教育的目的讀書筆記

那首先，從這本書的整體上來看，懷特海在第一章首先提出了他所認為的教育應該是什么，之后，從人的身心發(fā)展的角度給出了教育應當遵循的三個節(jié)奏，之后，解釋了文學課程、科學課程和技術課程這三種主要的教育形式之間的關系。最后，介紹了數(shù)學課程以及大學的作用?？梢哉f，數(shù)學課程這一章正是從具體的應用的層面，講了學校的數(shù)學課程到底應該教會學生什么，要安排怎樣的教學內(nèi)容，是懷特海教育理念的具體體現(xiàn)。這一章總的來說是圍繞著這樣三個問題展開的。為什么要進行教育改革？怎樣進行教育改革？（也就是數(shù)學課到底應該涵蓋哪些內(nèi)容）實施教育改革中可能存在的一些問題。接下來，我們就通過一些具體的例子來看看懷特海認為的數(shù)學課程是怎樣的。一、為什么要進行教育改革首先，懷特海反思了他當時所處的教育背景，他認為：就這門科目的教育用途來說，我們必須承認，到目前為止，在普通的受教育人群中，數(shù)學水平還是處于一個令人悲哀的低水準上。正是由于他看到了這一點，所以才有了希望實施教育改革的想法，希望提出自己所理想中的數(shù)學課程。至于為什么會產(chǎn)生這樣的情形，懷特海也給出了自己的想法：讓這門學科對于學生而言，成為一種快樂的真正理由，也就是阻礙它作為一種有用的教育工具的原因，即，來自一般原理的互相影響的大量推論，它們的錯綜復雜性，它們與作為論點的概念之間明顯的距離，各種各樣的方法，它們純粹的抽象性質(zhì)，這種抽象性質(zhì)作為數(shù)學的禮物，帶來永恒的真理。舉個例子，歐幾里得的《幾何原本》實際上也就是從最開始的很簡單的公理出發(fā)的，非常簡單一目了然的，但是由它們出發(fā)卻推出來了四百多個命題，如果我們再看一看所得到的這一系列推論，就很難想象它和最原始的概念到底有怎樣的聯(lián)系了。也就是說“它們與作為論點的概念之間有明顯的距離”。不僅如此，就拿數(shù)字來說，它也是數(shù)學家用很長的時間通過一步步抽象得到的最終的純粹的符號表達，一旦數(shù)學進入了高度抽象的階段，它就脫離了原有的實際背景，也就顯得相當?shù)厣願W。二、如何進行教育改革第二點，也是這一章的核心內(nèi)容。如何進行教育改革。對象首先，我們要明確懷特海說的理想狀態(tài)下的數(shù)學課程的實施對象。他考慮的是“所有學生的自由教育”，而不是“職業(yè)化研究”?；氐轿覀儎倓傉f到數(shù)學的深奧性。他認為數(shù)學的深奧性并不是不好，而是說“除了一些被精心挑選出來的人之外，它們對教育的影響是不幸的。”也就是說，喜歡數(shù)學的學生是非常享受其中的，但是對于大多數(shù)人來說，強迫他們?nèi)ッ靼灼渲械纳願W原理是一件很痛苦的事情。我們也沒有必要這樣做。我們的目的不是要去培養(yǎng)出來一個數(shù)學家，而是一門針對于所有人的基礎課程。舉個例子，之前馬老師也說到過，據(jù)統(tǒng)計，實際上學習完學校的數(shù)學課程以后，將來只會有百分之一的學生去從事和數(shù)學有關的職業(yè)，所以，數(shù)學的有些深奧的定理或者結(jié)論，他們將來也許根本不會接觸到，比方說，如果你是一名廚師，那你會一邊做飯一邊想想正弦定理嗎？不存在的。讓學生學習這門語言，是為了更好地生活，看待世界可以多一種角度。目標也就是說，我們所要實現(xiàn)的目標是：學生能夠通曉抽象思維，能夠認識到它是如何應用于特殊而具體的環(huán)境，應該知道怎樣在合乎邏輯的調(diào)查研究中使用一般的方法。改革的方向明確了懷特海所針對的對象和所希望實現(xiàn)的目標以后，我們來看看他認為的改革的方向是什么。從整體的方向來說，懷特海認為：無論是在觀念的傳授上，還是在能力的培養(yǎng)中，要與現(xiàn)代的思想相關，這里所說的是在受教育人群中廣泛流行的思想。