帶有不同余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用

陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文PAGE第9頁共10頁畢業(yè)論文題目帶有不同余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用_學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級(jí)數(shù)教1班指導(dǎo)教師完成地點(diǎn)陜西理工學(xué)院2014年5月9日帶有不同余項(xiàng)泰勒公式的應(yīng)用柴書雅（陜西理工學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院數(shù)教101，陜西漢中723000）指導(dǎo)老師：李金龍【摘要】數(shù)學(xué)中的著名的公式都是一古典的數(shù)學(xué)問題，它們?cè)跀?shù)學(xué)，化學(xué)與物理領(lǐng)域都有很廣泛的運(yùn)用.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中公式有著重要地位，它對(duì)計(jì)算極限，斂散性的判斷，不等式的證明、中值問題及高階導(dǎo)的計(jì)算以及近似值的計(jì)算等方面都有很大的作用.在本文中，我將談到關(guān)于公式的幾種形式及進(jìn)一步的運(yùn)用。【關(guān)鍵詞】泰勒公式佩亞諾余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng)應(yīng)用1引言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容，在了解泰勒公式后我們主要是能將其應(yīng)用。首先給出幾種不同余項(xiàng)的泰勒公式，然后重點(diǎn)是根據(jù)這幾種不同泰勒公式求極限、高階導(dǎo)數(shù)、判斷斂散性、證明中值定理、證明不等式、求近似值和誤差估計(jì)、研究函數(shù)極值.2常見幾種公式2.1佩皮亞諾型余項(xiàng)的公式【2】若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，即.(2)其中是由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的一個(gè)次多項(xiàng)式，（3）稱為函數(shù)在點(diǎn)處的多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)稱為系數(shù).從上易知與其多項(xiàng)式在點(diǎn)有相同的函數(shù)值和相同的直至階導(dǎo)數(shù)值，即，.（4）2.2其次是帶有拉格朗日型余項(xiàng)的公式【2】若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，，至少存在一點(diǎn)，使得（1）2.3柯西型公式【2】若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，，使得（5）其中2.4積分型公式【2】如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x在內(nèi)時(shí),可表示為的一個(gè)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和:其中3公式的應(yīng)用：3.1求極限[1]例1求極限解：又，將用公式展開則小結(jié)：本題用洛必達(dá)法則求解比較復(fù)雜，在這里我選用的是帶有佩亞諾型的泰勒公式進(jìn)行求解。3.2求高階導(dǎo)數(shù)[3]例2設(shè)，求.分析：這道題若直接求高階導(dǎo)數(shù)比較困難，因此我們考慮在處的麥克勞林展開式.解：（10）又在處的麥克勞林展開式為（11）比較（10）（11）中的系數(shù)可得，，由展開的唯一性，并有公式的各項(xiàng)系數(shù)則可得到高階導(dǎo)數(shù)，即.小結(jié)：在高階倒數(shù)的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的對(duì)其進(jìn)行展開，再對(duì)展開的各項(xiàng)進(jìn)行最基本的導(dǎo)數(shù)求解使計(jì)算更加的簡(jiǎn)潔方便.3.3判斷斂散性例3[4]討論級(jí)數(shù)，的斂散性.解：，于是當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.例5討論無窮積分的斂散性.解：選取，因?yàn)椋蔁o窮積分的斂散性判別定理知收斂.對(duì)于公式在判斷數(shù)學(xué)積分問題中收斂性起到的作用通過以上例子有了具體的說明.數(shù)學(xué)中的斂散性根據(jù)不同的積分形式有不同的方法判斷，而公式在很多的積分都有其運(yùn)用其主要原因就是其能使得式子在經(jīng)過展開后變成簡(jiǎn)單的式子更加直觀方便的計(jì)算.3.4證明中值定理[5]例6設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo).證明存在一點(diǎn)，使得（1）證明：設(shè)存在一個(gè)常數(shù)，使得（2）這時(shí)，我們的問題歸為證明：，使得（3）令（4）則.根據(jù)定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得.即（5）這是關(guān)于k的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式：（6）其中.比較（5）（6）可得到（3）式.即得證小結(jié)：本題是對(duì)帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用，其中還應(yīng)用到了中值定理。3.5利用證明不等式3.5.1證明積分不等式[6例8、設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù)，且，，證：.證明：將在點(diǎn)展開為一階展式.小結(jié)：本題是利用了積分型泰勒公式,重點(diǎn)是將其放縮.3.5.2證明導(dǎo)數(shù)不等式[7例9、設(shè)函數(shù)在上二次可微，且，，試證存在一點(diǎn)使.分析：函數(shù)在上二次可微，且最小值，所以在內(nèi)一定存在極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，題中可知二次可微，我們可以想到展式，并且是在最小值點(diǎn)處展開.解：不妨設(shè)在為在上的最小值點(diǎn)，則，，在處的展開得：，是介于與之間的某個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即.所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.終上所述，存在一點(diǎn)使.小結(jié)：利用公式證明函數(shù)不等式步驟：(1)、構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，選一個(gè)展開點(diǎn)，然后寫出在處的帶有拉格朗日余項(xiàng)的公式；那么我們?cè)撨x擇哪個(gè)點(diǎn)處展開呢？函數(shù)在一個(gè)區(qū)間性質(zhì)常?？捎蓞^(qū)間中的一些特殊點(diǎn)來反映，如端點(diǎn)、分點(diǎn)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、拐點(diǎn)等.此外，區(qū)間中的任意點(diǎn)也是分析函數(shù)性質(zhì)不可或缺的點(diǎn)，運(yùn)用時(shí)，就是將這些點(diǎn)中導(dǎo)數(shù)信息相對(duì)較充分的點(diǎn)選作展開中心.（2）根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小，函數(shù)的界或三角形不等式對(duì)進(jìn)行放縮.3.6求近似值誤差估計(jì)[8]例10、計(jì)算的值，使其誤差不超過.解：由公式得故，當(dāng)時(shí)，便有略去求得的近似解為3.7研究函數(shù)的極值[9]例11、求函數(shù)f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的極值．解fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0，得駐點(diǎn)（1，1），（-1，-1），（0，0）.判斷：求二階偏導(dǎo)fxx(x,y)=12x2-2,fxy(x,y)=-2,fyy(x,y)=12y2-2，在點(diǎn)（1，1）處，A=fxx(1,1)=10,B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10．因B2—AC<0，且A>0，故f(1,1)=-2為極小值．類似可得f(-1,-1)=-2為極小值．