第六章習(xí)題第一節(jié)映射代數(shù)運(yùn)算

映射代數(shù)運(yùn)1（1） 2（1）（2）cC，bBg(bc（g為滿射baAf(ab（f為滿射gf(a)c 2gfgff1g1If1g1gfI，因此(gf)1

f1g1a,bAf(af(b)gf(agf(bgfIAabf為單射aA,f(abBg(bgf(aa 否．因?yàn)閕1iR設(shè)

k,lF，當(dāng)kl

kl，因此V因?yàn)?0,0V,顯然是V"RVVFn中通常的加法及如下定義的數(shù)量乘法10,7

k0．容易驗(yàn)證當(dāng)0時(shí)，

n(n n(n一個(gè)基為EijEji(ij)，維 2EAA2易證

1,2,,n1ln,2,,

，由l的任意性及當(dāng)

kl1ln1kn(1xa,(xa)2,(xa)n11xx2xn1C,其中1101001101000C0

Cn2(a)n2Cn3(a)n3 01 01 ．C10．其坐標(biāo)為C1a1． an1

2n2EEi(kj1,2, １.(1)過(guò)渡矩陣為11

第四節(jié)10010010000001001000100過(guò)渡矩陣為kk

00011非零向量(kkk,kkF且k0(12,23,,n11,2,,n)C，其中CC

1

n

kN n2k因此當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)不為V的基;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為V第五節(jié)(1),(2)Fn(3)Fn(1)一個(gè)基為1x2x12．(2)一個(gè)基為1,2,43．

C(A)

，且B1B2C

,易證A(B1B2B1B2

,因此BBCA，又kF,A(kBkBAkBFn，從而C(AFn C(A)Fnn

Eii(i1,2,n，維數(shù)為n 只證1,22,3若

dimW

,

對(duì)k

均有 ．a(chǎn)1a2anb1b2bna1kb1,n2iaikbi,于是k的第一個(gè)分量為0,但是第i個(gè)分量不為0的向量，．只證V

W1且W2

則結(jié)論成立．若W2，則由W2為真子空間知VW2W1則V但W1，且W2第六節(jié)2．取V的基1,2,,n，易證VL(1L(2L(n)．顯然VW11W12W2，設(shè)111220，其中1iW1ii1,2),2W2，則(111220及VW1W211120,20W1W11W12知11120，故VW11W12W2 必要性

iWiWj，則iWj于是令i12i1從而由 tt12i1i000及Wi為直和可知i0充分 假

12t

中最后一個(gè)不為0的是i,i1

0,(i1)，則i12i1Wi

1Fn1

a1

,,

)

ana1a2an0ai0即0Fn

(AE)A,易證AE)WAWWW FnWW且WWFnFnWWWW,0, FnWW1充分性

XFn，由XE

XEA

，易證FnW 2WW由AE)0，可得0Fn

W (AE)

1(AE)X111Fn1

XFnX

X

，且由

E)X

0X 2 XX 2

EAXXEAX．故(AEEAX1(A2E)X0X A2EW的基1,2,,r,V的基1,2,,r,r1,,n,

L(k1r1,r2,,nkF

Wk為W 空間且當(dāng)kl時(shí)

Wl(4)利用維數(shù)對(duì)t用數(shù)學(xué)歸納法5只證Wi

tt

,設(shè)12

12

,其中iiWi,i ibiibi

birir,iciici

cirir,其中i,i,,ir

Wi的基．由(1122tt0

(btct

(btrctr)tr

于是b11c110,,btrctr0，即iii1,2,t 第七節(jié)xR，令(x)2x二者維數(shù)相同．A(a)Fmn,令(A)(a,a,,a,,a, ,, mnf(x)aaxax2

xn1，令f(x))(a0a1,an1．

1234AB,CD令VaVb

f(x)(xa)h(x(xf1(x)(xa)h1(x),f2(x)(xa)h2(x) ,若(xb)h1(x)(xb)h2 h1(xh2xf1(x)f2x)，即g(x)(xb)g1(xf(x)(xa)g1(x使f(x))g(x)，即f1x),f2xVa及k,lF，易證(kf1(xlf2x)kf1(x),f2xlf2x)．L(xn,xn1,xn2,)

