電力系統(tǒng)潮流計算

電力系統(tǒng)潮流計算第一節(jié)概述第二節(jié)潮流計算的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)牛頓法潮流計算第四節(jié)P-Q分解法潮流計算第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮第六節(jié)保留非線性潮流算法第七節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法第八節(jié)幾種特殊性質(zhì)的潮流計算問題簡介第一節(jié)概述常規(guī)潮流計算的任務(wù)是根據(jù)給定的運行條件和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定整個系統(tǒng)的運行狀態(tài)，如各母線上的電壓(幅值及相角)、網(wǎng)絡(luò)中的功率分布以及功率損耗等。潮流計算的結(jié)果是電力系統(tǒng)穩(wěn)定計算和故障分析的基礎(chǔ)。在電力系統(tǒng)運行方式和規(guī)劃方案的研究中，都需要進行潮流計算以比較運行方式或規(guī)劃供電方案的可行性、可靠性和經(jīng)濟性。為了實時監(jiān)控電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)，也需要進行大量而快速的潮流計算。潮流計算是電力系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛、最基本和最重要的一種電氣計算。在系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計和安排系統(tǒng)的運行方式時，采用離線潮流計算；在電力系統(tǒng)運行狀態(tài)的實時監(jiān)控中，則采用在線潮流計算。利用電子數(shù)字計算機進行電力系統(tǒng)潮流計算從20世紀50年代中期就已開始。此后，潮流計算曾采用了各種不同的方法，這些方法的發(fā)展主要是圍繞著對潮流計算的一些基本要求進行的。對潮流計算的要求可以歸納為下面幾點：(1)算法的可靠性或收斂性。(2)計算速度和內(nèi)存占用量。(3)計算的方便性和靈活性。第一節(jié)概述電力系統(tǒng)潮流計算一組高階非線性代數(shù)方程迭代達幾千階甚至上萬階開始階段：節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯一賽德爾迭代法(以下簡稱導(dǎo)納法)簡單，所需內(nèi)存量也比較小20世紀60年代初:以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的逐次代入法(以下簡稱阻抗法)滿矩陣-》需要較大的內(nèi)存量；每次迭代的計算量很大克服阻抗法缺點的另一途徑是采用牛頓拉夫遜法(以下簡稱牛頓法)。導(dǎo)納矩陣；系數(shù)矩陣的稀疏性；提高效率90世紀60年代中期利用了最佳順序消去法以后，牛頓法在收斂性、內(nèi)存要求、計算速度方面都超過了阻抗法，成為直到目前仍被廣泛采用的方法P-Q分解法保留非線性的潮流算法20世紀70年代后期:泰勒級數(shù)的高階項也包括進來，希望以此提高算法的性能為了解決病態(tài)潮流計算，出現(xiàn)了將潮流計算表示為一個無約束非線性規(guī)劃問題的模型非線性規(guī)劃潮流算法對于一個潮流算法，其基本要求可歸納成以下四個方面(1)計算速度；(2)計算機內(nèi)存占用量；(3)算法的收斂可靠性；(4)程序設(shè)計的方便性以及算法擴充移植等的通用靈活性。這四點要求也成為本章后面評價各種潮流算法性能時所依據(jù)的主要標(biāo)準。本章在對潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型進行簡單的回顧以后，將首先轉(zhuǎn)入三種最基本的潮流算法：高斯一塞德爾法牛頓法快速解耦法的討論這三種算法的基本原理在大學(xué)本科的《電力系統(tǒng)分析》教材中已作過介紹，但鑒于這些方法的重要性，將在大學(xué)本科《電力系統(tǒng)分析》教材的基礎(chǔ)上作進一步的討論。牛頓法的特點是將非線性方程線性化。70年代后期，有人提出采用更精確的模型，即將泰勒級數(shù)的高階項也包括進來，希望以此提高算法的性能，這便產(chǎn)生了保留非線性的潮流算法。為了解決病態(tài)潮流計算，出現(xiàn)了將潮流計算表示為一個無約束非線性規(guī)劃問題的模型，并稱之為最小化潮流計算法。一些實際用于生產(chǎn)的潮流程序往往在上述基本潮流的框架內(nèi)再加入模擬實際系統(tǒng)運行控制特點的自動調(diào)整計算功能，如潮流控制，分接頭調(diào)整等60年代中期，結(jié)合電力系統(tǒng)經(jīng)濟調(diào)度工作的開展，針對經(jīng)典的經(jīng)濟調(diào)度方法的不足，開辟了一個新的研究領(lǐng)域，稱之為最優(yōu)潮流問題。這種以非線性規(guī)劃作為計算模型的潮流問題能夠統(tǒng)籌兼顧電力系統(tǒng)的經(jīng)濟性、安全性和電能質(zhì)量，因而受到很大的重視，發(fā)展很快，其應(yīng)用領(lǐng)域正在不斷擴大。和交流輸電比較，直流輸電具有不少固有的特點。70年代以后，隨著晶閘管(可控硅)換流器的問世，促進了直流輸電的迅速發(fā)展，一批批新的線路正在建設(shè)或已經(jīng)投運，我國也已經(jīng)建成了葛洲壩--上海、天生橋—廣東、三峽--廣東等高壓直流±500kV輸電工程，因此研究交直流系統(tǒng)的潮流計算就成為十分必要。最后，將簡單介紹幾種特殊用途的潮流計算問題。直流潮流隨機潮流三相潮流第二節(jié)潮流計算問題的數(shù)學(xué)模型電力系統(tǒng)是由發(fā)電機、變壓器、輸電線路及負荷等組成，其中發(fā)電機及負荷是非線性元件，但在進行潮流計算時，一般可用接在相應(yīng)節(jié)點上的一個電流注入量代表，因此潮流計算所用的電力網(wǎng)絡(luò)系由變壓器、輸電線路、電容器、電抗器等靜止線性元件所構(gòu)成，并用集中參數(shù)表示的串聯(lián)或并聯(lián)等值支路來模擬。結(jié)合電力系統(tǒng)的特點，對這樣的線性網(wǎng)絡(luò)進行分析，普遍采用的是節(jié)點法，節(jié)點電壓與節(jié)點電流之間的關(guān)系為：其展開式分別為：但是在工程實際中，已知的節(jié)點注入量往往不是節(jié)點電流而是節(jié)點功率，為此必須應(yīng)用聯(lián)系節(jié)點電流和節(jié)點功率的關(guān)系式將上式代入展開式得到

