二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及常見題型

二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及常見題型（總16頁）-本頁僅作為預(yù)覽文檔封面，使用時(shí)請刪除本頁-#二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及常見題型資料編號一、二次根式的定義形如A（a三0）的式子叫做二次根式.其中“■:一”叫做二次根號,a叫做被開方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個(gè)式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷:①是否含有二次根號“V一”；②被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合,則是二次根式;若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),則不是二次根式.（3）形如m3（a三0）的式子也是二次根式，其中m叫做二次根式的系數(shù)，它表示的是:m\-a=m?弋a(chǎn)（a三0）；（4）根據(jù)二次根式有意義的條件，若二次根式、ATB與,1TA都有意義，則有A=B.二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì):（1）雙重非負(fù)性:%a三0,a三0；（主要用于字母的求值）（2）回歸性:Q）=a（a三0）;（主要用于二次根式的計(jì)算）（3）轉(zhuǎn)化性:工2=|a|=[a（a-0）.（主要用于二次根式的化簡）[-a（a<0）重要結(jié)論:（1）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.若|A|+B2+左=0，則A=0,B=0,C=0.應(yīng)用與書寫規(guī)范:,:A+b2+C=0,A三0,B2三0,、C三0??A=0,5=0,C=0?該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值.GQ-b)2=\a-b\=[A~'夕-"主要用于二次根式的化簡./x >-A1A2?B(A>0)-E4-\A^B= , ，其中6三0；-Va2-b(a<o)該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡:可以考慮把二次根號外面的系數(shù)根據(jù)符號以平方的形式移到根號內(nèi),以達(dá)到化簡的目的.(4)=4其中5三0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例L式子^=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則％的取值范圍是.x-1分析:本題考查二次根式有意義的條件,即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，注意分母不能為0.解:由二次根式有意義的條件可知：％-％〉1.例2.若1,y為實(shí)數(shù)，且y=+L化簡:上義.2y-l分析:本題考查二次根式有意義的條件,且有重要結(jié)論:若二次根式與7^二久都有意義，則有A=3.解:?1—1三0,1—%20??x=11 1??.y=0+0+-=-<l22?b-1|_1-J_iy_1y_1習(xí)題1.如果際7有意義，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.習(xí)題2.若y=、!X一3+43—1+2，則Xy=.習(xí)題3.要使代數(shù)式有意義，則X的最大值是.習(xí)題4,若函數(shù)y=也二三，則自變量x的取值范圍是.x習(xí)題5.已知b二,『3a-12+次-2a-1,則ab=.例3.若目+b2-4b+4=0，貝Uab的值等于 【】(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2分析:本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論:若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.解:「aai++b2-4b+4=0/.aT-++(b-2>=0\*aT1i三0,(b-2)2三0,a-1=0,b-2=0??a=1,b=2，ab=1x2=2選擇【D】.例4.無論x取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式、一x2-6x+m都有意義，則m的取值范圍是.分析:無論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式、:x2-6x+m都有意義，即被開方數(shù)x2-6x+m三0恒成立，所以有如下兩種解法：解法一:由題意可知:x2-6x+m三0/x2-6x+m=(x-3)2+m-9三0二(x-3)2三9-m?,(x-3)2三0二9-mW0,「.m三9.解法二:設(shè)y=x2-6x+m??無論x取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式，.x2-6x+m都有意義二y=x2一6x+m三0恒成立即拋物線y=x2-6x+m與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)二A=(―6>-4m=36-4mW0解之得:m三9.例5.已知a,b,c是^ABC的三邊長，并且滿足vo^6+18-b|+c2+100=20c,試判斷△ABC的形狀.分析:非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值.解:「a-―6+|8—b|+c2+100=20c,aa—6+|b—8|+c2—20c+100=0,,<a—6+|b—8|+(c—10)2=0?，力三0,|b—8|三0,(c—10)2三0??-—6=0,b—8=0,c—10=0?a=6,b=8,c=10：-2+b2=62+82=100,c2=102=100,a2+b2=c2??△ABC為直角三角形.習(xí)題6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足Ix—4|+丫y—8=0，則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形TOC\o"1-5"\h\z的周長為 【】(A)20或16 (B)20(C)16 (D)以上答案均不對習(xí)題7.當(dāng)x=時(shí),%匹+!+1取得最小值,這個(gè)最小值為.習(xí)題8.已知y=12—4+、'4—x2，則xy的值為 ^x—2習(xí)題9.已知非零實(shí)數(shù)a,b滿足、-a2—8a+16+|b—3|+式a—5%2+1)+4=a，求ab—1的值.

