微分中值定理

微分中值定理第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第六節(jié)微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一、羅爾(Rolle)定理1.引理（費馬(Fermat)定理）

第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.羅爾（Rolle）定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使f()=0.設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.3)f(a)=f(b)第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等于零.幾何解釋:第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3、羅爾定理還指出了這樣的一個事實：若f(x)可導，則f(x)=0的任何兩個實根之間，至少有f(x)=0的一個實根.例2

不求導數(shù),判斷函數(shù)f(x)=(x1)(x2)(x3)的導數(shù)f(x)有幾個零點及這些零點所在的范圍.第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月4.注意

1)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2)羅爾定理的三個條件是充分不必要的,即若有一個不滿足,其結(jié)論也可能成立.例如,第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3例4說明:證明

在

內(nèi)有根用零點定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)鍵技巧:根據(jù)題意會知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).若希望用Rolle定理證明方程f(x)=0根的存在性，則構(gòu)造的輔助函數(shù)F(x)應(yīng)滿足關(guān)系式F(x)=f(x)及Rolle定理條件.例5第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例6第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二、拉格朗日(Lagrange)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使

f(b)f(a)=f'()(ba)((a,b)).Lagrange中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月作輔助函數(shù)證明：拉格朗日中值公式第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何解釋:例1第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月增量

y的精確表達式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值定理也稱為微分中值定理第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個推論:(1)設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導且f

(x)=0，則f(x)=C.(2)設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導且f

(x)=g(x)，則f(x)=g(x)

C.第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日中值定理的應(yīng)用:1、用Lagrange中值定理證明等式：例2說明欲證時,只需證在

I

上練習：第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2、用Lagrange中值定理證明不等式：Step1找出適當?shù)暮瘮?shù)f(x)及區(qū)間,Step2驗證f(x)滿足Lagrange中值定理條件,Step3對f()作適當放大或縮小，推出所要證的結(jié)果.例4例3第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月三、柯西(Cauchy)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使

Cauchy中值定理設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導且

g(x)

0.第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月證作輔助函數(shù)第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何解釋:注意:弦的斜率切線斜率第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例.第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月思考:

柯西定理的下述證法對嗎

?兩個

不一定相同錯!上面兩式相比即得結(jié)論.第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例分析:結(jié)論可變形為第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例證第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理中值定理的數(shù)學符號簡潔表述:P125第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

微分中值定理的應(yīng)用(1)

證明恒等式(2)

證明不等式(3)

證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵:

利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月中值定理的數(shù)學符號簡潔表述:P125第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.填空題思考與練習

函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,則中值第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題答案第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月費馬(1601–1665)法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月柯西(1789–1857)法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學的影他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證由零點定理矛盾,即為方程小于1的正實根.第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證由Rolle定理知說明:證明

在

內(nèi)有根用零點定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣:例6第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月（即例5）設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗證在上滿足羅爾定理條件.提示:第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月證：不妨設(shè)有例設(shè),證明對任意第42頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月有例設(shè),證明對任意題設(shè)條件可減弱為第43頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例4證由上式得第44頁，課件共46頁，創(chuàng)作于20