（1-6）（1-7）這就是潮流計算問題最基本的方程式，是一個以節(jié)點電壓U為變量的非線性代數(shù)方程組。由此可見，采用節(jié)點功率作為節(jié)點注入量是造成方程組呈非線性的根本原因。由于方程組為非線性的，因此必須采用數(shù)值計算方法、通過迭代來求解。而根據(jù)在計算中對這個方程組的不同應(yīng)用和處理，就形成了不同的潮流算法。對于電力系統(tǒng)中的每個節(jié)點，要確定其運行狀態(tài)，需要有四個變量：有功注入--P無功注入--Q電壓模值--U電壓相角--θn個節(jié)點總共有4n個運行變量要確定?？偣舶╪個復(fù)數(shù)方程式，如果將實部與虛部分開，則形成2n個實數(shù)方程式，由此僅可以解得2n個未知運行變量。為此在計算潮流以前，必須將另外2n個變量作為已知量而預(yù)先給以指定。也即對每個節(jié)點，要給定其兩個變量的值作為已知條件，而另兩個變量作為待求量。按照電力系統(tǒng)的實際運行條件，根據(jù)預(yù)先給定的變量的不同，電力系統(tǒng)中的節(jié)點又可分成PQ節(jié)點PV節(jié)點平衡節(jié)點對應(yīng)于這些節(jié)點，分別對其注入的有功、無功功率，有功功率及電壓模值以及電壓模值和相角加以指定；并且對平衡節(jié)點來說，其電壓相角一般作為系統(tǒng)電壓相角的基準：即交流電力系統(tǒng)中的復(fù)數(shù)電壓變量可以用兩種坐標(biāo)形式來表示：復(fù)數(shù)導(dǎo)納為將上三式代入以導(dǎo)納矩陣，并將實部與虛部分開，可得到以下兩種形式的潮流方程。潮流方程的直角坐標(biāo)形式為：潮流方程的極坐標(biāo)形式為：以上各式中j∈i表示∑號后的標(biāo)號為j的節(jié)點必須直接和節(jié)點i相聯(lián)，井包括j=i的情況。這兩種形式的潮流方程通稱為節(jié)點功率方程，是牛頓一拉夫遜法等潮流算法所采用的主要數(shù)學(xué)模型。對于以上潮流方程中的有關(guān)運行變量，還可以按其性質(zhì)的不同再加以分類，這對于進行例如靈敏度分析以及最優(yōu)潮流的研究等，都是比較方便的。每個節(jié)點的注入功率是該節(jié)點的電源輸入功率PGi、QGi和負荷需求功率PLi，QLi的代數(shù)和。負荷需求的功率取決于用戶，是無法控制的，所以稱之為不可控變量或擾動變量。而某個電源所發(fā)的有功、無功功率則是可以由運行人員控制或改變的變量，是自變量或稱為控制變量。至于各個節(jié)點的電壓模值或相角，則屬于隨著控制變量的改變而變化的因變量或狀態(tài)變量。當(dāng)系統(tǒng)中各個節(jié)點的電壓模值及相角都知道以后，則整個系統(tǒng)的運行狀態(tài)也就完全確定了。若以p,u,x分別表示擾動變量、控制變量、狀態(tài)變量，則潮流方程可以用更簡潔的方式表示為:根據(jù)上式，潮流計算的含義就是針對某個擾動變量p，根據(jù)給定的控制變量u，求出相應(yīng)的狀態(tài)變量x。第三節(jié)高斯一塞德爾法以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)，并應(yīng)用高斯--塞德爾迭代的算法是在電力系統(tǒng)中最早得到應(yīng)用的潮流計算方法。優(yōu)點：原理簡單，程序設(shè)計十分容易。導(dǎo)納矩陣是一個對稱且高度稀疏的矩陣，因此占用內(nèi)存非常節(jié)省。就每次迭代所需的計算量而言，是各種潮流算法中最小的，并且和網(wǎng)絡(luò)所包含的節(jié)點數(shù)成正比關(guān)系。缺點：本算法的主要缺點是收斂速度很慢。病態(tài)條件系統(tǒng)，計算往往會發(fā)生收斂困難節(jié)點間相角差很大的重負荷系統(tǒng)；包含有負電抗支路(如某些三繞組變壓器或線路串聯(lián)電容等)的系統(tǒng)；具有較長的輻射形線路的系統(tǒng)；長線路與短線路接在同一節(jié)點上，而且長短線路的長度比值又很大的系統(tǒng)。此外，平衡節(jié)點所在位置的不同選擇，也會影響到收斂性能。目前高斯一塞德爾法已很少使用第四節(jié)牛頓一拉夫遜法一、牛頓一拉夫遜法的一般概念

牛頓一拉夫遜法(簡稱牛頓法)在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)地對相應(yīng)的線性方程式進行求解的過程，即通常所稱的逐次線性化過程。對于非線性代數(shù)方程組即在待求量x的某一個初始估計值，x(0)附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項，得到如下的經(jīng)線性化的方程組上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量將相加，得到變量的第一次改進值x(1)。接著就從x(1)出發(fā)，重復(fù)上述計算過程。因此從一定的初值x(0)出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為:上兩式中：f’(x)是函數(shù)f(x)對于變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即雅可比矩陣J；k為迭代次數(shù)。由上兩式可見，牛頓法的核心便是反復(fù)形成并求解修正方程式。牛頓法當(dāng)初始估計值x(0)和方程的精確解足夠接近時，收斂速度非?？?，具有平方收斂特性。二、牛頓潮流算法的修正方程式在將牛頓法用于求解電力系統(tǒng)潮流計算問題時，由于所采用f(x)的數(shù)學(xué)表達式以及復(fù)數(shù)電壓變量采用的坐標(biāo)形式的不同，可以形成牛頓潮流算法的不同形式。以下討論用得最為廣泛的f(x)采用功率方程式模型，而電壓變量則分別采用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的兩種形式。(一)極坐標(biāo)形式令則采用極坐標(biāo)形式的潮流方程是：對每個PQ節(jié)點及PV節(jié)點對每個PQ節(jié)點將上述方程式在某個近似解附近用泰勒級數(shù)展開，并略去二階及以上的高階項后，得到以矩陣形式表示的修正方程式為:式中：n為節(jié)點總數(shù)；m為PV節(jié)點數(shù)，雅可比矩陣是(2n-m-2)階非奇異方陣。(二)直角坐標(biāo)形式令在這里，潮流方程的組成與上不同，對每個節(jié)點，都有二個方程式，所以在不計入平衡節(jié)點方程式的情況下，總共有2(n-1)個方程式。

對每個PQ節(jié)點，根據(jù)直角坐標(biāo)形式的基本潮流方程有：

對每個PV節(jié)點，除了有相同的有功功率方程式之外，還有

（1-41）采用直角坐標(biāo)形式的修正方程式為（1-42）仔細分析以上兩種類型的修正方程式，可以看出兩者具有以下的共同特點。(1)修正方程式的數(shù)目分別為2(n-1)-m及2(n-1)個，在PV節(jié)點所占比例不大時，兩者的方程式數(shù)目基本接近2(n-1)個。(2)雅可比矩陣的元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，每次迭代，雅可比矩陣都需要重新形成。(3)分析雅可比矩陣的非對角元素的表示式可見，某個非對角元素是否為零決定于相應(yīng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣元素Yij是否為零。因此如將修正方程式按節(jié)點號的次序排列，并將雅可比矩陣分塊，把每個2*2階子陣；作為分塊矩陣的元素，則按節(jié)點號順序而構(gòu)成的分塊雅可比矩陣將和節(jié)點導(dǎo)納矩陣具有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)，是一個高度稀疏的矩陣。(4)和節(jié)點導(dǎo)納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅可比矩陣在位置上對稱，但雅可比矩陣不是對稱陣。復(fù)習(xí)并分析這些特點非常重要，因為正是修正方程式的這些特點決定了牛頓法潮流程序的主要輪廓及程序特色。第二節(jié)

