安徽省池州市石臺中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

安徽省池州市石臺中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓C：x2+y2=1，點P為直線+=1上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（4﹣2m，m），由切線的性質(zhì)得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標(biāo)．【解答】解：因為P是直線+=1的任一點，所以設(shè)P（4﹣2m，m），因為圓x2+y2=1的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，則點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標(biāo)是（2﹣m，），且半徑的平方是r2=，所以圓C的方程是（x﹣2+m）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m﹣4）x﹣my+1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m﹣4）x﹣my+1=0，即m（2x﹣y）+（﹣4x+1）=0，由得x=，y=所以直線AB恒過定點（，），故選B．2.已知則（）A．

B．

C.6

D．1參考答案：A3.設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為,令，則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.設(shè)曲線在點（3，2）處的切線與直線垂直，則a=(

)A．2

B．

C．―

D．―2參考答案：D5.設(shè)全集,集合，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知{an}為等差數(shù)列，a3+a8=22，則前10項的和為（

）A.10

B.22

C.55

D.110參考答案：D略7.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，為其終邊上一點，則(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后再根據(jù)二倍角的余弦公式求出．【詳解】∵為角終邊上一點，∴，∴．故選D．8.設(shè)全集，集合，集合，則為

A、;

B、;

C、;

D、;參考答案：B略9.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a4a10=16，則a6=(

)A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得a7=4，由通項公式可得a6．【解答】解：由題意可得=a4a10=16，又?jǐn)?shù)列的各項都是正數(shù)，故a7=4，故a6===2故選B【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題．10.記,那么(

)A.

B.-

C.

D.-參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)有零點，則的取值范圍是___________。參考答案：本題考查了導(dǎo)數(shù)知識，考查了方程的零點問題，數(shù)形結(jié)合意識，難度較大。，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，因為有零點，所以，即.12.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：是圓Q的圓心，圓Q過坐標(biāo)原點O；點L、S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S?圓L均與圓Q外切．已知直線l過點O．（1）若直線l與圓L、圓S均相切，則l截圓Q所得弦長為__________；（2）若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d=__________．參考答案：3

【分析】（1）設(shè)出公切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解即可；（2）設(shè)出方程，分別表示出圓心到直線的距離，，，結(jié)合弦長公式求得，即可【詳解】解：（1）根據(jù)條件得到兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，，設(shè)公切線方程為且存在，則，解得，，故公切線方程為，則到直線的距離，故截圓的弦長；（2）設(shè)方程為且存在，則三個圓心到該直線的距離分別為：，，，則，即有，①，②解①得，代入②得，則，即，故答案為：3；．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，公切線方程，方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．13.已知對任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，則當(dāng)a+b取得最小值時，a的值是．參考答案：﹣【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】由題意可令sinx+cosx=﹣，兩邊平方，結(jié)合二倍角正弦公式，代入原式可得a+b≥﹣2，考慮最小值﹣2，再令t=sinx+cosx，求得t的范圍，化簡整理可得t的二次不等式，運用判別式小于等于0，即可求得a，b的值，再代入檢驗即可得到a的值．【解答】解：由題意可令sinx+cosx=﹣，兩邊平方可得1+2sinxcosx=，即有sin2x=﹣，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，當(dāng)a+b=﹣2時，令t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x=t2﹣1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，對t∈[﹣，]恒成立，則△=9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即為（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，則5b+6=0，可得b=﹣，a=﹣．而當(dāng)b=﹣，a=﹣時，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=﹣t﹣（t2﹣1）=﹣（t+）2+3≤3．所以當(dāng)a+b取得最小值﹣2，此時a=﹣．故答案為：﹣．14.設(shè)雙曲線經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________.參考答案：，s15.．展開式中含項的系數(shù)是_________．參考答案：1416.

已知，則的值為

。參考答案：17.在三棱錐P-ABC中，平面ABC，AB=BC=2，PB=2，則點B到平面PAC的距離是

．

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（理）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點，1和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求。(2)若對任意,都存在(e為自然對數(shù)的底數(shù))，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：（Ⅰ），∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，由解得.∴,，令，，得；

令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故函數(shù)至多有兩個零點，其中，因為，，所以，故．（Ⅱ）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，令，只需存在使得即可，由于=，令，，∴在(1，e)上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，，即，在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.②當(dāng)，即時，，若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.若，則，∴在(1，e)上一定存在實數(shù)m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立，在(1，m)上單調(diào)遞減,∴存在，使得，符合題意.綜上所述，當(dāng)時，對任意，都存在，使得成立.19.即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通。根據(jù)測算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次。每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營運人數(shù)最多？并求出每天最多的營運人數(shù)。(注:營運人數(shù)指火車運送的人數(shù))參考答案：解：依題意，每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個數(shù)的一次函數(shù)，設(shè)為則

即

………分從而每天營運人數(shù)當(dāng)時，

答：每天應(yīng)拖掛節(jié)車廂能使每天的營運人數(shù)最多，最多人數(shù)為

………分20.在一個盒子中，放有標(biāo)號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為x、y，記ξ=|x﹣2|+|y﹣x|．（Ⅰ）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；C7：等可能事件的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，做出要用的變量ξ的可能取得的最大值，根據(jù)等可能事件的概率寫出試驗發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，求得概率．（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式得到概率，當(dāng)ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，這個情況比較多，容易出錯，寫出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，∴|x﹣2|≤1，|y﹣x|≤2，∴ξ≤3，且當(dāng)x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ=3．因此，隨機變量ξ的最大值為3．∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，∴．即隨機變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為．（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3．∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．∴，，．∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P∴數(shù)學(xué)期望．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題，本題是一個比較好的題目，難易程度適當(dāng)．21.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點x1、x2，是否存在實數(shù)a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標(biāo)，由點斜式方程即可得到切線方程；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得即g′（x）=0有兩個不同的實根．設(shè)h（x）=lnx﹣ax，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，求得單調(diào)區(qū)間得到最大值，令最大值大于0，解得a的范圍0＜a＜，即可判斷不存在實數(shù)a．【解答】解：（1）若a=2，則f（x）=xlnx﹣x2，導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+lnx﹣2x，又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，即有曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+1=﹣（x﹣1），即為y=﹣x；（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點x1、x2，即g′（x）=0有兩個不同的實根．設(shè)h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，當(dāng)a≤0時，h′（x）＞0，h（x）遞增，g（x）=0不可能有兩個實根；當(dāng)a＞0時，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）遞增，若x＞，h′（x）＜0，h（x）遞減．則h（）取得極大值，也為最大值，且為﹣1﹣lna＞0，即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，不妨設(shè)x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），即=a＞0，故不存在實數(shù)a，使得=g′（a）成立．22.對于無窮數(shù)列{an}，{bn}，若，，則稱{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.其中，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知{an}為無窮數(shù)列，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.（1）若，求{bn}的前n項和；（2）證明：{bn}的“收縮數(shù)列”仍是{bn}；（3）若且，，求所有滿足該條件的{an}.參考答案：（1）；（2）詳見解析；（3），.【分析】（1）根據(jù)可得為遞增數(shù)列，從而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果；（2）可證得，即，則可知，可證得結(jié)論；（3）令猜想可得，，整理可知此數(shù)列滿足題意；利用反證法可證得不存在數(shù)列不滿足，的符合題設(shè)條件，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）由可得遞增數(shù)列由通項公式可知為等差數(shù)列的前項和為：（2），又的“收縮數(shù)列”仍是（3）由可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以；當(dāng)時，，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號，這與矛盾；若，則，