也就是說，我們所做的改革要和當前的社會背景相關，要與時俱進。舉個例子，在我們老師生活的年代，數(shù)學中還要求學生去手動開平方，比方說根號2不能用計算器而是要手算，但是隨著現(xiàn)在的科學技術發(fā)達了，這樣根本就沒必要，因此也就取消了這個內(nèi)容。具體地來說，就數(shù)學這一門課程，懷特海的主要觀點是：“數(shù)學，若想在普通教育中有用，就必須經(jīng)歷一個嚴格的選擇和適應的過程。向青年展示這門科學，必須摒棄其深奧的一面。直面數(shù)學，它必須直接而簡練地探討一些具有深遠意義的一般概念。”也就是說，如果把數(shù)學比作一棵大樹的話，我們所要教給學生的是大樹的枝干，而不是周圍的這一些細枝末節(jié)。懷特海認為，他所指出的數(shù)學的核心概念和思想對所有的學生來說都是必要的訓練，它是一切哲學思維的基礎。也就是說不管你將來從事什么職業(yè)，你都要掌握這些最基礎的知識。普通的對數(shù)學沒有特別興趣的學生通過學習數(shù)學能夠掌握一些一般的方法，只需要學習它的核心枝干，而對數(shù)學特別感興趣希望深入研究的同學，可以去深入地關注它周圍的枝枝葉葉。具體地來說，可以分為以下幾點：知識&智慧知識是一些結(jié)果性的內(nèi)容，智慧是掌握知識的方法。兩者缺一不可。舉個例子，證明正弦定理的方法有很多，比方說傳統(tǒng)法和向量法，如果沒有一定的知識基礎，就不知道怎么證明。但是，哪一種方法可以更簡單地證明出來呢？這就是智慧的體現(xiàn)。它體現(xiàn)了在解決實際問題當中，如何去選用合適的方法去運用知識。要讓學生擁有智慧，一昧的增加知識是沒有作用的。知識有再多又有什么用呢？學習知識是為了去應用，否則再多的知識也將毫無價值。所以，我們在教學當中要教會學生的實際上是如何運用知識去解決問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺。過程性教學&結(jié)果性教學那么，在傳授必要的數(shù)學知識的時候，應該怎么教學呢？比方說，在正弦定理的教學中，如果說學生學習完了這一節(jié)的內(nèi)容以后，你去問他學到了什么，結(jié)果他所記得的就只是正弦定理的結(jié)論，那又有什么用呢？數(shù)學的結(jié)論千千萬萬，僅僅記住了結(jié)論毫無價值，對我們將來的學習生活沒有任何作用。在這里，正弦定理的教學其實蘊含了很多數(shù)學的思想方法，比方說從最開始的直角三角形的結(jié)論推廣到一般的時候的特殊到一般的思想，在證明正弦定理的過程中，展現(xiàn)的分類和轉(zhuǎn)化的思想，這些將要比正弦定理本身更有利用價值。學生將來走入社會以后，可能會面對一系列陌生的問題，這時候，他可能會想到，我以前遇到過類似的問題嗎？轉(zhuǎn)化的思想就起了重要的作用。所以，在教學的過程中，我們要關注的不是一個個知識性的結(jié)果，而是要讓學生在學習知識的過程中體會數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法，為將來的學習打下基礎。形式&本質(zhì)過分地注重形式化會有損于學生對知識本身的理解。舉個例子，數(shù)學歸納法。記得在高中的練習上，最常見的好像就是類似于這種，給出一個關于n的根本不知道從哪得到的等式，讓我們?nèi)プC明。那怎么辦呢？下意識地就去套用數(shù)學歸納法的步驟，1成立，n成立，通過各種變形推導n+1也是成立的。給人的感覺好像就是，我已經(jīng)知道了這個命題了，然后去用數(shù)學歸納法去驗證一下，好像就是數(shù)學歸納法是事后裝模做樣的工作。但是實際上完全不是這樣。