2023年高考考前押題密卷（全國甲卷） 數(shù)學(xué)理試題

第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集，集合，則集合等于（

）A．B．C．D．2．（改編）復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（

） A．B．C．D．3．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體的體積為（

）A．14 B．7 C． D．4．某公司對(duì)2022年的營收額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%B．該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)?東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多C．該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的三倍還多D．該公司2022年?duì)I收總額約為30800萬元5．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．6．?dāng)?shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（

）A． B． C． D．7．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（改編）在平面直角坐標(biāo)系y中，圓的方程為，若直線上存在一點(diǎn)，使過點(diǎn)所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的值不可能是（

）A． B． C． D．9．在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．10．如圖，為正方體，下列錯(cuò)誤的是（

）A．平面 B．平面平面．C．與共面 D．異面直線與所成的角為90度11．若存在，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．12．如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．四邊形的面積為100C．D．的取值范圍為第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，滿足，，，的夾角為150°，則與的夾角為______.14．已知曲線在處的切線為m，則過點(diǎn)且與切線m垂直的直線方程為__________．15．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝__________．16．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為。三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．已知條件：①；②；③.從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.問題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足：___________.(1)求角的大小；(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)．區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2018年至2022年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列．現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表：年份20182019202020212022編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求關(guān)于的回歸方程；（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）附：線性回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)：，，，(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽，比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，請(qǐng)通過計(jì)算說明，哪兩個(gè)公司進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大？19．如圖，已知正方體的棱長為，分別為的中點(diǎn).(1)已知點(diǎn)滿足，求證四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．已知橢圓的長軸長為4，A，B是其左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若P為直線上一點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．①證明：直線CD過橢圓右焦點(diǎn)；②橢圓的左焦點(diǎn)為，求的內(nèi)切圓的最大面積．21．已知函數(shù)，設(shè)m，n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022），簡稱“杭州2022年亞運(yùn)會(huì)”，將在中國浙江杭州舉行，原定于2022年9月10日至25日舉辦；2022年7月19日亞洲奧林匹克理事會(huì)宣布將于2023年9月23日至10月8日舉辦，賽事名稱和標(biāo)識(shí)保持不變。某高中體育愛好者為紀(jì)念在我國舉辦的第三次亞運(yùn)會(huì)，借四葉草具有幸福幸運(yùn)的象征意義，準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一枚四葉草徽章捐獻(xiàn)給亞運(yùn)會(huì)。如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，方程表示的圖形為“四葉草”對(duì)應(yīng)的曲線C．(1)設(shè)直線l：與C交于異于O的兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長；(2)設(shè)P和Q是C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為m，正數(shù)a，b，c滿足，求證．2023年高考考前押題密卷（全國甲卷）數(shù)學(xué)（理科）·參考答案123456789101112BACAADDBCCDB13．14．．15．16．或三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．【詳解】（1）選擇條件①，，在中，由余弦定理得，（2分）整理得，則，又，所以.（5分）選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，（2分）因?yàn)?，則，即，（3分）因?yàn)?，因此，即，又，所?（5分）選擇條件③，，在中，因?yàn)椋?，?分）則，又，即有，則，所以.（5分）（2）由（1）知，，有，（6分）而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，（7分）設(shè)，則，且，（8分）在中，由正弦定理得，，所以，，（9分）所以的周長為，（10分）由，得，則當(dāng)，即時(shí)，的周長取得最大值，所以周長的最大值為.（12分）18．【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知增加的速度逐漸變快，所以回歸方程適宜預(yù)測(cè)未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量；（2分）（2）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，令，得,（3分）由于，，，（4分）則，，（6分）∴關(guān)于的回歸直線方程為，則關(guān)于的回歸方程為；（7分）（3）對(duì)于首場(chǎng)比賽的選擇有以下三種情況：A：甲與乙先賽；B：甲與丙先賽；C：丙與乙先賽，由于在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，（8分）則甲公司獲勝的概率分別是，（9分），（10分），（11分）由于，∴甲與丙兩公司進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大．（12分）19．【詳解】（1）如圖1，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，（1分）所以是平行四邊形，所以.因?yàn)?，所?（3分）又，所以，所以是的中點(diǎn).（5分）又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以四點(diǎn)共面．（6分）（2）如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，.（7分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可得，，取，則是平面的一個(gè)法向量.（9分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可得，，取，則是平面的一個(gè)法向量.（11分）所以，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（12分）20．【詳解】（1）由已知得：，，，設(shè)，因?yàn)镸在橢圓上，所以①（2分）因?yàn)?，將①式代入，得，所以，所以橢圓的方程為．（4分）（2）①設(shè)，則，，所以，，聯(lián)立方程，得，則．（5分）聯(lián)立方程，得，，則，（6分）橢圓的右焦點(diǎn)為，，，（7分）因?yàn)?，說明C，D，三點(diǎn)共線，即直線CD恒過點(diǎn)．（8分）②因?yàn)橹本€CD恒過點(diǎn)，所以的周長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以的面積，所以，即，（9分）若內(nèi)切圓的面積最大，即r最大，也就是最大，因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以直線CD的斜率不為0，設(shè)直線CD的方程為，代入得：，可得，，又因?yàn)榱?，?）式化為：，（11分）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，（*）式取最大值3，所以，故，所以得到內(nèi)切圓面積的最大值為，當(dāng)時(shí)取得．（12分）21．【詳解】（1）由題意，有兩個(gè)不相等正根，所以有兩個(gè)不相等正根，即有兩個(gè)不相等正根，（1分）記函數(shù)，則，令，得，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3分）令得，且，x無限趨近于0時(shí)，函數(shù)值無限趨向于0，作出函數(shù)的圖象，如圖（4分）要使有兩個(gè)不相等正根，則函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，故實(shí)數(shù)a的取值范圍.（5分）（2）函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，在上單調(diào)遞減，若時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（7分）由題意，不妨設(shè)，先證明.要證，即證；因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，故只需證明，（8分）令，則，所以在上單調(diào)遞增，（9分）所以當(dāng)時(shí)，，則有，因?yàn)椋?，則，故；再證，即證.因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，（10分）只需證明，即證，因?yàn)?，所以，所以只需證明，令，（11分）則．令，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，于是，從而可得在上單調(diào)遞減，故，所以成立，故.綜上，.（12分）（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22【詳解】（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，（2分）則