(wèi)星減速B．B衛(wèi)星加速C．B衛(wèi)星先減速，再加速D．B衛(wèi)星先加速，再減速【答案】C【解析】B衛(wèi)星減速時，萬有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星就會做近心運動，下降到靠近地球的軌道上，軌道半徑減小，當(dāng)萬有引力再次與向心力相等時，衛(wèi)星就會在靠近地球的圓形軌道上做勻速圓周運動，A錯誤；B衛(wèi)星加速時，萬有引力小于所需的向心力，衛(wèi)星就會做離心運動，升高到較高的軌道上，軌道半徑增大，當(dāng)萬有引力等于向心力相等時，衛(wèi)星就會在高軌道圓形軌道上做勻速圓周運動，B錯誤；當(dāng)B衛(wèi)星下降到較低的圓形軌道上時，B衛(wèi)星的線速度比A衛(wèi)星的線速度大，B衛(wèi)星會追上A衛(wèi)星，再次加速時，B衛(wèi)星在較低圓形軌道上出現(xiàn)離心現(xiàn)象，回到原有軌道上與A衛(wèi)星實現(xiàn)對接，C正確；當(dāng)B衛(wèi)星上升到較高的圓形軌道上時，B衛(wèi)星的線速度比A衛(wèi)星的線速度小，B衛(wèi)星不會追上A衛(wèi)星，再次減速時，B衛(wèi)星不能與A衛(wèi)星實現(xiàn)對接，D錯誤?！久麕燑c撥】本題要特備注意不應(yīng)選D，追及發(fā)生時，是后者速度不小于前者，先減速變軌，再追及，最后加速變軌可以達(dá)到效果，而先加速變軌后無法追及，如果讓A反過來追及B，不一定能安全對接?！揪毩?xí)】如圖，兩個質(zhì)量均為的小木塊a和b（均可視為質(zhì)點）放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距