第二章·整式·第2課時·整式的加減

初中數(shù)學(xué)第二章《整式》“整式的加減”培訓(xùn)教程知識點(diǎn)精講有理數(shù)之間可以加減，整式之間也可以相加或相減。不同的是，有理數(shù)的加減是數(shù)與數(shù)之間的加減，整式的加減是構(gòu)成整式的項(xiàng)與項(xiàng)之間的相加或相減。問(1)：什么是整式的加減？答：整式的加減就是構(gòu)成整式的項(xiàng)與項(xiàng)之間的相加或相減。整式的加減包括單項(xiàng)式與單項(xiàng)式之間、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式之間的相加或加減。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的加減都要轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式之間的加減，才能進(jìn)行加減。問(2)：整式之間如何相加或加減？答：整式的加減，通常由以下兩個步驟完成：①有括號要先去括號，然后再進(jìn)行項(xiàng)與項(xiàng)之間的相加或相減。若括號外為正號，則去括號后括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同；若括號外為負(fù)號，則去括號后括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反?！咀ⅰ咳粽降募訙p式中，含小括號“()”、中括號“[]”和大括號“｛｝”，則按先去“()”，再去“[]”，最后去“｛｝”的順序依次去括號。②合并同類項(xiàng)，就是項(xiàng)與項(xiàng)之間的相加或相減，即單項(xiàng)式和單項(xiàng)式之間的相加或相減。問(3)：什么是同類項(xiàng)？答：同類項(xiàng)就是項(xiàng)的系數(shù)可以不同，但所含字母全相同，并且對應(yīng)字母的指數(shù)也全相同的項(xiàng)。比如：3abc和9abc是同類項(xiàng)，因?yàn)樗帜溉嗤?，都是a、b、c。對應(yīng)字母的指數(shù)也全相同，都是1。3abc和9abc不是同類項(xiàng)，雖然所含字母全相同，都是a、b、c，但對應(yīng)字母a、b、c的指數(shù)不全相同。注1：因?yàn)槿我庖粋€常數(shù)項(xiàng)c都可以改寫成c=c·a。規(guī)定：a=1(a≠0)。所以，不含字母的常數(shù)項(xiàng)也符合同類項(xiàng)的定義，常數(shù)項(xiàng)都屬于同類項(xiàng)。注2：由同類項(xiàng)的定義可知：同類項(xiàng)都是單項(xiàng)式，多項(xiàng)式和多項(xiàng)式之間不能構(gòu)成同類項(xiàng)。若兩個或兩個以上多項(xiàng)式的組成完全相同，可以用相同的字母表示相同的多項(xiàng)式，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式，構(gòu)成同類項(xiàng)，再合并。比如：兩多項(xiàng)式3(a＋2b)和(2b＋a)相減，設(shè)m=(a＋2b)。則有：3(a＋2b)－(2b＋a)=3m－m。問(4)：如何合并同類項(xiàng)？答：合并同類項(xiàng)就是把所有同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，合并后所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各項(xiàng)系數(shù)的和，對應(yīng)相同的字母及其指數(shù)不變。常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)就是其本身。合并常數(shù)項(xiàng)時，把常數(shù)相加即可。比如：把3abc和－9abc合并同類項(xiàng)。