生活中納什均衡例子

生活中納什均衡例子生活中納什均衡例子

首先我們先簡潔看一下納什均衡的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義：所謂納什均衡，指的是參加人的這樣一種策略組合，在該策略組合上，任何參加人單獨(dú)轉(zhuǎn)變策略都不會得到好處。換句話說，假如在一個策略組合上，當(dāng)全部其他人都不轉(zhuǎn)變策略時，沒有人會轉(zhuǎn)變自己的策略，則該策略組合就是一個納什均衡。大家可以現(xiàn)有一個簡潔的印象，結(jié)合下面的案例再回來看這個定義。

案例一、智豬博弈

豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有個踏板，每踩一下踏板，在遠(yuǎn)離踏板的豬圈的另一邊的投食口就會落下少量的食物。假如有一只豬去踩踏板，另一只豬就有機(jī)會搶先吃到另一邊落下的食物。當(dāng)小豬踩動踏板時，大豬會在小豬跑到食槽之前剛好吃光全部的食物;若是大豬踩動了踏板，則還有機(jī)會在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭吃到另一半殘羹。

那么，兩只豬各會實(shí)行什么策略?答案是：小豬將選擇"搭便車'策略，也就是舒舒適服地等在食槽邊;而大豬則為一點(diǎn)殘羹不知疲乏地奔忙于踏板和食槽之間。

緣由何在?由于，小豬踩踏板將一無所獲，不踩踏板反而能吃上食物。對小豬而言，無論大豬是否踩動踏板，不踩踏板總是好的選擇。反觀大豬，已明知小豬是不會去踩動踏板的，自己親自去踩踏板總比不踩強(qiáng)吧，所以只好親力親為了。

案例二、囚徒逆境

(1950年，數(shù)學(xué)家塔克任斯坦福高?？妥淌?，在給一些心理學(xué)家作講演時，講到兩個囚犯的故事。)

假設(shè)有兩個小偷A(chǔ)和B聯(lián)合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置于不同的兩個房間內(nèi)進(jìn)行審訊，對每一個犯罪嫌疑人，警方給出的政策是：假如一個犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了贓物，于是證據(jù)確鑿，兩人都被判有罪。

假如另一個犯罪嫌疑人也作了坦白，則兩人各被判刑8年;假如另一個犯罪嫌人沒有坦白而是抵賴，則以阻礙公務(wù)罪(因已有證據(jù)表明其有罪)再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，馬上釋放。假如兩人都抵賴，則警方因證據(jù)不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。

囚徒逆境博弈A╲B坦白抵賴

坦白-8，-80，-10

抵賴-10，0-1，-1

關(guān)于案例，明顯最好的策略是雙方都抵賴，結(jié)果是大家都只被判1年。但是由于兩人處于隔離的狀況，首先應(yīng)當(dāng)是從心理學(xué)的角度來看，當(dāng)事雙方都會懷疑對方會出賣自己以求自保、其次才是亞當(dāng)斯密的理論，假設(shè)每個人都是"理性的經(jīng)濟(jì)人'，都會從利己的目的動身進(jìn)行選擇。

這兩個人都會有這樣一個盤算過程：假如他坦白，假如我抵賴，得坐10年監(jiān)獄，假如我坦白最多才8年;假如他要是抵賴，假如我也抵賴，我就會被判一年，假如我坦白就可以被釋放，而他會坐10年牢。綜合以上幾種狀況考慮，不管他坦白與否，對我而言都是坦白了劃算。兩個人都會動這樣的腦筋，最終，兩個人都選擇了坦白，結(jié)果都被判8年刑期。

基于經(jīng)濟(jì)學(xué)中Rationalagent的前提假設(shè)，兩個囚犯符合自己利益的選擇是坦白招供，原本對雙方都有利的策略不招供從而均被判處一年就不會消失。這樣兩人都選擇坦白的策略以及因此被判8年的結(jié)局，納什均衡'首先對亞當(dāng)斯密的"看不見的手'的原理提出挑戰(zhàn)：根據(jù)斯密的理論，在市場經(jīng)濟(jì)中，每一個人都從利己的目的動身，而最終全社會達(dá)到利他的效果。但是我們可以從"納什均衡'中引出"看不見的手'原理的一個悖論：從利己目的動身，結(jié)果損人不利己，既不利己也不利他。

