2021-2022學(xué)年河南省鄭州市實驗高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省鄭州市實驗高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.參考答案：C【詳解】試題分析：原函數(shù)的單調(diào)性是：當(dāng)x＜0時，增；當(dāng)x＞0時，單調(diào)性變化依次為增、減、增故當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時，f′（x）的符號變化依次為+、-、+．考點：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．2.已知圓C經(jīng)過兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是A. B.C． D．參考答案：A3.已知點A（3，-1），B（-5，-13），若直線AB與直線l:ax-2y+2=0平行，則點A到直線l的距離為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.過點P（0，1）與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條參考答案：B【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】過點P（0，1）的直線與拋物線y2=x只有一個交點，則方程組只有一解，分兩種情況討論即可：（1）當(dāng)該直線存在斜率時；（2）該直線不存在斜率時；【解答】解：（1）當(dāng)過點P（0，1）的直線存在斜率時，設(shè)其方程為：y=kx+1，由，消y得k2x2+（2k﹣1）x+1=0，①若k=0，方程為﹣x+1=0，解得x=1，此時直線與拋物線只有一個交點（1，1）；②若k≠0，令△=（2k﹣1）2﹣4k2=0，解得k=，此時直線與拋物線相切，只有一個交點；（2）當(dāng)過點P（0，1）的直線不存在斜率時，該直線方程為x=0，與拋物線相切只有一個交點；綜上，過點P（0，1）與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有3條．故選B．5.直線被橢圓所截得的弦的中點坐標(biāo)是（

）

A．(,-)

B．(-,)

C．(,-)

D．(-,

)參考答案：B略6.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知=bcosC+csinB.則B=

A

300

B

450

C

600

D

1200參考答案：B略7.已知命題：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；：曲線與軸沒有交點．如果“或”是真命題，“且”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.觀察等式：，……，由此得出以下推廣命題不正確的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略9.下面給出了四個類比推理：（1）由“若a，b，c∈R則（ab）c=a（bc）”類比推出“若a，b，c為三個向量則（?）?=?（?）”；（2）“a，b為實數(shù)，若a2+b2=0則a=b=0”類比推出“z1，z2為復(fù)數(shù)，若”；（3）“在平面內(nèi)，三角形的兩邊之和大于第三邊”類比推出“在空間中，四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”；（4）“在平面內(nèi)，過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓”類比推出“在空間中，過不在同一個平面上的四個點有且只有一個球”．上述四個推理中，結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點】F3：類比推理．【分析】逐個驗證：（1）向量要考慮方向．（2）數(shù)集有些性質(zhì)以傳遞的，但有些性質(zhì)不能傳遞，因此，要判斷類比的結(jié)果是否正確，關(guān)鍵是要在新的數(shù)集里進行論證，當(dāng)然要想證明一個結(jié)論是錯誤的，也可直接舉一個反例，（3，4）由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由圓的性質(zhì)類比推理到球的性質(zhì)．【解答】（1）由向量的運算可知為與向量共線的向量，而由向量的運算可知與向量共線的向量，方向不同，故錯誤．（2）在復(fù)數(shù)集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，則可能z1=1且z2=i．故錯誤；（3）平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；故正確．（4）由圓的性質(zhì)類比推理到球的性質(zhì)由已知“平面內(nèi)不共線的3個點確定一個圓”，我們可類比推理出空間不共面4個點確定一個球，故正確故選：B．10.“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B.必要不充分條件C．充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若橢圓上一點P到焦點F1的距離為7，則點P到F2相對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離是____；參考答案：5由橢圓的定義知,|PF1|=7,故|PF2|=3。12.已知,，則的最大值是

參考答案：

13.已知點p(x,y）在橢圓上，則的最大值為

參考答案：814.若的終邊所在直線經(jīng)過點，則__▲

_．參考答案：【知識點】三角函數(shù)定義【答案解析】解析：解：由已知得直線經(jīng)過二、四象限，若的終邊在第二象限，因為點P到原點的距離為1，則，若的終邊在第四象限，則的終邊經(jīng)過點P關(guān)于原點的對稱點，所以，綜上可知sinα=.【思路點撥】一般已知角的終邊位置求角的三角函數(shù)值通常利用三角函數(shù)的定義求值，本題應(yīng)注意所求角終邊所在的象限有兩個.15.已知函數(shù)在時有極值0，則=

，

參考答案：=2，9略16.已知函數(shù)，若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于_______．參考答案：－3略17.（5分）已知扇形OAB，點P為弧AB上異于A，B的任意一點，當(dāng)P為弧AB的中點時，S△OAP+S△OBP的值最大．現(xiàn)有半徑為R的半圓O，在圓弧MN上依次取點（異于M，N），則的最大值為

．

參考答案：=，設(shè)∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，…，．則．∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，猜想的最大值為．即?sinθ1+sinθ2+…+≤（）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，由扇形OAB，點P為弧AB上異于A，B的任意一點，當(dāng)P為弧AB的中點時，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）則當(dāng)n=k+1時，左邊=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，當(dāng)且僅當(dāng)θi=θi+1時取等號．∴左邊++…+==右邊，當(dāng)且僅當(dāng)θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）時取等號．即不等式對于?n∈N*都成立．故答案為．利用三角形的面積計算公式和數(shù)學(xué)歸納法即可得出．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù),且）的圖象過點.（1）求實數(shù)的值;（2）若函數(shù),試判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由參考答案：解（1）把的坐標(biāo)代入,得解得.（2）由（1）知,所以.此函數(shù)的定義域為R,又,所以函數(shù)為奇函數(shù)19.設(shè)平面向量.（1）若，求的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最大值，并求出相應(yīng)的x值。參考答案：（1）1；（2）5【分析】（1）由，得到，再由余弦的倍角公式，即可求解。（2）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和三角恒等變換的公式，化簡得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意知，向量，即，即，又由。（2）因為，故當(dāng)，即時，有最大值，最大值是5．【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用去，其中熟記向量的數(shù)量積的運算公式和三角恒等變換的公式求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題。20.（１）下圖將，平行四邊形，直角梯形分別繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體由哪些簡單幾何體構(gòu)成．

（２）下圖由哪些簡單幾何體構(gòu)成．

參考答案：解析：（１）圖，圓錐底面挖去了一個圓錐；圖，圓錐加圓柱挖去一個圓錐；圖，圓錐加上圓柱．

（２）明礬由２個四棱錐組成．石膏晶體由2個四棱臺組成．螺桿由正六棱柱與一個圓柱組成．21.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求曲線在點（0，f（0））處的切線方程．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，當(dāng)x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上遞減，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上遞增，當(dāng)x=﹣1時取到極大值是f（﹣1）=3，當(dāng)x=1取到極小值f（1）=﹣1．…（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，∵f（0）=1，∴曲線在點（0，f（0））處的切線方程是y﹣1=﹣3x即3x+y﹣1=0．…22.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由題設(shè)得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，那么n=k+1時，=即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設(shè)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當(dāng)a≤1時，φ′（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時取等號成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當(dāng)a≤1時，ln（1+x）≥恒成立，（僅當(dāng)x=0時等號成立）當(dāng)a＞1時，對x