潮流計算的數(shù)學(xué)模型一、潮流計算中的節(jié)點分類潮流計算所用的電力網(wǎng)絡(luò)由變壓器、輸電線路、電容器、電抗器等靜止線性元件所構(gòu)成，并用集中參數(shù)表示的串聯(lián)或并聯(lián)等值支路來模擬。結(jié)合電力系統(tǒng)的特點，對這樣的線性網(wǎng)絡(luò)進行的分析普遍采用節(jié)點法，以導(dǎo)納矩陣表示的節(jié)點電流與節(jié)點電壓之間的關(guān)系為對于每個節(jié)點，有4個變量：注入節(jié)點的有功功率P和無功功率Q，以及節(jié)點電壓的幅值V和相角θ(或?qū)?yīng)于某一選定參考直角坐標(biāo)的實部和虛部)，對于n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)則有4n個變量。而式(2-4)或式(2-5)總共有n個復(fù)數(shù)方程，如果將其實部和虛部分開便得到2n個實數(shù)方程，由此僅可求得2n個變量。為此在計算潮流以前，必須將另外2n個變量作為已知量而預(yù)先給定，即對每個節(jié)點，要給定兩個變量的值作為已知條件，而另兩個變量作為待求量。第二節(jié)

潮流計算的數(shù)學(xué)模型按給定變量的不同，一般將節(jié)點分為以下3種類型:(1)PQ節(jié)點。這類節(jié)點的有功功率P和無功功率Q是給定的，節(jié)點電壓相量(V,θ)是待求量，通常將變電所母線作為PQ節(jié)點。在一些情況下，系統(tǒng)中某些發(fā)電廠送出的功率在一定時間內(nèi)為固定時，該發(fā)電廠母線也作為PQ節(jié)點。因此，電力系統(tǒng)中的絕大多數(shù)節(jié)點屬于這一類型。(2)PV節(jié)點。這類節(jié)點的有功功率P和電壓幅值V是給定的，節(jié)點的無功功率Q和電壓相角θ是待求量。這類節(jié)點必須有足夠的可調(diào)無功容量，用以維持給定的電壓幅值，因而又稱之為電壓控制節(jié)點。一般是選擇有一定無功儲備的發(fā)電廠和具有可調(diào)無功電源設(shè)備的變電所作為PV節(jié)點。在電力系統(tǒng)中，這一類節(jié)點的數(shù)目很少。(3)平衡節(jié)點。在潮流計算中，平衡節(jié)點只有一個，它的電壓幅值V和相角

θ給定(一般

θ=0o)，其有功功率P和無功功率Q是待求量。在潮流分布算出以前，網(wǎng)絡(luò)中的功率損耗是未知的，因此，網(wǎng)絡(luò)中至少有一個節(jié)點的有功功率P不能給定，這個節(jié)點承擔(dān)了系統(tǒng)的有功功率平衡，故稱之為平衡節(jié)點。另外必須選定一個節(jié)點，指定其電壓相角為零，作為計算各節(jié)點電壓相角的參考，這個節(jié)點稱為基準節(jié)點，基準節(jié)點的電壓幅值也是給定的。為了計算上的方便，常將平衡節(jié)點和基準節(jié)點選為同一個節(jié)點，習(xí)慣上稱之為平衡節(jié)點。第二節(jié)

潮流計算的數(shù)學(xué)模型二、節(jié)點功率方程第二節(jié)

潮流計算的數(shù)學(xué)模型采用直角坐標(biāo)時，節(jié)點電壓可表示為采用極坐標(biāo)時，節(jié)點電壓可表示為牛頓法等潮流算法所采用的主要數(shù)學(xué)模型第二節(jié)

潮流計算的數(shù)學(xué)模型三、潮流計算的約束條件(1)所有節(jié)點電壓幅值必須滿足技術(shù)上和經(jīng)濟上的要求，這些要求構(gòu)成了潮流問題中某些變量的約束條件(2)所有電源節(jié)點的有功功率和無功功率必須滿足(3)某些節(jié)點之間的電壓相角差滿足對PQ節(jié)點而言如電壓不能超出額定電壓的＋5％～－7％。這主要由暫態(tài)分析中系統(tǒng)運行穩(wěn)定性來確定。對沒有電源的節(jié)點：Pgi=0；Qgi=0。在系統(tǒng)運行和安全控制的計算中同樣適用PV節(jié)點的Q應(yīng)按此條件進行檢驗3牛頓－拉夫遜法

牛頓－拉夫遜法是目前求解潮流方程最成功的一種方法，它不僅在多數(shù)情況下沒有發(fā)散的危險，而且較前兩種方法收斂得快，因而可以大大地節(jié)省計算時間。牛頓－拉夫遜法的實質(zhì)是將非線性方程的求解過程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)線性方程的求解過程，即通常稱為逐次線性化過程。

為了便于理解牛頓法的基本概念，我們先從一維非線性方程來闡明它的定義和推導(dǎo)過程，然后將其推廣到一般n維的情形。

設(shè)一維非線性方程為：f(x)=0

我們的任務(wù)是求得x，使其滿足上述方程。

設(shè)其解的初值為x(0),這與真正的解之間肯定有誤差。若能找到這一差值

x(0)，并將其加到初值x(0)上，使其等于真正的解。

x=x(0)+x(0)

則x一定能滿足方程，即f(x)=f(x(0)+x(0))=0。下面將上式在x(0)附近展開成泰勒級數(shù)：下面要進行近似，即線性化。若x(0)與真正解較接近，則x(0)很小，那么泰勒展開式中x(0)的二次項及高次項可略去不計，即由修正方程很容易求得。但是由于修正方程是略去了高次項的簡化式，因而求得的修正量

是近似值。修正量與初始值x(0)之和不是真正解，但它已向真正解逼近了一步。即x(1)＝x(0)＋x(0)

再以x(1)作為初始值，代入修正方程求得修正量x(1)，然后再對初始值進行修正，即

x(2)＝x(1)＋x(1)x(2)比x(1)更接近于真正解。這樣繼續(xù)下去直到第k次迭代，這時修正方程式為

若x(k)是第k次迭代的近似解，可看作是近似解x(k)引起的誤差。當(dāng)

趨于0時，x(k)成為非線性方程的真正解，此時迭代終止。

這就是一維非線性方程用牛頓法解的全過程。下面用圖形說明牛頓法的幾何意義。

函數(shù)f(x)在x(k)點的一階導(dǎo)數(shù)就是x(k)點處曲線f(x)切線的斜率。牛頓法的幾何意義：選一初始值x(k)，在x(k)點作曲線f(x)的切線與橫坐標(biāo)交于x(k+1)，在x(k+1)點再作切線得到x(k+2)，以次類推。因此牛頓法也叫切線法。

從牛頓法的解算過程發(fā)現(xiàn)，如果初值選得不當(dāng)，牛頓法有可能不收斂。這是牛頓法的缺點。但在電力系統(tǒng)潮流計算時，一般變量變化不大，即求解的變量的范圍是知道的（角度不知道）。如電壓標(biāo)幺值在“1”附近，因此設(shè)初值為“1”，這就避免了牛頓法的缺陷。例：6.3.6牛頓－拉夫遜法潮流計算