3abc－9abc=[3＋(－9)]abc=－6abc。合并后所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各項(xiàng)系數(shù)3和－9的和，對應(yīng)相同的字母及其指數(shù)不變?！纠壳蠖囗?xiàng)式3ban－9abn＋5cn－28與－22＋5cn－5bna＋7anb的差。解：(3ban－9abn＋5cn－28)－(－22＋5cn－5bna＋7anb)=3ban－9abn＋5cn－28＋22－5cn＋5bna－7anb=(3－7)anb＋(－9＋5)abn＋(5-5)cn＋(－28＋22)=(－4anb)＋(－4abn)＋0·cn＋(－6)=－4anb－4abn－6典型題型精編解析選擇題：1.以下整式的加減中，運(yùn)算正確的是（）A.若a＞b，則－|b－a|=－(b－a)=－b＋aB.(－)＋(－)＋(－)=－C.－[－(m－n)]=－[－m－n]=m＋nD.－(p－q)＋(r－s)=－p－q＋r－s【答案】B【解析】A項(xiàng)中：|b－a|去絕對值符號時出現(xiàn)錯誤。若a＞b，則b－a是用小數(shù)減大數(shù)，一定是負(fù)數(shù)，即：b－a＜0。∴|b－a|=－(b－a)。∴－|b－a|=－[－(b－a)]=b－a。B項(xiàng)中：(－)＋(－)＋(－)=－－－，(省略“＋”號)=－(＋＋)，(依據(jù)去括號規(guī)則，可以加括號)=－。故B項(xiàng)正確。C項(xiàng)中：去括號時出現(xiàn)錯誤。應(yīng)是：－[－(m－n)]=－[－m＋n]=m－n。D項(xiàng)中：去括號時出現(xiàn)錯誤。應(yīng)是：－(p－q)＋(r－s)=－p＋q＋r－s。故選B。2.以下判斷錯誤的是（）A.所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)B.－3(a＋b)和(b＋a)是同類項(xiàng)C.同類項(xiàng)都是由單項(xiàng)式組成的D.ab和－ba是同類項(xiàng)，合并后的結(jié)果為0【答案】B【解析】A項(xiàng)中：規(guī)定“任意非0字母的0次冪等于1”，所有的常數(shù)項(xiàng)都可以化成常數(shù)和任意相同的非0字母的0次冪的乘積形式，符合同類項(xiàng)的定義。B項(xiàng)中：依據(jù)同類項(xiàng)的定義,同類項(xiàng)由兩個或多個單項(xiàng)式組成，不是多項(xiàng)式。由此可以判定：－3(a＋b)和(b＋a)是兩個有相同因式(a＋b)和(b＋a)的多項(xiàng)式，不是同類項(xiàng)。故B項(xiàng)錯誤。C項(xiàng)中：由同類項(xiàng)的定義可知：同類項(xiàng)都是由單項(xiàng)式組成的。故C項(xiàng)正確。D項(xiàng)符合同類項(xiàng)的定義以及合并同類項(xiàng)的方法。故D項(xiàng)正確。故選B。3.已知x＝3時，代數(shù)式ax＋bx＋1的值是－2999，則x＝－3時代數(shù)式的值為（）A.3000B.－2999C.3001D.【答案】C【解析】把知x＝3代入ax＋bx＋1得：3a＋3b＋1=－2009，即3a＋3b=－再把已知x＝－3代入ax＋bx＋1得：(－3)a＋(－3)b＋1=－3a－3b＋1=－(3a＋3b)＋1已知：3a＋3b=－3000。代換得：－(3a＋3b)＋1=－(－3000)＋1=故選C。4.關(guān)于x、y的單項(xiàng)式axy、xy、3xy、xy相加，合并同類項(xiàng)的結(jié)果為xy，則a、b的值分別為（）A.a=，b=1B.a=3，b=0C.a=－，b=－1D.a=－3，b=0【答案】D【解析】由已知得：axy＋xy＋3xy＋xy=(a＋3)xy＋(1＋)xy(合并同類項(xiàng))由已知得：(a＋3)xy＋(1＋)xy=xy。要使等式成立。則：a＋3=0①，1＋=1②。由①式得：a=－3，由②式得：b=0。故選 D。填空題：1.