利用空間向量解立體幾何(完整版)

利用空間向量解立體幾何(完整版)

向量法解立體幾何基本思路與方法一、基本工具1.數(shù)量積：a·b=abcosθ2.射影公式：向量a在b上的射影為a·b/b3.直線Ax+By+C=0的法向量為(A,B)，方向向量為(-B,A)4.平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關(guān)系1.平行關(guān)系線線平行?兩線的方向向量平行線面平行?線的方向向量與面的法向量垂直面面平行?兩面的法向量平行2.垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）?兩線的方向向量垂直線面垂直?線的方向向量與面的法向量平行面面垂直?兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1.點點距離點P(x1,y1,z1)與Q(x2,y2,z2)的距離為PQ=√[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]2.點線距離求點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離：方法：在直線上取一點Q(x,y)，則向量PQ在法向量n=(A,B)上的射影PQ·n/n=|Ax+By+C|/√(A2+B2)即為點P到l的距離.3.點面距離求點P(x,y)到平面α的距離：方法：在平面α上取一點Q(x,y)，得向量PQ，計算平面α的法向量n，計算PQ在α上的射影，即為點P到面α的距離.四、用向量法解空間角1.線線夾角（共面與異面）線線夾角?兩線的方向向量的夾角或夾角的補角2.線面夾角求線面夾角的步驟：①先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；②再求其余角，即是線面的夾角.3.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.實例分析一、運用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a,b所成角θ，只要在兩條異面直線a,b上各任取一個向量AA'和BB'，則角<AA',BB'>=θ或π-θ，因為θ是銳角，所以cosθ=AA'·BB'/|AA'||BB'|1、運用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面α的法向量為n=(x,y,1)，則直線AB和平面α所成的角θ的正弦值為sinθ=cos(-θ)=|cos<AB,n>|=|AB·n|/|AB||n|2、運用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個面的法向量為n1,n2=2，求直線A1C1與平面ABCD的距離。解：首先求平面ABCD的法向量n，可以取向量AB和AD的叉積，得到n=(0,0,-12)。然后在平面ABCD上任取一點B，直線A1C1上任取一點A1，計算向量AB和向量A1B的叉積，再除以n的模長即可得到A1C1到平面ABCD的距離d=2/3。1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、BC、CD的中點，求點A1到面EFG的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系A(chǔ)BC，設(shè)面EFG的法向量為n=(x,y,z)。由于E、F、G分別是AB、BC、CD的中點，所以E=(0,1,0),F=(1,1,1),G=(0,1,2)∴EF=F-E=(1,0,1),EG=G-E=(-1,0,2)∴n=EF×EG=(-2,-1,0)又A1=(1,0,0)，所以A1到面EFG的距離為d=|A1E?n|/|n|=|(1,1,0)?(-2,-1,0)|/√5=√2/5.在圖中，AB=4，BC=3，CC=2?，F(xiàn)在需要解決以下問題：（1）證明平面ABC//平面ACD；（2）計算平面ABC和平面ACD之間的距離；（3）計算點B到平面ABC的距離。首先，我們可以通過向量叉乘來證明平面ABC和平面ACD平行。具體來說，向量AB和向量AC的叉積等于平面ABC的法向量，向量AD和向量AC的叉乘等于平面ACD的法向量。如果這兩個向量的叉積為零，則說明這兩個平面平行。接下來，我們可以使用點到平面的公式來計算點B到平面ABC的距離。該公式為：d=|(Ax+By+Cz+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2)|，其中（A，B，C）是平面的法向量，D是平面的常數(shù)項，（x，y，z）是點B的坐標(biāo)。對于第二個問題，我們可以使用向量的投影來計算平面ABC和平面ACD之間的距離。具體來說，我們可以將向量AB投影到向量AC上，然后計算投影向量的長度。同樣，我們可以將向量AD投影到向量AC上，然后計算投影向量的長度。最后，我們可以將這兩個長度相加，得到平面ABC和平面ACD之間的距離。在圖中，四棱錐S-ABCD中，SD垂直于底面ABCD，AB平行于DC，AD垂直于DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC垂直于平面SBC。首先，我們可以使用勾股定理來證明SE=2EB。具體來說，我們可以使用三角形SBE和三角形SDE的邊長來計算它們的面積，然后使用面積相等的原理來得出SE=2EB。接下來，我們可以使用余弦定