關(guān)于牛頓－拉夫遜法的一般概念，前面已詳細作了介紹?，F(xiàn)在應(yīng)用它來計算電力系統(tǒng)潮流，只需把節(jié)點功率方程改變成為修正方程的形式，即可進行迭代計算。節(jié)點電壓方程：令1直角坐標(biāo)形式的修正方程式代入式中：ΔP，Δf，Δe為(n-1)×1向量，ΔQ為(m-1)×1向量，ΔU2為(n-m)×1向量；H、N為(n-1)×(n-1)矩陣，J、L為(m-1)×(n-1)矩陣；R、S為(n-m)×(n-1)矩陣修正量：2極坐標(biāo)形式的修正方程式節(jié)點電壓表示為

n-1-m個PV節(jié)點的電壓幅值平衡節(jié)點的和也是給定的

給定的：待求變量:n-1個節(jié)點的電壓相角和m個PQ節(jié)點的電壓幅值。

PQ節(jié)點或每一個PV節(jié)點都可以列寫一個有功功率不平衡方程式2極坐標(biāo)形式的修正方程式節(jié)點電壓表示為

一個PQ節(jié)點還可以再列一個無功功率不平衡方程式為一共包含了n-1+m個方程式，比直角坐標(biāo)系的方程式少了n-1-m個。式（2-29）和式（2-30），可以寫出如下的修正方程式2極坐標(biāo)形式的修正方程式H是（n-1）×（n-1）階方陣N是（n-1）×m階矩陣M是m×（n-1）階矩陣L是m×m階方陣得到雅克比矩陣元素的表達式2極坐標(biāo)形式的修正方程式當(dāng)

時當(dāng)i=j時從以上表達式不難得出雅可比矩陣有以下特點：2極坐標(biāo)形式的修正方程式（1）直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)形式修正方程式的數(shù)目分別為2（n-1）及n-1+m個，極坐標(biāo)形式的方程式少了n-1-m（PV節(jié)點數(shù)）個。在PV節(jié)點所占比例不大時，兩者的方程式數(shù)目基本接近2（n-1）個。（2）雅可比矩陣中的各元素都是節(jié)點電壓的函數(shù)，因此在迭代過程中，它們將隨各節(jié)點電壓的變化而不斷改變；（3）雅可比矩陣是非常稀疏的矩陣；

若Yij=Gij+jBij=0（節(jié)點i與j無直接聯(lián)系），則其對應(yīng)元素Hij,Nij,Jij,Lij也為零。因此矩陣是非常稀疏的。修正方程的求解同樣可以應(yīng)用稀疏矩陣的求解技巧。正是由于這一點才使牛－拉法獲得廣泛的應(yīng)用。（4）雅可比矩陣是不對稱的；（5）雅可比矩陣與導(dǎo)納矩陣有相同的結(jié)構(gòu)（從稀疏性方面）；---節(jié)點導(dǎo)納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅克比矩陣在位置上對稱。

三．修正方程式的處理和求解1.修正方程式的處理技巧20世紀50年代末牛頓法潮流的雛形迭代法求解修正方程式迭代法本身不收斂的問題高斯消去法等直接法求解修正方程式的數(shù)目在2(n-1)左右增加N倍存儲雅可比矩陣的內(nèi)存量將正比于N2倍計算量將正比于N3倍地增長雅可比矩陣高度稀疏的特點著名的最優(yōu)順序消去法20世紀60年代中期以后被普遍采用實用的牛頓法潮流程序主要有以下3個方面的特點：(1)“壓縮”存儲。對于稀疏矩陣，在計算機中以“壓縮’’方式只儲存其非零元素，且只有非零元素才參加運算。(2)修正方程式的求解采取邊形成、邊消元、邊存儲的方式。(3)節(jié)點編號優(yōu)化(消元的最優(yōu)順序)。經(jīng)過消元運算得到的上三角矩陣一般仍是稀疏矩陣，但由于消元過程中在原來是零元素的位置上有新元素注入，使得它的稀疏度比原來雅可比矩陣的上三角有所降低。三．修正方程式的處理和求解1.修正方程式的處理技巧節(jié)點編號優(yōu)化通常有3種方法。1)靜態(tài)法--按各節(jié)點靜態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；2)半動態(tài)法--按各節(jié)點動態(tài)連接支路數(shù)的多少順序編號；3)動態(tài)法--按各節(jié)點動態(tài)增加支路數(shù)的多少順序編號。3種節(jié)點編號優(yōu)化方法，動態(tài)法效果最好，但優(yōu)化本身所需計算量也最多，而靜態(tài)法則反之。對于牛頓法潮流計算來說，一般采用半動態(tài)法。三．修正方程式的處理和求解1.修正方程式的處理技巧步驟：(1)、形成導(dǎo)納矩陣；(2)、設(shè)置各節(jié)點電壓初始值(3)、代入功率與電壓方程求出各節(jié)點功率與電壓的偏移量(4)、求雅可比矩陣各元素；(5)、求出各節(jié)點電壓的修正量(6)、求新的電壓初始值三．修正方程式的處理和求解2．牛頓法的求解過程(7)、用新的初始值代入，重新計算各節(jié)點功率和電壓偏移量(8)、判斷計算是否收斂？若不收斂返回到（4）重新迭代，若 收斂，轉(zhuǎn)（9）(9)、計算線路功率以及平衡節(jié)點功率，打印結(jié)果。在進行第k+1次迭代時，其計算步驟如下(以直角坐標(biāo)形式為例)。(1)根據(jù)第k次迭代算出的節(jié)點電壓值(當(dāng)k=0時即為給定的初值)計算各類節(jié)點的不平衡量(2)按條件式(2-21)校驗收斂，即如果收斂，迭代到此結(jié)束，轉(zhuǎn)入計算線路潮流和平衡節(jié)點的功率，并輸出計算結(jié)果；不收斂則繼續(xù)第(3)步計算。(3)利用式(2-27)和式(2-28)計算雅可比矩陣元素。(4)解修正方程式(2-26)，求節(jié)點電壓的修正量(5)修正各節(jié)點電壓(6)迭代次數(shù)加1，返回第(1)步繼續(xù)迭代過程。四、牛頓潮流算法的性能分析牛頓潮流算法突出的優(yōu)點是收斂速度快，若初值選擇較好，算法將具有平方收斂特性，一般迭代4～5次便可以收斂到一個非常精確的解，而且其迭代次數(shù)與所計算的網(wǎng)絡(luò)規(guī)?；緹o關(guān)。牛頓法的可靠收斂取決于有一個良好的啟動初值，如果初值選擇不當(dāng)，算法有可能根本不收斂或收斂到一個無法運行的解點上。對于正常運行的系統(tǒng)，各節(jié)點電壓一般均在額定值附近，偏移不會太大，并且各節(jié)點問的相角差也不大【例6-4】系統(tǒng)中各元件參數(shù)與例6-3相同（但節(jié)點按照PQ節(jié)點、PV節(jié)點、平衡節(jié)點的次序進行編號，以便于與公式相對應(yīng)，故節(jié)點的編號與例6-3不同）。取節(jié)點1為PQ節(jié)點（聯(lián)絡(luò)節(jié)點），節(jié)點2為PQ節(jié)點，節(jié)點3為PV節(jié)點，節(jié)點4為平衡節(jié)點。試用直角坐標(biāo)形式的牛頓拉夫遜法計算系統(tǒng)的潮流分布。【解】計算導(dǎo)納矩陣。對應(yīng)于圖中的節(jié)點編號，導(dǎo)納矩陣為（2）給定節(jié)點電壓初值(3)置，計算功率不平衡量(4)形成修正方程式。雅可比矩陣的形式為經(jīng)計算得修正方程式為(5)求解修正方程，得(6)進行修正，得(7)置,用，，，，，代替，，，，，進行迭代，得修正方程式對修正方程進行求解并進行修正后，得（8）繼續(xù)迭代。經(jīng)4次迭代后收斂，允許誤差為。