提示:由(a-5%2+1)三0,且b2+1〉0可得:a-5三0,「.a三5.例6.計(jì)算:⑴(6); (2)(3+3); (3)f-3*2丫.33

\ )分析:本題考查二次根式的性質(zhì)：(a)=a(a三0).該性質(zhì)主要用于二次根式的計(jì)算.解:(1)(6)=6；(2)(;2x+3)=2x+3；(3(3)2=（一3）2x注意:4+為)=A2.B，其中B三0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例7.化簡:（1）（1）＜252;1012—；（3）xx2-6x+9（x＜3）.分析:本題考查二次根式的性質(zhì):右二a一-案北).該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡.解：（1）＜25?=|25|=25；10110127,10Tv'x2_6x+9=\：(x-3)2=|x-3|「x<3??原式=3-x.注意:結(jié)論:"仁BK=A-B=/A-A；A；B；.該結(jié)論主要用于二次根式和絕對值的化簡.例8.當(dāng)vx-3有意義時(shí),化簡:|x+5|+式X-2j+v'(1-x)2.解:「二次根式冕三有意義二x-3三0，?x三3?|x+5|+ (x-2)2+弋(1-x)2=|x+5|+|x-2|+|1-x|=x+5+x—2+x—1=3x+2例9.化簡:(x-3)+式x-2)2.分析:jET=|x-2|，繼續(xù)化簡需要x的取值范圍，而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件:、的被開方數(shù)x-3為非負(fù)數(shù).解:由二次根式有意義的條件可知:、三0?x三3?(x-3)+v(x-2)2=x-3+|x-2|=x—3+x—2=2x-5例10.已知0<a<1,化簡?la+1+2-1la+1-2= .a a 解:<0<a<1Lj1??aa<—=aa

IV_\aak1an"a+1+2-1,；aIV_\aak1an=a'a+—aa=aa+~^=--；=aak4a例11.已知直線y=(m-3)x+n-2(m,n是常數(shù))，如圖(1)，化簡|m-n|-nn2-4n+4-解:由函數(shù)y=(m-3)x+n-2的圖象可知:m-3>0,n-2<0??m>3,n<2\-1n2-4n+4-|m-1|=|m-n|-v(n-2)2-|m-1|=|m—nI-|n=|m—n-(2—n)-(m—1)例12.已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖(2)所示，化間：|a|-,?(a+c)2+、,(c-a)2-bb2.ca0 b圖(2)解:由數(shù)軸可知:c<a<0<b??a+c<0,,|a|-\：(a+c)2+y(c-a)2-bb2

=_a_a+c+c_a一例=—a+a+c+a—c—b=a-b習(xí)題10.要使jim=（』）,x的取值范圍是習(xí)題11.若、/+a=0，則a的取值范圍是.一」C習(xí)題12.計(jì)算：J3\4TOC\o"1-5"\h\z\ 7一 ,,< 1一、2習(xí)題13.計(jì)算：—1J2= I27習(xí)題14.若、=x—3成立，則％的取值范圍是習(xí)題15.下列等式正確的是 【】（A）（：3）=3 （B）、；（—3}=-3J3=3 （D）（-33）=-3習(xí)題16.下列各式成立的是 【】（A）『-1丫=-1 （B）寸b-3}=3-兀K27 2 "（C）2（C）277（D）弋32+42=7習(xí)題17.計(jì)算習(xí)題17.計(jì)算:Q.3）=習(xí)題18.化簡:J）+，X=習(xí)題19.若、，a2-3a+1+b2+2b+1=0,則a2+--|b|=a2習(xí)題20.習(xí)題20.已知-1<a<0，化簡『 1丫/ 『 112Ia+— —4+Ja +4得,K a7n a7習(xí)題21.實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖（3）所示,化簡代數(shù)式:aa2-2a+1+|b-c|-、：a2-2ab+b2的結(jié)果為 【】（A）2b-c-1 （B）-1b-c+1_l I I I I cb0 1a圖(3)習(xí)題22.化簡:.4Xx2—4x+1—（:2x—3上例13.把a(bǔ)、,'—1中根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果是 【】Ia(A)、：-a(B)—va(C)aa(D)-v-a分析:本題實(shí)為二次根式的化簡:某些二次根式在化簡時(shí),把根號外的系數(shù)移到根號內(nèi),可以達(dá)到化簡的目的,但要注意根號外面系數(shù)的符號.有如下的結(jié)論:A4BJ”』a>0)，其中B三0.、-《A2.B(A<0)解:由二次根式有意義的條件可知：-1〉0a?二a<0I-F ? <1A ,-... _?二%? =—|a2 =—<—a.選擇【D】.aa\iaj習(xí)題23.化簡(2-a)［得 ."a—2三、二次根式的乘法一般地,有:ya-bb=abb(a三0,b三0)(1)以上便是二次根式的乘法公式，注意公式成立的條件:a三0,b三。.即參與乘法運(yùn)算的每個(gè)二次根式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù);(2)二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算;