華羅庚在《數(shù)學歸納法》書里面就指出了，數(shù)學歸納法實際上蘊含的思想是“1即n，n即1”的想法，它不是事后的驗證工作，而可以用它來發(fā)現(xiàn)新的命題。比方說，當我們有了一個特殊的結(jié)論以后，它相當于就是1，然后，可以用特殊到一般的思想考慮將它推廣到一般性的結(jié)論，當我們有了一般性的結(jié)論以后，雖然可能有無數(shù)個，但在我的眼中，它只是一個1而已。用在證明當中，也就是從n到n+1的推導思想常常和1到2所用的方法是類似的，只是數(shù)字變大了，但是方法是一樣的，又有什么關系呢？比方說，看帽子顏色的例子，或者是這樣棋盤填方塊的例子，都展現(xiàn)了數(shù)學歸納法的巧妙。再舉個例子，函數(shù)的定義。我們都知道，高中的函數(shù)定義和初中的函數(shù)定義是有區(qū)別的，可能有的老師會這樣來引入：判斷y=1是函數(shù)嗎？這樣的問題如果說用初中的變量說，就沒辦法判斷，那老師就說了，初中的概念不嚴謹，所以我們來學習新的函數(shù)的概念。那么問題來了，既然說初中的概念不嚴謹，解決不了這樣的問題，那干嘛還會出現(xiàn)在課本中呢？直接給嚴謹?shù)亩x不就得了嗎？實際上，我們可以回顧一下函數(shù)定義的演變歷史：時間數(shù)學豕函數(shù)的定義1673年來布尼茨函數(shù)表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量的縱坐標.1748年歐拉變量的函數(shù)是一個解析表達式，它是由這個變量和一些常量以任何方式組成的.1755年函數(shù)的變量定義：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù).（現(xiàn)行初中數(shù)學教科書采用的定義）1821年柯西變量：依次取許多互不相同的數(shù)值的量叫做變量?定義了自變量與因變量.函數(shù)：在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值也可隨之而確定時，則將最初的變數(shù)稱之為“自變數(shù)”其他各變數(shù)稱為函數(shù)1851年黎曼函數(shù)的對應定義：假定Z是一個變量，如果，對它的每一個數(shù)值，都有未知量W的一個數(shù)值與之對應，則稱W是Z的函數(shù).(現(xiàn)行高中數(shù)學教科書采用的定義)1939年布爾巴基學派函數(shù)的關系定義：如果定義在X,Y上的關系F滿足：對于每一個X€X，都存在唯一的y€Y，使得(x,y)€F側(cè)稱F為函數(shù).最開始是萊布尼茨提出的函數(shù)定義，從定義中我們也可以看到，函數(shù)是結(jié)合了圖象進行的，相當直觀，后來就是歐拉給出的變量說定義，從兩個變量的相互關聯(lián)給出函數(shù)的定義，接下來，柯西做了一些補充，現(xiàn)在的高中教材采用的是黎曼的函數(shù)的對應定義，最后是布爾巴基學派給出的關系定義。我們可以從這其中的變化看到，函數(shù)的定義由最初的直觀逐漸一步步抽象成為符號化的定義。數(shù)學家們都需要這么長的時間來抽象，又怎么能指望學生可以一步抽象到位呢？所以，教材中就采用了這樣兩種函數(shù)的定義方式，幫助學生一步步地抽象出它的概念。在函數(shù)的教學當中，我們也應該遵循學生的身心發(fā)展，從浪漫階段出發(fā)，用生活中大量的實際問題來引入，逐漸走入精確階段，最后再回歸實際生活中的應用，讓學生體會其中的函數(shù)模型，而不應該糾結(jié)于這樣沒有意義的概念辨析。微觀&宏觀懷特海的觀點是：學習數(shù)學的目的不是盲目堆積特殊數(shù)學定理，而是最終認識到，之前多年的學習說明了數(shù)字、數(shù)量和空間的關系，這些關系才是最重要的。