電壓最終結(jié)果轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式，最終潮流分布見下圖。第四節(jié)P-Q分解法潮流計算

一、P-Q分解法的基本原理

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的日益擴大以及在線計算要求的提出，為了改進牛頓法在內(nèi)存占用量及計算速度方面的不足，人們開始注意到電力系統(tǒng)有功及無功潮流間僅存在較弱聯(lián)系的這一固有物理特性，于是產(chǎn)生了一類具有有功、無功解耦迭代計算特點的算法，即P-Q分解法。P-Q分解法是從極坐標(biāo)形式的牛頓潮流算法基礎(chǔ)上簡化而來的，下面分析其簡化過程。

極坐標(biāo)形式的牛頓潮流算法的修正方程為[見式(2-31)]

在交流高壓電網(wǎng)中，輸電線路等元件的電抗要比電阻大得多，因此電力系統(tǒng)呈現(xiàn)了這樣的物理特性，即有功功率的變化主要取決于電壓相角的變化，而無功功率的變化則主要取決于電壓幅值的變化。這個特性反映在修正方程式雅可比矩陣的元素上，是N及M兩個子塊元素的數(shù)值相對于H和L兩個子塊的元素要小得多。作為簡化的第一步，可以將N及M略去不計，于是得到如下兩個已經(jīng)解耦的方程組

這一簡化將原來n-1+m階的方程式(2-36)分解為一個n-1階和一個m階的方程，大大節(jié)省了內(nèi)存需求量和求解時間，但是矩陣H和L的元素仍然是節(jié)點電壓的函數(shù)且不對稱。

算法最關(guān)鍵的一步簡化就在于把系數(shù)矩陣H和L簡化成常數(shù)對稱矩陣。其根據(jù)如下：(1)一般情況下，線路兩端電壓的相角差不大(不超過10o～20o)，因此可以認為(2)與系統(tǒng)各節(jié)點無功功率相對應(yīng)的導(dǎo)納

通常遠小于該節(jié)點自導(dǎo)納的虛部

。即

計及式(2-39)和式(2-40)的關(guān)系，矩陣H和L各元素的表達式可簡化成于是系數(shù)矩陣H和L可表示成式中：v是由各節(jié)點電壓幅值組成的對角陣。由于PV節(jié)點的存在，

及

的階數(shù)不同，分別為n-1階和m階。

將式(2-43)代人式(2-37)、式(2-38)并加以整理，可得P-Q分解法的修正方程式為通過這一步簡化，修正方程式中的系數(shù)矩陣

及

由節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，從而是常數(shù)對稱矩陣。其區(qū)別只是階數(shù)不同，矩陣

為n-1階，不含平衡節(jié)點對應(yīng)行和列，矩陣

為m階，不含平衡節(jié)點和PV節(jié)點所對應(yīng)的行和列。但在實際P-Q分解法程序中，為了提高收斂速度，

對

及

的構(gòu)成作了下面一些修改：(1)在

中盡量去掉那些對有功功率及電壓相角影響較小的因素，如略去變壓器非標(biāo)準電壓比和輸電線路充電電容的影響；在

中盡量去掉那些對無功功率及電壓幅值影響較小的因素，如略去輸電線路電阻的影響。(2)為了減少在迭代過程中無功功率及節(jié)點電壓幅值對有功迭代的影響，將式(2-44)右端V的各元素均置為標(biāo)幺值1.0，也即令V為單位矩陣。(3)當(dāng)潮流程序要求考慮負荷靜態(tài)特性時，

中對角元素除導(dǎo)納矩陣對角元素的虛部以外，還要附加反映負荷靜態(tài)特性的部分，而

中各元素和潮流程序是否考慮負荷靜態(tài)特性無關(guān)(見第五節(jié))。

于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可寫成

。

其中

及

的非對角元素和對角元素分別按下式計算式中：Rij和Xij分別為支路i-j的電阻和電抗；bi0為節(jié)點i的接地支路的電納。

按式(2-48)和式(2-49)形成

及

的P-Q分解法通常稱為BX法，如果在形成

時不計元件電阻，僅用其電抗值(X)，而在形成

時采用精確的電納值(B)，則得到另一種算法，稱為XB法。這兩種方法的修正方程式雖然不同，但都具有良好的收斂特性。二、P-Q分解法的特點和性能分析1．P-Q分解法修正方程式的特點P-Q分解法與牛頓法潮流程序的主要差別表現(xiàn)在它們的修正方程式上。P-Q分解法的修正方程式(2-44)和式(2-45)與牛頓法修正方程式(2-36)相比，有以下3個特點：(1)用一個n-1階和一個m階的線性方程組代替了牛頓法的n-1+m階線性方程組，顯著地減少了內(nèi)存需求量及計算量。(2)系數(shù)矩陣

及

為常數(shù)矩陣。因此，不必像牛頓法那樣每次迭代都要形成雅可比矩陣并進行三角分解，只需要在進入迭代過程以前一次形成雅可比矩陣并進行三角分解形成因子表，然后反復(fù)利用因子表對不同的常數(shù)項△P／V或△Q／V進行消去回代運算，就可以迅速求得修正量，從而顯著提高了迭代速度。(3)系數(shù)矩陣

及

鍵對稱矩陣。因此，只需要形成并貯存因子表的上三角或下三角部分，這樣又減少了三角分解的計算量并節(jié)約了內(nèi)存。

由于上述特點，P-Q分解法所需的內(nèi)存量約為牛頓法的60％，而每次迭代所需時間約為牛頓法的1／5。2．P-Q分解法的收斂特性P-Q分解法所采取的一系列簡化假定只影響了修正方程式的結(jié)構(gòu)，也就是說只影響了迭代過程，并不影響最終結(jié)果。因為P-Q分解法和牛頓法都采用相同的數(shù)學(xué)模型式(2-10)，最后計算功率誤差和判斷收斂條件都是嚴格按照精確公式進行的，所以P-Q分解法和牛頓法一樣可以達到很高的精度。P-Q分解法改變了牛頓法迭代公式的結(jié)構(gòu)，就改變了迭代過程的收斂特性。事實上，以一個不變的系數(shù)矩陣進行非線性方程組的迭代求解，在數(shù)學(xué)上屬于“等斜率法”，其迭代過程是按幾何級數(shù)收斂的，若畫在對數(shù)坐標(biāo)系上，這種收斂特性基本上接近一條直線。而牛頓法是按平方收斂的，在對數(shù)坐標(biāo)紙上基本上是一條拋物線，如圖2-3所示。