（3）兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為:m、「-n^b=mn^ab（a三0,b三0）；（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有：aab=*a?七b（a三0,b三0）公式的逆用主要用于二次根式的化簡.注意公式逆用的條件不變.例14.若,=、,：『6）成立，則 【】（A）x三6 （B）0<x<6（C）x三0 （D）x為任意實(shí)數(shù)分析:本題考查二次根式乘法公式成立的條件:'vb=、.不（a三0,b三0）解:由題意可得:/解之得:x三6.選擇【A】.例15.若v：x2.1=、；X71.、.成立，則x的取值范圍是分析:本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:、a=、abb（a三0,b三0）解:由題意可得:/解之得:x三1.例16.計(jì)算:心.Y,1-a(a三0).1=—a21=—a2解:v'2a?、'—a='2a?—a=二—a28V8 \，4習(xí)題25.習(xí)題25.已知m=［）（2后）則有5<m5<m<6(C)-5<m<—44<m<5(D)—6<m<—5習(xí)題26.化簡瓦的結(jié)果是.四、二次根式的除法一般地,有:型=[a（a三0,b〉0）*'b1）以上便是二次根式的除法公式,要特別注意公式成立的條件;2）二次根式的除法公式用于二次根式的計(jì)算;（3）二次根式的除法公式可寫為:、"..而=E（a2b〉0）；4）二次根式的除法公式可逆用,即有:上=2a（a三0,b〉0）\bbb公式的逆用主要用于二次根式的化簡,注意公式逆用的條件不變.五、最簡二次根式符合以下條件的二次根式為最簡二次根式:（1）被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式;（2）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù).注意:二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡二次根式.六、分母有理化把分母中的根號去掉的過程,叫做分母有理化.如對A進(jìn)行分母有理化，過程為:X=12==蟲；對進(jìn)行分母有理m2 久2<2x<22y2+3化，過程為:=v2+3由舉例可以看出,分母有理化是借助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)的.（3）u28（3）u28沖2+（七7y2）（1）“54? （2）8'——3'22'（）K; 2）8V2,3V23;解:（1）

⑵8K'2 '3⑵8K'2 '3?3；22=8V-\3 2c5 8 ―8 8+3 ■.■- =- xJ-+- =- x\133 233；3 3 81T 8 3 c.x=-1'—=-x=2；\2 8 3\'16 3 4(3)例18.化簡:(1)「―； (2)<0,4； (3)aa3―6a2+9a(a>3).\6解：(1) =亙=*X/=函.一— —*6 <6 \6xx6(2)v0.4=)=aa(a-3，)=aa(a-3，=(a-3)Ya?\\：a3-6a2+9a=a((a2―6a+9注意:隨著學(xué)習(xí)的深入,在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略,以簡化計(jì)算.例19.例19.式子、三=沼成立的條件是,分析:本題求解的是x的取值范圍，考查了二次根式除法公式逆用成立的條aad件：「=rbbb解:由題意可得:」例20.計(jì)算:(2(2)注二；(3)V32-<8解:⑴於x\：725=V3x725=晨='三;(2)<20一1<20 1（3）解法1:"32二人=匡-4=、.；話-、4=4-2=2.廠2廠2v2解法2:3二8（.-32-沃\五 <64-V16解法2:3二8二次根式的乘除混合運(yùn)算例21.計(jì)算:（1（1）<30x-.1222v3rr）-2生；/解：⑴原式八項(xiàng)xme+3

=—x2TOC\o"1-5"\h\z、 ? 823

=—x2-x、,130x-x-）\ 35 =—-xv16x243 --=——x4x-v24=-3V2⑵原式，湛x⑵原式，湛x18飛3:絲=88=2C2.習(xí)題27.下列計(jì)算正確的是（B（B）\'2—2（D）VX2=%習(xí)題28.計(jì)算習(xí)題28.計(jì)算:V27x：1.1二一13.丫2一習(xí)題29.計(jì)算:4v6X3+2、3習(xí)題30,直線y=V3%-1與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是習(xí)題31.如果ab>0,a+b<0，那么下面各式:小■aaa①':廠方；②/飛1a=1;③”“by其中正確的是（填序號）.習(xí)題32.若ab<0，則化簡、，茄？的結(jié)果是習(xí)題33.計(jì)算：(1)r~c(1)r~c ,一( 2~i112—f3428x—5,12—；I2 [ 77)(2)1<18x8'.-.

4 36tv4i例22.先化簡，再求值:1高7+小f淇中X=.”-2.3 (x+1)G—1)x+1 -7 X+1X+1 」(X+2)2(x+2)(x-2) x+1x+1 (x+2)2x一2= x+2當(dāng)x=■西-2時(shí)原式二一原式二一心一2-2v2—2+222—4 ■一一「=2V2—1.v12習(xí)題34.先化簡，再求值:- 竺二."1淇中a=、.'2+1.a一1a2-2a+1a-1習(xí)題35.先化簡，再求值:X2一>2 淇中X=.習(xí)題35.先化簡，再求值:x2—2xy+y2

習(xí)題36.下列根式中是最簡二次根式的是（A）13 （B）v,3 （C）v9例23.觀察下列各式:1\：2+v31-v3+v4五-1;11\：2+v31-v3+v4五-1;11+C2（1）請利用上面的規(guī)律直接寫出v99+V100的