理論力學(xué)2-平面匯交力系與平面力偶系1

第二章平面匯交力系和平面力偶系力系分為：平面力系(planarforcesystem)空間力系(spaceforcesystem)

①匯交力系(planarconcurrentforcesystem)平面力系②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情況)(planarparallelforcesystem)③一般力系(平面任意力系)(planargeneralforcesystem)

①匯交力系空間力系②平行力系(空間力偶系是其中的特殊情況)③一般力系(空間任意力系)〔1〕匯交力系：平面匯交力系空間匯交力系平面力偶系空間力偶系作用在物體上的一群力偶稱為力偶系〔2〕力偶系：〔3〕平行力系：作用在物體上的一各力作用線互相平行，稱為平行力系。平面平行力系〔4〕任意力系：人字形閘門模型及其受力圖〔4〕任意力系：重力壩及斷面及受力圖2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系與平面力偶系是兩種簡單力系，是研究復(fù)雜力系的根底，本章開始將分別研究兩種力系的合成與平衡問題。A三角形abc稱為力三角形;上述作圖方法稱為力的三角形法那么.abc2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法那么2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法那么F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。用力多邊形求合力的作圖規(guī)那么稱為力的多邊形法那么。力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法那么結(jié)論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。

用矢量式表示為：如果一力與某一力系等效，那么此力稱為該力系的合力。假設(shè)力系的各力作用線相同，那么該力系為共線力系。其力的多邊形實(shí)際為一直線段，合力的作用線于力系中各力的作用線相同，可將各力作為代數(shù)量

在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：壓路機(jī)碾子重FP=20kN,R=60cm,欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。①選碾子為研究對象②取別離體畫受力圖解：

∵當(dāng)碾子剛離地面時FNA=0,拉力F最大,這時拉力F和自重及支反力FNB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故

例2-1FPRFhBAFPFFBFAO由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。F=11.5kN,FNB=23.1kN所以又由幾何關(guān)系：

例2-12.2平面匯交力系合成與平衡的解析法2.2.1力在坐標(biāo)軸上的投影FxyXYabO即力在某軸上的投影，等于力的大小乘以力與投影軸正向間夾角的余弦。力在坐標(biāo)軸上的投影和力沿坐標(biāo)軸的分力的關(guān)系假設(shè)X、Y表示力F在各坐標(biāo)軸上的投影，那么明顯有：通常，我們將一個力分解為相互垂直的兩個力，2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法※力的投影是代數(shù)量，而分力是矢量；并且在非直角坐標(biāo)系中不一定成立。

※力的投影無所謂作用點(diǎn)，而分力必須作用在原力的作用點(diǎn)。力在坐標(biāo)軸上的投影和力沿坐標(biāo)軸的分力的關(guān)系2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法2.2.3力的正交分解與力的解析表達(dá)式FFxFyxyijO2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為：合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。即：2.2.4合力投影定理2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法2.2.4合力投影定理

平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各個分力在同一軸上投影的代數(shù)和。2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法力的解析表達(dá)式力在直角坐標(biāo)軸上的投影投影力的大小和方向?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中此式即為力的解析表達(dá)式。2.2.5平面匯交力系合成的解析法合力的大?。悍较颍?/p>

作用點(diǎn)：為該力系的匯交點(diǎn)2.2.6平面匯交力系的平衡方程

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。

應(yīng)用平衡方程時應(yīng)注意：1.兩個方程，一般只能求解兩個未知量2.所選投影軸不一定正交，但不能平行3.為求解方便，未知力應(yīng)盡可能與投影軸垂直或平行4.共線力系，平衡方程只有一個，只能求解一個未知量：FP=20kN，R=0.6m,h=0.08m,求：1、欲將碾子拉過障礙物，水平拉力F至少多大？2、F沿什么方向拉動碾子最省力，此時力F多大？

例2-2【解】FPRFhABO取碾子為研究對象，畫其受力圖(b)。(a)FPFFAFBO(b)利用上述平衡方程求得：1、碾子拉過障礙物，應(yīng)有，如圖(c)建立坐標(biāo)系，列投影方程

例2-2【解】FPFFAO(c)θ2、求最小力Fmin設(shè)此時力F與水平線夾角為，建立圖〔d〕所示坐標(biāo)系。顯然，當(dāng)α=θ時，有

例2-2【解】FPFFAO(d)θxP=2kN求SCD,RA解:

1.取AB桿為研究對象2.畫AB的受力圖3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：4.解方程

例2-3

例2-4【解】

重物A質(zhì)量m=10kg,懸掛在支架鉸接點(diǎn)B處，A、C為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時，AB、BC桿的內(nèi)力。（a）y（b）x取銷釘B為研究對象，畫其受力圖(b)。

例2-4【解】聯(lián)立上述兩方程，解得：=88，=71.8。取銷釘B為研究對象，畫其受力圖(b)。列平衡方程yx（b）求圖示平面剛架的支反力。解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。由幾何關(guān)系，解得

例2-5用AB桿在輪心鉸接的兩均質(zhì)圓輪A、B，分別放在兩個相交的光滑斜面上，如下圖。不計(jì)AB桿的自重，求：〔1〕設(shè)兩輪重量相等，求平衡時的α角；〔2〕A輪重GA，平衡時，欲使α=00的B輪的重量。AB300600