由圖2-3可以看出，牛頓法在開始時收斂得比較慢，當(dāng)收斂到一定程度后，它的收斂速度就非?？欤鳳-Q分解法幾乎是按同一速度收斂的。如果給出的收斂條件小于圖中A點相應(yīng)的誤差，那么P-Q分解法所需要的迭代次數(shù)要比牛頓法多幾次?？梢源致缘卣J為P-Q分解法的迭代次數(shù)與精度的要求之間存在著線性關(guān)系。

表2-1給出了對IEEE的幾個標(biāo)準測試系統(tǒng)進行潮流計算的收斂情況。大量計算表明，BX法與XB法在收斂性方面沒有顯著差別，這兩種算法均有很好的收斂性，凡是牛頓法可以收斂的潮流問題，它們也可以收斂。

雖然P-Q分解法比牛頓法所需的迭代次數(shù)要多，但每次迭代的計算量卻要小很多。因此P-Q分解法的計算速度比牛頓法有明顯提高。例如，對IEEE118節(jié)點電力系統(tǒng)而言，用P-Q分解法計算一次潮流需要的CPU時間大約為0.01s，而用牛頓法則需0.1s。目前P-Q分解法不僅大量地用在規(guī)劃設(shè)計等離線計算的場合，也已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在安全分析等在線計算中，它是目前計算速度最快的交流潮流算法。P-Q分解法的程序原理框圖P-Q分解法潮流計算的原理框圖如圖2-4所示。圖中，KP、KQ分別為有功和無功迭代收斂標(biāo)志。當(dāng)有功功率迭代收斂時KP=0，不收斂時KP=1；當(dāng)無功功率迭代收斂時KQ=0，不收斂時KQ=1。

ε為收斂精度。max|ΔPi(k)|和

max|ΔQi(k)|分別為第k次迭代的最大有功功率誤差和無功功率誤差絕對值。4．元件R／X大比值的病態(tài)問題

由于P-Q分解法修正方程式是建立在元件RX以及線路兩端電壓相角差比較小等簡化假設(shè)基礎(chǔ)之上的，因此，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不符合這些簡化條件時，就會影響它的收斂性。而其中又以出現(xiàn)元件R／X大比值的機會最多，例如低電壓網(wǎng)絡(luò)、某些電纜線路、三繞組變壓器的等值電路以及通過某些等值方法所得到的等值網(wǎng)絡(luò)等均會出現(xiàn)大部分或個別支路R／X比值偏高的問題。R／X大比值病態(tài)問題已成為P-Q分解法應(yīng)用中的一個最大障礙，目前，解決這個問題的途徑主要有兩種：一種是算法方面進行改進，如文獻[28]提出的魯棒快速分解潮流算法；另一種是對R／X大比值支路的參數(shù)進行補償。下面主要介紹參數(shù)補償?shù)姆椒ā?1)串聯(lián)補償法。這種方法的原理由圖2-5是顯而易見的，其中m為增加的虛擬節(jié)點，一jXc為新增的補償電容。Xc的數(shù)值應(yīng)使i-m支路滿足(X+Xc)>>R的條件。這種方法的缺點是如果原來支路的R／X比值非常大，從而使Xc的值選得過大時，新增節(jié)點m的電壓值有可能偏離節(jié)點i及節(jié)點j的電壓很多，從而這種不正常的電壓本身將導(dǎo)致潮流計算收斂緩慢，甚至不能收斂。(2)并聯(lián)補償法。如圖2-6所示，經(jīng)過補償?shù)闹穒-j的等值導(dǎo)納為

即仍等于原來支路i-j的導(dǎo)納值。

并聯(lián)補償新增節(jié)點m的電壓

不論Bf的取值大小都始終介于支路i-j兩端點的電壓之間，不會產(chǎn)生病態(tài)的電壓現(xiàn)象，從而克服了串聯(lián)補償法的缺點。前已提到，在構(gòu)成快速解耦法B’的元素時應(yīng)不計串聯(lián)元件的電阻(R)，僅用其電抗值(X)，而在形成B”的元素時則仍用精確的電納值(B),稱為XB方案。與此相對應(yīng)，組成快速解耦法應(yīng)該還有BX方案，BB方案和XX方案。在不同的試驗網(wǎng)絡(luò)上所進行的大量計算實踐表明，這些方案在處理大R／X比值問題上的能力以BB方案最差，XX方案稍好，但不如XB及BX方案。后兩種方案在計算一些IEEE典型試驗網(wǎng)絡(luò)時所需的迭代次數(shù)，如表1-1所示。BX方案占有明顯的優(yōu)勢。為了解決大R／X比值病態(tài)問題，以上所述對元件參數(shù)補償以及對算法進行改進二種途徑各有利弊。使用補償法要增加一個節(jié)點，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中大R／X比值的元件數(shù)很多時將使計算網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)增加很多。而采用改進算法就不存在這個問題。但目前已提出的一些改進算法并沒有做到完全免除對元件R／X比值的敏感性。當(dāng)某個元件的R／X比值特別高時，這些算法所需的迭代次數(shù)仍將急劇上升或甚至發(fā)散。這種情況下對這些元件采用補償方法可能是一種好的選擇。第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮由于各節(jié)點負荷的組成成分及特性千差萬別，要精確地寫出各節(jié)點負荷的負荷--電壓特性表達式是困難的，因此，在潮流程序中考慮負荷靜特性時，一般采用把負荷功率當(dāng)作該點電壓的線性函數(shù)和非線性函數(shù)兩種方法，現(xiàn)分別敘述如下。（1）把負荷功率當(dāng)作該點電壓的線性函數(shù)，即把各節(jié)點負荷的變化量看作與相應(yīng)節(jié)點電壓的增量成比例，如式(2-51)所示.第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮因此，在潮流計算中，各節(jié)點在時刻t應(yīng)維持的負荷功率應(yīng)不斷按下式進行計算第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮其余元素的表達式與第三節(jié)講述的完全一樣。第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮一般可以近似認為這就是Q～V迭代時，修正方程式系數(shù)矩陣中與負荷節(jié)點有關(guān)的對角元素的表達式，系數(shù)矩陣中其他元素不變。