換句話說，也就是教會學生見樹也要見林，二者缺一不可。關于這一點，我們可以繼續(xù)剛剛函數(shù)的定義的例子。實際上，初中的函數(shù)定義的變量說是一種動態(tài)的定義，是從宏觀上來把握函數(shù)的變化趨勢，而高中的函數(shù)則逐漸進入精確階段，通過集合之間的對應關系來刻畫集合間元素的對應法則，是一種微觀層面上的描述。我們不能夠說微觀和宏觀哪一種更好，只能說各有千秋。比方說，當我們說到變化趨勢的時候，我們就是從宏觀的角度來考察，一次函數(shù)是一條直線，二次函數(shù)有升有降，指數(shù)函數(shù)是爆炸性增長等等，就像“會當凌絕頂，一覽眾山小”一樣，宏觀的層面能讓我們對這個函數(shù)有一個整體的把握。但是，有些時候僅僅有宏觀也是不夠的。比方說狄利克雷函數(shù)，它在有理數(shù)的時候取值是1，無理數(shù)的時候取值是0，它經(jīng)常作為數(shù)學分析中的反例出現(xiàn)。只是靠宏觀很難想象，那我們只有進行微觀的靜態(tài)描述，比方說它在任意一個點處都沒有極限等等。微觀和宏觀的把握用我之前看到的一句話來描述就是：“入乎其內(nèi)，故能寫之，出乎其外，故能觀之?！眰€性發(fā)展當然，我們這里說的是針對于所有學生的數(shù)學教育，但是，每一位學生都有不同的個性，我們怎樣能夠在教學中關注到不同人的個性發(fā)展呢？也就是課標當中說到的“要讓不同的人有不同的發(fā)展?！边@里，懷特海給出了自己的想法，怎么引導那些更聰明的學生進一步發(fā)展。“毫無疑問，在一定程度上，它需要對整體所作的工作有一個一般的勘漏過程，不過分地拘泥于細節(jié)，以便突出最初應用的一般概念，以及這些概念在進一步研究時存在的可能的重要性。”也就是說，要對整體所學的知識進行一個檢查，歸納概念的本質(zhì)內(nèi)涵，進一步提出新的問題。這里懷特海提出了兩種方法4.1明顯進入一個的課題舉個例子，我們大學學習過了很多數(shù)學內(nèi)容，比方說泛函分析、實變函數(shù)、解析幾何、點集拓撲等等，其實我們在學習完了以后可以回過頭來思考一下，這些內(nèi)容之間的聯(lián)系是什么，能不能提出一個新的問題。實際上我們可以發(fā)現(xiàn)，泛函分析和點集拓撲當中都涉及到了距離這個概念。喜歡鉆研的學生可能會在學習距離的時候，通過歸納的方式來思考距離的本質(zhì)，比方說通過查閱資料以后可以進一步理解甚至歸納出距離的本質(zhì)定義，也就是正定性、對稱性和三角不等式，如此一來可以逐步建立距離空間也就是度量空間的定義，進入到泛函分析中去，如果再進一步推廣到一般，就是點集拓撲當中的拓撲空間。4.2數(shù)學史懷特海提出，另外一種歸納概念的方式是利用數(shù)學史。舉個例子，復數(shù)的引入，可以通過回顧歷史上數(shù)系的擴充來讓學生感知數(shù)學發(fā)展過程中，數(shù)系的每一次擴張的必要性和應用價值。讓數(shù)學的課堂不再僅僅有科學知識，而更具有人文情懷。邏輯推理懷特海認為，數(shù)學課程的學習內(nèi)容一方面是抽象概念的學習，另一重要的方面就是學會邏輯思維。并且，也由于“代數(shù)的思維領域更為模糊，而空間對世間萬物來說都是非常清楚的事情”，他利用幾何這一知識，來說明他的觀點。在他看來，幾何的學習可以按照以下幾個階段來進行。當然，并不是一定要按照這個階段。它們分別是：全等、相似、三角原理、解析幾何、投影幾何從整體上來理解可以說，幾何是關注了幾何圖形在運動過程中的不變的量。全等保持了距離和角度的不變，相似保持了角度不變，距離可變，相似中又涉及到三角中的一些問題，而后，利用幾何代數(shù)化又可以進一步研究解析幾何，最后，如果距離和角度都可以改變，就是投影幾何，但是這其中也會有不變的量——交比。最后一點，就是在改革的