例2-6BAGAGBFABF/ABNA300NB600xy600300x/y/300300X=0GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)X/=0-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)先取A輪為研究對象，受力分析：取B輪為研究對象，受力分析：AB300600

例2-6【解】GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)

FAB=F/AB(3)由以上三式可得：〔1〕當(dāng)GB=GA時，α=300〔2〕當(dāng)α=00時，GB=GA/3

例2-6圖示吊車架，P，求各桿受力大小。1、研究對象：整體或鉸鏈AA60°2、幾何法：60°FAC=P/sin600FAB=P×ctg600

例2-7【解】3、解析法：A60°∑X=0FACcos600－FAB=0∑Y=0FACsin600－P

=0解得：FAC=P/sin600FAB=FACcos600=P×ctg600xy

例2-7ABO（B）ABO（A）結(jié)構(gòu)如下圖，主動力F，確定鉸鏈O、B約束力的方向〔不計(jì)構(gòu)件自重〕1、研究OA桿2、研究AB桿

例2-81、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度特殊時用幾何法〔解力三角形〕比較簡便。解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中只有一個未知數(shù)。

2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或特殊，都用解析法。5、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。4、對力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。列平衡方程取研究對象畫受力圖2.3平面力對點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算力對物體可以產(chǎn)生移動效應(yīng)--取決于力的大小、方向 轉(zhuǎn)動效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向MO(F)OhrFAB2.3.1力對點(diǎn)之矩〔力矩〕

力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)，點(diǎn)O稱為矩心，點(diǎn)O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。

力對點(diǎn)之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負(fù)。力矩的單位常用N·m或kN·m。力使剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量2.3.2合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。FFxFyxyOqxyA(1)合力矩定理(2)力矩的解析表達(dá)式支架如下圖，AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,求對A、B、C三點(diǎn)之矩。解：由定義由合力矩定理

例2-9如下圖，求F對A點(diǎn)的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理解二：由定義

例2-102.4平面力偶力偶與力偶矩2.4平面力偶

由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，記為(F,F')。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。力偶不能合成為一個力，也不能用一個力來平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個根本要素。力偶與力偶矩2.4.1力偶與力偶矩FF'dDABC

力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力偶矩來度量。平面力偶對物體的作用效應(yīng)由以下兩個因素決定：(1)力偶矩的大小；(2)力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。

平面力偶可視為代數(shù)量，以M或M(F,F')表示，平面力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗敲礊樨?fù)。力偶的單位與力矩相同。性質(zhì)1：力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個根本力學(xué)量。FF/

abcdabF2.4.2平面力偶的性質(zhì)

性質(zhì)2：力偶對其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)，因此力偶對剛體的效應(yīng)用力偶矩度量力偶矩：力與力偶臂的乘積記作M〔F，F(xiàn)/〕簡記為M2.4.2平面力偶的性質(zhì)性質(zhì)3：平面力偶等效定理作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，那么該兩個力偶彼此等效。2.4.2平面力偶的性質(zhì)推論：(1)任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用。因此，力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用。2.4.2平面力偶的性質(zhì)力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如下圖的符號表示力偶。M為力偶的矩。OFrOrM=Fr試分析圖中圓輪O的受力，比較二圖的異同。==2.4.3平面力偶系的合成作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。推廣得：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶〔稱為合力偶〕，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。2.4.4平面力偶系的平衡條件平面力偶系總可以簡化為圖示情形。假設(shè)FR=0，那么力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，假設(shè)合力偶矩等于零，那么或是FR=0或是d=0，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論：

平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：上式稱為平面力偶系的平衡方程。

圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。思考題1思考題2剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個平行四邊形，如在其四個頂點(diǎn)作用有四個力，此四力沿四個邊恰好組成封閉的力多邊形，如下圖。此剛體是否平衡？F1F3BACDF2F4思考題3PORM從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？FO長為4m

的簡支梁的兩端A、B

處作用有二個力偶其力偶矩分別為，。求A、B支座的約束反力。()

例2-11【解】。604m()AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在A、B處的約束反力也必須組成一個同平面的力偶。作AB梁的受力圖，如圖〔b〕所示。故解得得FA

、FB為正值，說明圖中所示FA

、FB的指向與實(shí)際相同?！窘狻坑善胶夥匠?)

例2-11鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABO1在圖(a)所示。：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1和O1B上的力偶M2。要使系統(tǒng)平衡，求M1/M2的比值。

例2-12〔1〕選OA為研究對象，受力圖如圖〔b〕，列平衡方程〔2〕選O1B為研究對象，受力圖如圖〔d〕，列平衡方程由以上兩式可得

M1/M2＝1/3【解】

例2-12圖示結(jié)構(gòu)，M=800N.m，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。

例2-13【解】圖示桿系，m，l。求A、B處約束力。1、研究對象二力桿：AD2、研究對象：整體思考：CB桿受力情況如何？m練習(xí)：

例2-14【解】1、研究對象二力桿：BC2、研究對象：整體mAD桿

例2-14【解】不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用，轉(zhuǎn)向如圖。問M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDM1M2

例2-15【解】取桿AB為研究對象畫受力圖。桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束，那么A處約束反力的方位可定。ABCM1FAFCMi=0FA=FC=F,AC=aaF-M1=0M1=aF

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