2021年福建省福州市永泰縣同安中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2021年福建省福州市永泰縣同安中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C2.已知奇函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，則滿足以<0的菇的取值范圍是A．(，+∞)

B．(，+∞)

C．(-∞，)

D．(-∞，)參考答案：C3.復(fù)數(shù)=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)==．故選：A．4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足S17＞0，S18＜0，則中最大的項(xiàng)為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，即可得出答案．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0

∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故可知a1，a2，…，a9為正，a10，a11…為負(fù)；∴S1，S2，…，S17為正，S18，S19，…為負(fù)，∴＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴中最大的項(xiàng)為故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．5.數(shù)列的前項(xiàng)和為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B6.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.如圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．i≤10 B．i≤9 C．i＜10 D．i＜9參考答案：A【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用，結(jié)合流程圖所給的順序，可知當(dāng)條件滿足時(shí)，用+s的值代替s得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到條件不能滿足時(shí)，輸出最后算出的s值．由此結(jié)合題意即可得到本題答案．【解答】解：由題意，該程序按如下步驟運(yùn)行經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到s=，n=4，i=2；經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到s=+，n=6，i=3；經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到s=++，n=8，i=4；…看到S中最后一項(xiàng)的分母與i的關(guān)系是：分母=2（i﹣1）∴20=2（i﹣1）解得i=11時(shí)需要輸出所以判斷框的條件應(yīng)為i≤10故選A8.若則

(

)A．

B.

C.

D.參考答案：C7.關(guān)于直線l，m及平面，，下列命題中正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則參考答案：C10.在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A．Ｂ．C．Ｄ．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下面的程序框圖，那么其循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是

參考答案：

從運(yùn)行到步長(zhǎng)為，運(yùn)行次數(shù)為49912.圓心在原點(diǎn)且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.參考答案：13.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是

.參考答案：014.在等比數(shù)列中，，，則=

．參考答案：915.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為（） A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】利用△AF1B的周長(zhǎng)為4，求出a=，根據(jù)離心率為，可得c=1，求出b，即可得出橢圓的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周長(zhǎng)為4， ∵△AF1B的周長(zhǎng)=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4， ∴a=， ∵離心率為， ∴，c=1， ∴b==， ∴橢圓C的方程為+=1． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 16.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)

．參考答案：1略17.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則有cos2α+cos2β=1．類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=．參考答案：2【考點(diǎn)】類比推理；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由類比規(guī)則，點(diǎn)類比線，線類比面，可得出在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線AC1與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．【解答】解：我們將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．由在長(zhǎng)方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，∵長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖對(duì)角線AC1與過(guò)A點(diǎn)的三個(gè)面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分別為α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=，令同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)棱的長(zhǎng)分別為a，b，c，則有cos2α+cos2β+cos2γ===2故答案為：cos2α+cos2β+cos2γ=2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).(1)求雙曲線的方程.(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.(3)求△F1MF2的面積.參考答案：(1)∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).∵過(guò)點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴雙曲線方程為x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3.故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的邊F1F2的高h(yuǎn)=|m|=,∴=6.∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上,19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.參考答案：解：.

………………2分（Ⅰ），解得.

………3分（Ⅱ）.

……5分①當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

………6分②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

…………7分③當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.

………8分④當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

………9分（Ⅲ）由已知，在上有.

………………10分由已知，，由（Ⅱ）可知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，，解得，故.……………11分②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，，，所以，，，

………………13分綜上所述，.

………………14分20.（本題12分）為了研究化肥對(duì)小麥產(chǎn)量的影響，某科學(xué)家將一片土地劃分成200個(gè)的小塊，并在100個(gè)小塊上施用新化肥，留下100個(gè)條件大體相當(dāng)?shù)男K不施用新化肥.下表1和表2分別是施用新化肥和不施用新化肥的小麥產(chǎn)量頻數(shù)分布表(小麥產(chǎn)量單位：kg)表1：施用新化肥小麥產(chǎn)量頻數(shù)分布表小麥產(chǎn)量頻數(shù)103540105

表2：不施用新化肥小麥產(chǎn)量頻數(shù)分布表小麥產(chǎn)量頻數(shù)1550305(1)完成下面頻率分布直方圖；

(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)施用化肥和不施用化肥的一小塊土地的小麥平均產(chǎn)量；(3)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.5%的把握認(rèn)為“施用新化肥和不施用新化肥的小麥產(chǎn)量有差異”

表3：

小麥產(chǎn)量小于20kg小麥產(chǎn)量不小于20kg合計(jì)施用新化肥

不施用新化肥

合計(jì)

附：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828參考答案：4分

(2)施用化肥的一小塊土地小麥平均產(chǎn)量為5×0.1+15×0.35+25×0.4+35×0.1+45×0.05＝21.5

………6分不施用新化肥的一小塊土地小麥平均產(chǎn)量為5×0.15+15×0.5+25×0.3+35×0.05＝17.5

………8分(3)表3

小麥產(chǎn)量小于20kg小麥產(chǎn)量不小于20kg合計(jì)施用新化肥100不施用新化肥100合計(jì)11090

………11分由于，所以有99.5%的把握認(rèn)為施用新化肥和不施用新化肥的小麥產(chǎn)量有差異

………12分21.己知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅰ)用a表示出b，c；(Ⅱ)若在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；(Ⅲ)證明:．參考答案：（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（III）見(jiàn)解析.試題分析：（Ⅰ）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)數(shù)值就是切線的斜率，切點(diǎn)在切線上，求出即可；（Ⅱ）利用，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)上最小值大于，即可求出的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知時(shí)，在上恒成立，則當(dāng)時(shí)，在上恒成立，對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和，即可推出要證的結(jié)論；或利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明不等式成立即可．試題解析：（Ⅰ），則有，解得，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，則，①當(dāng)時(shí)，，若，則是減函數(shù)，所以，即，故在上不恒成立．②當(dāng)時(shí)，．若，則是增函數(shù)，所以，即，故當(dāng)時(shí)，．綜上所述，所求的取值范圍為．（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，有，令，有，且當(dāng)時(shí)，．令，有，即．將上述個(gè)不等式依次相加得，整理得．解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=，不等式成立．（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立，就是、．那么．由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，有，令，有．令，得：，∴，∴．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式也成立．根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任何都成立．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、曲線切線方程的求解、函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用、同時(shí)涉及到累加法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用等知識(shí)，知識(shí)綜合能力較強(qiáng)，方法多樣、思維量與運(yùn)算大，屬于難題，需要仔細(xì)審題、認(rèn)真解答，同時(shí)著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想及分類討論思想的應(yīng)用，本題的解答中，利用，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)上最小值大于，即可求出的取值范圍；第三問(wèn)中可對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和，即可推出要證的結(jié)論；或利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明不等式成立即可．22.已知⊙O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡(jiǎn)可得a，b間滿足的等量關(guān)系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．（3）設(shè)⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時(shí)，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）連接OQ