案例三、一般范式博弈

GOO公司和SAM公司是某手機(jī)產(chǎn)品生態(tài)的兩大重量級參加者，雙方在產(chǎn)業(yè)鏈的不同位置上各司其職且關(guān)系曖昧，有時也往往因商業(yè)利益和產(chǎn)品影響力的爭奪而各懷異心。二者的收益也隨著博弈的變化而不斷更替。

上圖表格模擬了兩家公司的博弈現(xiàn)狀，雙方各有兩個可選策略"合作'與"背叛'，格中的四組數(shù)據(jù)表示四個博弈結(jié)局的分?jǐn)?shù)(收益)，每組數(shù)據(jù)的第一個數(shù)字表示GOO公司的收益，后一個數(shù)字表示SAM公司的收益。

博弈是同時進(jìn)行的，一方參加者必需站在對方的角度上來思索我方的策略選擇，以追求收益最大化。這在博弈論里稱作Puttingyourselvesintootherpeoplesshoes。

現(xiàn)在我們以GOO公司為第一人稱視角來思索應(yīng)對SAM公司的博弈策略。假如SAM公司選擇合作，那么我方也選擇合作帶來的收益是3，而我方選擇背叛帶來的收益是5，基于理性的收益最大化考慮，我方應(yīng)當(dāng)選擇背叛，這叫嚴(yán)格優(yōu)勢策略;假如SAM公司選擇背叛，那么我方選擇合作帶來的收益是-3，而選擇背叛帶來的收益為-1，為使損失降到最低，我方應(yīng)當(dāng)選擇背叛。最終，GOO公司的分析結(jié)果是，無論SAM公司選擇合作還是背叛策略，我方都必需選擇背叛策略才能獲得最大化的收益。

同理，當(dāng)SAM公司也以嚴(yán)格優(yōu)勢策略來應(yīng)對GOO公司的策略選擇時，我們重復(fù)上述分析過程，就能得出結(jié)論：無論GOO公司選擇合作還是背叛策略，SAM公司都必需選擇背叛策略才能獲得最大化收益。

最終我們發(fā)覺，本次博弈的雙方都實(shí)行了背叛策略，各自的收益都為-1，這是一個比較糟糕的結(jié)局，盡管對任何一方來說都不是最糟糕的那種。這種局面就是聞名的"囚徒逆境'。

但是，博弈的次數(shù)往往不止一次，就像COO與SAM公司雙方的商業(yè)往來或許會有許多機(jī)會。當(dāng)二者經(jīng)受了多次背叛策略的博弈之后，發(fā)覺公式上還有一個(3，3)收益的雙贏局面，這比(-1，-1)的收益結(jié)果明顯要好許多，因此二者在之后的博弈過程中必定會嘗試互建相信，從而驅(qū)使雙方都選擇合作策略。

這里有一個抱負(fù)化假設(shè)，那就是假設(shè)雙方都知道博弈次數(shù)是無限的話，也就是說雙方的商業(yè)往來是無止盡的，那么二者的策略都將持續(xù)選擇合作，最終的博弈收益將定格在(3，3)，這就是一個納什均衡。既然博弈次數(shù)是無限的，那么任何一方都沒有理由選擇背叛策略去冒險追求5點(diǎn)短暫收益，而招致對方在下一輪博弈中的報(bào)復(fù)(這種報(bào)復(fù)在博弈論里稱作"以牙還牙'策略)。

還有另一種假設(shè)狀況是，假使雙方都知道博弈次數(shù)是有限的，或許下一次博弈就是最終一次，那么為了避開對方在最終一輪博弈中選擇背叛策略而使我方遭受-3的收益損失，于是雙方都重新實(shí)行了背叛的策略選擇，最終的博弈結(jié)果又回到了(-1，-1)，這就形成了其次個納什均衡。