由以上討論可知，當(dāng)在牛頓法或P-Q分解法潮流程序中考慮負荷靜特性時，不僅要按式(2-53)計算功率誤差，而且修正方程式系數(shù)矩陣中有關(guān)元素也應(yīng)分別按照式(2-54)、式(2-55)或式(2-57)進行計算。計算經(jīng)驗表明，考慮負荷靜特性有助于提高整個潮流計算的收斂性。第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮(2)把負荷功率當(dāng)作該點電壓的非線性函數(shù)。一般把負荷功率用電壓的二次多項式來表示，如式(2-58)所示這種負荷靜特性的表示方法實際上相當(dāng)于把系統(tǒng)各節(jié)點的負荷看成由恒定阻抗、恒定電流及恒定功率3部分組成，它比第一種方法更能在較大的電壓波動范圍內(nèi)精確地描述負荷特性，不僅可用于潮流計算，也廣泛地應(yīng)用于電力糸統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定及靜態(tài)穩(wěn)定計算甲。第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮對于牛頓法和P-Q分解法來說，當(dāng)考慮負荷靜特性時顯然應(yīng)按照下式計算各節(jié)點功率誤差雅可比矩陣中有關(guān)元素的表達式應(yīng)改為第五節(jié)潮流計算中負荷靜態(tài)特性的考慮如果在上述負荷模型中去掉恒定電流部分，負荷靜特性可以表示為于是考慮負荷靜特性的程序可以得到簡化，計算速度也可以提高。因為在這種情況下，在形成阻抗矩陣或?qū)Ъ{矩陣時，可以把負荷的恒定阻抗部分以接地支路的形式并入電網(wǎng)之中，從而使程序可以只考慮負荷的恒定功率部分，這樣和原來不考慮負荷靜特性的程序就沒有什么區(qū)別了。

設(shè)將潮流計算問題概括為求解如下的非線性代數(shù)方程組

fi(x)=gi(x)-bi=0(i=1,2,…,n)或

f(x)=0式中：x為待求變量組成的n維向量，x=[x1,x2,…,xn]Tbi為給定的常量可以構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)為一.非線性規(guī)劃潮流算法的數(shù)學(xué)模型第六節(jié)保留非線性潮流算法牛頓法求解非線性潮流方程時采用了逐次線性化的方法。70年代后期，人們開始研究這樣的問題，即如果采用更加精確的數(shù)學(xué)模型，將泰勒級數(shù)的高階項或非線性項也考慮進來，也許會進一步提高算法的收斂性能及計算速度，于是便產(chǎn)生了一類稱之為保留非線性的潮流算法。又因為其中大部算法主要包括了泰勒級數(shù)的前三項即取到泰勒級數(shù)的二階項，所以也稱為二階潮流算法，實現(xiàn)這種想法的第一個嘗試是在極坐標(biāo)形式的牛頓法修正方程式中增加了泰勒級數(shù)的二階項，所得到的算法對收斂性能略有改善，但計算速度無顯著提高。后來，參考文獻（巖本伸一及田村康男）根據(jù)直角坐標(biāo)形式的潮流方程是一個二次代數(shù)方程組的這一特點，提出了采用直角坐標(biāo)的保留非線性快速潮流算法，在速度上比牛頓法有較多的提高，引起了廣泛的重視。在此以后，又出現(xiàn)了一些計入非線性的其它潮流算法。這些算法除了作為常規(guī)的潮流計算工具之外，也已經(jīng)在狀態(tài)估計、最優(yōu)潮流等其它計算中得到應(yīng)用。一、保留非線性快速潮流算法采用直角坐標(biāo)形式的潮流方程為該潮流問題實際上就是求解一個不含變量一次項的二次代數(shù)方程組。對這樣的方程組用泰勒級數(shù)展開，則二階項系數(shù)已是常數(shù)，沒有二階以上的高階項，所以泰勒級數(shù)只要取三項就能夠得到一個沒有截斷誤差的精確展開式。因此從理論上，假若能夠從這個展開式設(shè)法求得變量的修正量，并將它對估計初值加以修正，則只要一步就可求得方程組的解。而牛頓法由于線性近似，略去了高階項，因此用每次迭代所求得的修正量對上一次的估計值加以改進后;僅是向真值接近了一步而已。（一）數(shù)學(xué)模型表達我們先定義為n

維函數(shù)給定值相量x為n

維未知變量相量一個具有n個變量的齊次二次代數(shù)方程式的普遍形式為:2-65于是潮流方程組就可以寫成如下的矩陣形式或式中系數(shù)矩陣為對上式在初值x（0）附近展開，可得到如下沒有截斷誤差的精確展開式于是與上式對應(yīng)的精確的泰勒展開式為2-70式中為修正量相量H是一個常數(shù)矩陣，其階數(shù)很高，但高度稀疏。注意若式(2-70)中略去第三項，就成為通常的牛頓法的展開式。證明如下=式(2-75)的第二項和第三項之和。所以式(2-75)的第二項加上第三項就和式(2-70)的第二項相等。=研究表明可以進一步將式(2-70)改寫為上式的推出促成了本算法的突破，因為可以非常方便地計算二階項。值得順便指出的是，該式是一個很重要的關(guān)系式，在研究其它算法時將多次引用。（二）數(shù)值計算迭代公式上式是一個以作為變量的二次代數(shù)方程組，從一定的初值x（0）出發(fā)，求解滿足該式的仍然要采用迭代的方法。上式可改寫成：于是算法的具體迭代公式為：k表示迭代次數(shù)；J為按x=x(0)估計得到；在進行第一次迭代時，k=0,令，于是和牛頓法的第一次迭代計算完全相同。算法的收斂判據(jù)為算法的收斂判據(jù)為也可以采用相繼二次迭代的二階項之差，作為收斂判據(jù)，即(四)算法特點及性能估計保留非線性快速潮流算法的特點可以通過和牛頓法進行比較而得以揭示。設(shè)求解的方程是，則牛頓法的迭代公式是此算法的迭代公式是圖2-8表示了兩種算法的迭代過程。由兩組公式可見，與牛頓法的在迭代過程中變化的雅可比矩陣不同，保留非線性快速潮流算法采用的是用初值x（0）計算而得的恒定雅可比矩陣，整個計算過程只需一次形成，并三角分解構(gòu)成因子表。就每一次迭代所需的計算量而言，牛頓法要重新計算y(x(k))，而保留非線性快速潮流算法則要計算y(△x(k))，由于計算函數(shù)式完全相同，僅變量不同、所以這部分的計算量是完全相同的，但由于保留非線性快速潮流算法不需重新形成雅可比矩陣并三角分解，所以每次迭代所需時間可以大大節(jié)省。兩種算法的△x的含義是不同的。牛頓法的△x(k)是相對于上一次迭代所得到的迭代點x(k)的修正量；而保留非線性快速潮流算法的△x(k)則是相對于始終不變的初始估計值x(0)的修正量。圖2-8中AA1：對應(yīng)于y(x(0))-ys)，A1A2、A1A3、…、A1An對應(yīng)于逐次迭代中變化著的二階項y(△x)；逐次迭代就對應(yīng)于求解一系列相似三角形，平行的斜邊說明用的是和第一次迭代同樣的恒定不變的雅可比矩陣。保留非線性快速潮流算法達到收斂所需的迭代次數(shù)比牛頓法要多，在半對數(shù)坐標(biāo)紙上收斂特性近似為一條直線。但由于每次迭代所需的計算量比牛頓法節(jié)省很多，所以總的計算速度比牛頓法可提高很多。由于不具對稱性質(zhì)的雅可比矩陣經(jīng)三角分解后，其上下三角元素都需要保存,和牛頓法的僅需保存上三角元素相比較，此算法所需的矩陣存儲量將較后者要增加35％-40％時間內(nèi)存另外，由于利用以初始值計算得到的恒定雅可比矩陣進行迭代，初始值的選擇對保留非線性快速潮流算法的收斂特性有很大影響。后來，人們還將這個算法加以推廣，使之能夠適用于任意坐標(biāo)形式的、并且對f(x)的數(shù)學(xué)性質(zhì)也沒有限制的普遍情況，推導(dǎo)出了相應(yīng)的具有更廣泛意義的通用迭代公式。(五)與定雅可比牛頓法的關(guān)系定雅可比牛頓法是經(jīng)典的牛頓法的一種簡化形式，即用恒定不變的由變量初始值計算得到的雅可比矩陣進行整個迭代過程的計算。學(xué)者證明，這類保留非線性潮流算法和定雅可比牛頓法之間有完全等同的關(guān)系。第七節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法上述討論均把LF問題歸結(jié)為求解一個非線性代數(shù)方程組，通過與電力系統(tǒng)固有物理特性相結(jié)合，提出了多種求解該方程組的有效算法。在實際計算中，對于一些病態(tài)系統(tǒng)(如重負荷系統(tǒng)、放射結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)以及具有鄰近多根運行條件的系統(tǒng)等)，卻往往會出現(xiàn)計算過程的振蕩或甚至不收斂。在這種情況下，人們往往很難判定這些現(xiàn)象出現(xiàn)的原因究竟是由于潮流算法本身不夠完善而致計算失敗，還是從一定的初值出發(fā)，在給定的條件下，從數(shù)學(xué)上講，非線性的潮流方程組本來就是無解的(或者無實數(shù)解)。60年代末，有學(xué)者相繼提出了潮流計算問題在數(shù)學(xué)上也可以表示為求某一個由潮流方程構(gòu)成的函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù))的最小值問題，并以此來代替代數(shù)方程組的直接求解。這就形成了一種采用數(shù)學(xué)規(guī)劃或最小化技術(shù)的、和前面介紹的各種算法在原理上完全不同的方法，并稱之為非線性規(guī)劃潮流算法。用這種方法計算潮流的一個顯著特點是從原理上保證了計算過程永遠不會發(fā)散。只要在給定的運行條件下，潮流問題有解，則上述的目標(biāo)函數(shù)最小值就迅速趨近于零；如果從某一個初值出發(fā)，潮流問題不存在解，則目標(biāo)函數(shù)就先是逐漸減小，但最后卻停留在某一個不為零的正值上。這便有效地解決了病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計算并為給定條件下潮流問題的有解與無解提供了一個明確的判斷途徑。