在點(diǎn)（0，0）處，A=B=C=-2，B2-AC=0，此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷f(0,0)=0是否為極值．對(duì)足夠小的正數(shù)，有f(，0)=2（2-1）<0,f(，-)=24>0這說明在點(diǎn)（0，0）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0,0)的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于f(0，0)的點(diǎn)，故f(0，0)非極值.【參考文獻(xiàn)】[1]劉玉璉傅沛仁編.《數(shù)學(xué)分析講義》（第四版）P233-P234.高等教育出版社，2003年6月.[2]華東師范數(shù)學(xué)系編著.《數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）》（第四版）P137.高等教育出版社，2010年7月.[3]周運(yùn)明尚德生主編.《數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》（第一版）.科學(xué)出版社，2008年9月.[4]常庚哲，史濟(jì)懷編.《數(shù)學(xué)分析教程（上冊(cè)）》（第一版）.高等教育出版社，2003年5月.[5]B.A.卓里奇著,王昆揚(yáng)，周美珂等譯.《數(shù)學(xué)分析（第一卷）》(第四版).高等教育出版社，2006年6月.[6]胡格吉樂吐.對(duì)泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2009，12(24).[7]齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，31(z1).[8]嚴(yán)振祥，沈家驊.泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷中的應(yīng)用[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，26(4).[9]劉瑜，陳美燕，于超，馮濤.泰勒公式在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23(z1).MorethanwithdifferentapplicationsofTaylor'sFormulaShuyaChai（Grade10,Class1,MajorInmathematicsandappliedmathematics,Instituteofmathematicsandcomputerscience，ShaanxiUniversityofTechnology，Hanzhong723000，Shaanxi）”Tutor:JinlongLiAbstract:Wellknowninmathematicalformulaistheclassicalmathematicalproblems,theirapplicationisveryextensiveinmath,chemicalandphysical.Taylorformulahasanimportantpositioninmodernmathematics.Ithasabigroleintocalculatethelimit,divergencesexualjudgement,aninequation,medianproblemandapproximationcalculation.Inthisarticle,Iwilltalkaboutseveraltypesoftheformulaanditsfurtherapplication.Key:words:Taylor'sFormula;peanotype;lagrangetype;application基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號(hào)檢測(cè)儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測(cè)性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測(cè)微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測(cè)基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測(cè)量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動(dòng)低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測(cè)量?jī)x的研制基于單片機(jī)的紅外測(cè)油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測(cè)漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(jī)的低壓無功補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)船舶電力推進(jìn)電機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于單片機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)信號(hào)的采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的大容量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機(jī)的疊圖機(jī)研究與教學(xué)方法實(shí)踐基于單片機(jī)嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實(shí)現(xiàn)基于AT89S52單片機(jī)的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的多道脈沖幅度分析儀研究機(jī)器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究基于單片機(jī)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機(jī)的莫爾斯碼自動(dòng)譯碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機(jī)的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機(jī)的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機(jī)與Internet互聯(lián)的研究與實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機(jī)控制器的研究基于單片機(jī)γ-免疫計(jì)數(shù)器自動(dòng)換樣功能的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)嵌入式以太網(wǎng)防盜報(bào)警系統(tǒng)基于51單片機(jī)的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在擠壓機(jī)上的應(yīng)用MSP430單片機(jī)在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用基于單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)中TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用單片機(jī)在高樓恒壓供水系統(tǒng)中的應(yīng)用基于ATmega16單片機(jī)的流量控制器的開發(fā)基于MSP430單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)及智能網(wǎng)絡(luò)水表的設(shè)計(jì)基于MSP430單片機(jī)具有數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與回放功能的嵌入式電子血壓計(jì)的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的氨分解率檢測(cè)系統(tǒng)的研究與開發(fā)鍋爐的單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)控制的電磁振動(dòng)式播種控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)技術(shù)的WDR-01型聚氨酯導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)試儀的研制一種RISC結(jié)構(gòu)8位單片機(jī)的設(shè)計(jì)與實(shí)