由此可見，隨著次數(shù)(博弈性質(zhì))的變化，納什均衡點(diǎn)也并非唯一，這在下一個例子中有著更明顯的表現(xiàn)。

案例四、餓獅博弈

題設(shè)為A、B、C、D、E、F六只獅子(強(qiáng)弱從左到右依次排序)和一只綿羊。假設(shè)獅子A吃掉綿羊后就會打盹午睡，這時比A稍弱的獅子B就會趁機(jī)吃掉獅子A，接著B也會午睡，然后獅子C就會吃掉獅子B，以此類推。那么問題來了，獅子A敢不敢吃綿羊?

為簡化說明，我們先給出此題的解法。該題須采納逆向分析法，也就是從最弱的獅子F開頭分析，依次前推。假設(shè)獅子E睡著了，獅子F敢不敢吃掉獅子E?答案是確定的，由于在獅子F的后面已沒有其它獅子，所以獅子F可以放心地吃掉午睡中的獅子E。

連續(xù)前推，既然獅子E睡著會被獅子F吃掉，那么獅子E必定不敢吃在他前面睡著的獅子D。

再往前推，既然獅子E不敢吃掉獅子D，那么D則可以放心去吃午睡中的獅子C。依次前推，得出C不吃，B吃，A不吃。所以答案是獅子A不敢吃掉綿羊。

細(xì)心的人或許會發(fā)覺，假如增加或削減獅子的總數(shù)，博弈的結(jié)果會完全不同。我們用下圖來驗(yàn)證：

我們在獅子F的后面增加了一只獅子G，總數(shù)變成7只。用逆向分析法根據(jù)上題步驟再推一次，很簡單得出結(jié)論：獅子G吃，獅子F不吃，E吃，D不吃，C吃，B不吃，A吃。這次的答案變成了獅子A敢吃掉綿羊。

對比兩次博弈我們發(fā)覺，獅子A敢不敢吃綿羊取決于獅子總數(shù)的奇偶性，總數(shù)為奇數(shù)時，A敢吃掉綿羊;總數(shù)為偶數(shù)時，A則不敢吃。因此，總數(shù)為奇數(shù)和總數(shù)為偶數(shù)的獅群博弈結(jié)果形成了兩個穩(wěn)定的納什均衡點(diǎn)。

案例五、硬幣正反

你正在圖書館枯坐，一位生疏美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩?zhèn)€數(shù)學(xué)嬉戲。美女提議："讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。假如我們都是正面，那么我給你3元，假如我們都是反面，我給你1元，剩下的狀況你給我2元就可以了。'那么該不該和這位姑娘玩這個嬉戲呢?這基本是廢話，當(dāng)然該。問題是，這個嬉戲公正嗎?

每一種嬉戲依具其規(guī)章的不同會存在兩種納什均衡，一種是純策略納什均衡，也就是說玩家都能夠?qū)嵭泄潭ǖ牟呗?比如始終出正面或者始終出反面)，使得每人都賺得最多或虧得最少;或者是混合策略納什均衡，而在這個嬉戲中，便應(yīng)當(dāng)采納混合策略納什均衡。

你\美女美女出正面美女出反面

你出正面+3，-3-2，+2

你出反面-2，+2+1，-1

假設(shè)我們出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。為了使利益最大化，應(yīng)當(dāng)在對手出正面或反面的時候我們的收益都相等，由此列出方程就是

3x+(-2)*(1-x)=(-2)*x+1*(1-x)解方程得x=3/8。

同樣，美女的收益，列方程

-3y+2(1-y)=2y+(-1)*(1-y)

解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益則是2(1-y)-3y=1/8元。這告知我們，在雙方都實(shí)行最優(yōu)策略的狀況下，平均每次美女贏1/8元。

其實(shí)只要美女實(shí)行了(3/8,5/8