在早期提出的完全應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的LF法在內(nèi)存需要量和計算速度方面都無法和常規(guī)LF競爭。后來，學(xué)者們將數(shù)學(xué)規(guī)劃原理和常規(guī)的牛頓LF算法有機地結(jié)合起來，形成了一種新的潮流計算方法——帶有最優(yōu)乘子的牛頓算法，通常簡稱為最優(yōu)乘子法。這種算法能有效地解決病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計算問題，并已得到廣泛使用。

設(shè)將潮流計算問題概括為求解如下的非線性代數(shù)方程組

fi(x)=gi(x)-bi=0(i=1,2,…,n)或

f(x)=0式中：x為待求變量組成的n維向量，x=[x1,x2,…,xn]Tbi為給定的常量可以構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)為一.非線性規(guī)劃潮流算法的數(shù)學(xué)模型若潮流方程（非線性代數(shù)方程組）的解存在，則以平方和形式出現(xiàn)的標(biāo)量函數(shù)F(x)的最小值應(yīng)該成為零。若此最小值不能成為零時，則說明不存在能滿足原方程組的解。這樣，就把原來的解代數(shù)方程組的問題轉(zhuǎn)化為求x*=[x1*,

x2*,…,xn*]T，從而使F(x*)=min的問題。這里記能使F(x)=min的x為x*。于是，最小化方法就可以用于電力系統(tǒng)潮流問題的求解，從而可將潮流計算問題歸為如下的非線性規(guī)劃問題minF(x*)和非線性規(guī)劃的標(biāo)準形式相比，這里沒有附加的約束條件，因此在數(shù)學(xué)規(guī)劃中屬于無約束非線性規(guī)劃的范疇。若潮流方程（非線性代數(shù)方程組）的解存在，則以平方和形式出現(xiàn)的標(biāo)量函數(shù)F(x)的最小值應(yīng)該成為零。若此最小值不能成為零時，則說明不存在能滿足原方程組的解。這樣，就把原來的解代數(shù)方程組的問題轉(zhuǎn)化為求x*=[x1*,

x2*,…,xn*]T，從而使F(x*)=min的問題。這里記能使F(x)=min的x為x*。于是，最小化方法就可以用于電力系統(tǒng)潮流問題的求解，從而可將潮流計算問題歸為如下的非線性規(guī)劃問題minF(x*)和非線性規(guī)劃的標(biāo)準形式相比，這里沒有附加的約束條件，因此在數(shù)學(xué)規(guī)劃中屬于無約束非線性規(guī)劃的范疇。要求出目標(biāo)函數(shù)F(x)的極小點，按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟組成(設(shè)k為迭代次數(shù))：(1)確定一個初始估計值x(0)(2)置k=0；(3)從x(k)出發(fā)，按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的原則，確定一個搜索或?qū)?yōu)方向x(k)；二.非線性規(guī)劃潮流算法的計算過程

(4)沿著x(k)的方向確定能使目標(biāo)函數(shù)下降得最多的一個點，也就是決定移動的步長。由此得到了一個新的迭代點：

x(k+1)=x(k)+m(k)x(k)式中為步長因子，其數(shù)值的選擇應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)下降最多，用算式表示，即為

F(k+1)=F(x(k+1))

=F(x(k)+m*(k)x(k)) =minF(x(k)+m(k)x(k))這個式子的含義是當(dāng)x(k)決定以后，F(xiàn)(k+l)已是步長因子m(k)的一個一元函數(shù)。m*(k)稱為最優(yōu)步長因子，可通過求F對m的極值而得。

(5)校驗F(x(k+1))

<e

是否成立。如成立，則x(k+1)就是所要求的解；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟(3)，重復(fù)循環(huán)計算。如圖表示應(yīng)用上述步驟求目標(biāo)函數(shù)最小值的過程，這里假設(shè)變量向量是二維的，其中標(biāo)有F(k+1)＝定值的曲線族為等高線族，要求的極小點就是F(k)＝0.0的點。由上可見，為了求得問題的解，關(guān)鍵要解決兩個問題：確定第k次迭代的搜索方向x(k)

；(2)確定第k次迭代的最優(yōu)步長因子m*(k)

。利用常規(guī)牛頓潮流算法每次迭代所求出的修正量向量 x(k)=-J(x(k))-1

f(x(k))作為搜索方向，并稱之為目標(biāo)函數(shù)在x(k)處的牛頓方向。對一定的x(k)，目標(biāo)函數(shù)F(k+1)是步長因子m

(k)的一個一元函數(shù)

F(k+1)=F(x(k)+m(k)x(k))=(m(k))三.帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是如何寫出這個一元函數(shù)的解析表示式(m(k))。如果有了這樣的式子，則m*(k)可以很容易地通過下式而求得:由式(2-73)，采用直角坐標(biāo)的潮流方程的泰