在整數(shù)加減運(yùn)算－3x＋2=x－5x＋1中，被遮住的整式是_______________。【答案】x－2x－1【解析】已知式形如A＋B=C，A是被遮住的整式，B=－3x＋2，C=x－5x＋1。則：A=C－B，=(x－5x＋1)－(－3x＋2)，=x－5x＋1＋3x－2，=x－2x－1。2.把多項(xiàng)式x－(－4xy+5xy)－(－xy+1)去括號后按字母x的降冪排列為________________________?！敬鸢浮縳－5xy＋xy＋4xy－1【解析】按去括號的規(guī)則去括號得：-7x＋4xy－5xy＋xy－1。其中，規(guī)定：x=1(x≠0)，則常數(shù)項(xiàng)－1=－x，即常數(shù)項(xiàng)所含字母x的指數(shù)是0。按字母x的降冪排列就是按字母x的指數(shù)從大到小排列各項(xiàng)，由此得出以上答案。3.關(guān)于a、b的單項(xiàng)式mab和nab是同類項(xiàng)，且m=x－y，m、n互為倒數(shù)，則合并同類項(xiàng)后的結(jié)果為__________?！敬鸢浮浚?ab【解析】互為同類項(xiàng)的兩個單項(xiàng)式對應(yīng)的字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同，系數(shù)可以不同。由已知得：2xy=1，y=1，即2x=1，∴2和x互為倒數(shù)，則x=。則：m=x－y==－1=－。且已知：m、n互為倒數(shù)，即mn=1，則－n=1，∴－和n互為倒數(shù)，則n=－2。所以，mab＋nab=(m＋n)ab=(－－2)ab=－2ab。4.已知：多項(xiàng)式－3(n＋)和(＋n)中的冪底數(shù)之差為0。如果A=3m－2m+1，B=2m－5m－1，且C=B-A，那么C=______?！敬鸢浮浚?0【解析】由乘方的定義可知：n＋和＋n是冪底數(shù)。由已知得：(n＋)－(＋n)=0，去括號得：n＋－－n=0，即－=0?！呦嗟鹊膬蓚€數(shù)之差為0?！?，即m=3?！郈=B-A，=(2m－5m－1)－(3m－2m+1)，=－m－3m－2，=－3－3·3－2，=－20。解答題：1.已知整式A=3ab－2ab＋abc，在整式A－B的運(yùn)算中，誤把A－B寫成A＋B，算出的結(jié)果為4ab－3ab＋4abc。(1)求整式B；(2)求原題A－B的正確答案。答案：(1)解：設(shè)算出的結(jié)果為C式，由已知條件列式得：A＋B=C，即：B=C－A。由已知得：B=(4ab－3ab＋4abc)－(3ab－2ab＋abc)，=4ab－3ab＋4abc－3ab＋2ab－abc，=ab－ab＋3abc。注：由A＋B=C得到B=C－A，由被加數(shù)、加數(shù)、和之間的關(guān)系即可解釋。和由被加數(shù)、加數(shù)兩部分相加組成，用和減去其中一部分，即可得到另一部分。在學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，由等式的性質(zhì)即可解釋。(2)解：由已知得：A－B=(3ab－2ab＋abc)－(ab－ab＋3abc)，=3ab－2ab＋abc－ab＋ab－3abc，=2ab－ab－2abc。2.若：｜4a－3b｜＋(b＋2)＝0。求：多項(xiàng)式2(2a＋3b)－3(2a＋3b)＋8(2a＋3b)－7(2a＋3b)的值。解：∵｜4a－3b｜和(b＋2)的值都是非負(fù)數(shù)，即0或正數(shù)?！嘁挂阎仁降扔?，｜4a＋3b｜和(b＋2)必須同時為0。即：4a－3b=0①，b＋2=0②。由②式得：b=0－2=－2，代入①式得：4a=0－(－3b)=3b=6，∴a=。設(shè)C=2a＋3b。則：C=2a＋3b=2·＋3·(－2)=－3。代換得：已知多項(xiàng)式=2C－3C＋8C－7C=10C－10C∴已知多項(xiàng)式=10·(－3)－10·(－3)=120。注1：由4a=6得到a=，由被乘數(shù)、乘數(shù)、積之間的關(guān)系即可解釋