FK上的線性空間的維數(shù)為n，其一個(gè)基為e1e2enEF上的線性m，其一個(gè)基為1,2,,n，則eij|i1,2,,n;j1,2,,mnEKn事實(shí)上，E，可設(shè)biei,biF,i1,2,mFKm故(aijeiji1m 令(kijjei0kijK,i1,2,mj1,2,n，則(kijj)ei0i1 i1n故k，進(jìn) nijj

,

eij|

,設(shè)V1的基為1,2,,r，將其擴(kuò)充為V的基1,2,,r,r1,,nW1L(r1,,n)則VV1W1W2L(r11,r22,,nnr這里nrVV1W2

,易證1,2,,

,r11,r22,,n

,從而設(shè)W1W2,kr1(r11)kn(nnr)lr1r1lnnkr1kn0，進(jìn)而0，即W1W2rn上述問(wèn)題不成立，用反證法，設(shè)VVWVW，而W

令r1,r2,,n是W1

,,'是W2的基，則r1,r2,,n

,,'事實(shí)上

kr1r1knn l'r1 nkr1r1knn

l'W

r1

n kr1r1knn進(jìn) kr1kn0,lr1ln

,而n

,, 共有nnrnrn(nnnrnrn，

個(gè)向量，因?yàn)閞 ，所以n2r,n2r0，2 設(shè)mA(x)為A的最小多項(xiàng)式,令mA(x)的次數(shù)m，E,A,,線性無(wú)關(guān)，從而dimWm.E,A,,k0k1km1k0Ek1A

Am10ki0ki1km10kEkAkAi0,0im 與mA(x)為A的最小多項(xiàng)式，從而它們線性無(wú)關(guān)f(xP[x]q(xr(x)，使f(x)mA(x)q(x)r(x),r(x)0ordegr(x)故f(A)f(A

EA,Am1為W s2s1個(gè)非平凡的子空間結(jié)論成立，即在V中存在向量Vi,i1,2,,ss個(gè)子空間Vs，若Vs，結(jié)論已對(duì)；若Vs，則由于VsVsk，向量kVsk1k2k1k2一個(gè)Vi(1is1sk1k2kssk1,k2,,ks中至少有一個(gè)不屬于任何V1,V2,,Vs1AATX0ATX0A12X0B12X0的解空間分別為V1與V2V10 10 A B

B

2222

2222A22V2令A(yù)22，易證是V1到V2得d1d2d3

0的解空間為W1BX0的解空間為W2W1W2,A0B0, 0BCA可逆0WW0因此dim(WWndimFn W1W2F,因此 WW21 1XN(ABACBDInXACX由B(ACXC(ABX0,所以ACXN(B),由A(BDXD(ABX0,所以BDXN(A),N(AB)N(AN(B)．XN(AN(BXN(AAX0X(NBBX0XACXBDXC(AX)D(BX)N(AB)N(AN(B)． 例如，取(1,1,,1)，則由的一切倍數(shù)k(kF)作成的子空間W中，每個(gè)非零向量k(k,k,,k),k0的分量都不是零． 6.5 設(shè)120,1V1,2V2，則12，由的分解唯一可知120，故V1V2是直和．若1,2,,n是V作為C1,2,,n,i1,,in是VR若W0，則AFnn且|A|0AX0的解空間即為W若W

,且設(shè)

,取其一個(gè)基

1,2 ,i(i1,i2,,in),i1,2,,Aaij)rn為系數(shù)矩陣的齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系為12,nr，且令jbj1,bj2,,bjnj1,2,nr．則齊次方程組BY0的解空間為r維，且1,2,,r為其一個(gè)基礎(chǔ)解系．即WL(1,2,rB(bij)(nr)n而于是lt1l0,t1或者l1,t0當(dāng)l0時(shí)，V1V2V2，此時(shí)V2V1．當(dāng)t0時(shí)，V1V2V1，