高等數(shù)學PPT（工科類）完整全套教學課件

第一章極限與連續(xù)

函數(shù)第一節(jié)極限的概念

第二節(jié)無窮小量與無窮大量

第三節(jié)

極限的運算法則第四節(jié)

兩個重要極限第五節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)

復習題一小結第一節(jié)

函數(shù)一、函數(shù)的概念函數(shù)的定義定義1

設D是由數(shù)組成的集合.如果對于每個數(shù)x∈D，變量y按照一定的對應法則f總有確定的數(shù)值和它對應，那么將對應法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x稱為自變量,y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域.

當x取x0∈D時，與x0對應的y的數(shù)值稱為函數(shù)在點x0處的函數(shù)值，記作f(x0).當x取遍D中的一切數(shù)時，對應的函數(shù)值集合M={y|y=f(x)，x∈D}稱為函數(shù)的值域.

在函數(shù)的定義中，如果對于每一個x∈D，都有唯一的y與它對應，那么這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).例如由方程x2+y2=9所確定的以x為自變量的函數(shù)y=±9-x2是一個多值函數(shù)，而它的每一個“分支”y=9-x2或y=-9-x2都是單值函數(shù).以后如果沒有特別說明，所說的函數(shù)都是指單值函數(shù).2.函數(shù)的表示法

（1）表格法

將自變量的值與對應的函數(shù)值列成表格表示兩個變量的函數(shù)關系的方法.如三角函數(shù)表、常用對數(shù)表以及經(jīng)濟分析中的各種統(tǒng)計報表等.

（2）圖像法

用圖像表示兩個變量函數(shù)關系的方法，如圖1

圖1

（3）解析法

用一個等式表示兩個變量的函數(shù)關系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.

在實際問題中，函數(shù)的定義域要根據(jù)問題的實際意義確定．當不考慮函數(shù)的實際意義，而僅就抽象的解析式來研究函數(shù)時，這時定義域就取使解析式有意義的自變量的全體.要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點：(1)分式的分母不能為零；(2)偶次根式的被開方數(shù)必須為非負數(shù)；(3)對數(shù)式中的真數(shù)必須大于零；(4)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)考慮各自的定義域；(5)若函數(shù)表達式是由幾個數(shù)學式子組成，則其定義域應取各部分定義域的交集；(6)分段函數(shù)的定義域是各個定義區(qū)間的并集．3.函數(shù)的定義域【例1】

設f（x）={

求f（-3）,f(),f(1+h).f(-3)=f()=3,f(1+h)=

=【例2】求下列函數(shù)的定義域：

(1)(2)【解】(1)若使函數(shù)有意義，則x^2+2x+1≠0，即(x+1)^2≠0.即x≠-1.所以函數(shù)的定義域為(-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函數(shù)有意義，則4-x^2≥0x^2-1＞0.即-2≤x≤2x＞1或x＜-1，解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函數(shù)的定義域為［-2，-1)∪(1，2］.

2．函數(shù)的幾種特性

1.奇偶性

定義2設函數(shù)的定義域D關于原點對稱.如果對于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；如果對于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù).否則f(x)為非奇非偶函數(shù).

奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，如圖1-2所示;偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，如圖1-3所示.

圖1-2

圖1-3

在判斷函數(shù)的奇偶性時，一定要先考慮函數(shù)的定義域是否關于原點對稱。如果定義域不關于原點對稱，則直接可以判斷該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)?！纠?】判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)f(x)=x^2；(2)f(x)=2sin2x；(3)f(x)=1/x-1；【解】(1)因為f(x)的定義域D=(-∞，+∞)是關于原點對稱的區(qū)間，又因為對于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函數(shù).(2)因為f(x)的定義域D=(-∞，+∞)是關于原點對稱的區(qū)間，又因為對于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-f(x)，所以f(x)=2sin2x是奇函數(shù).(3)因為f(x)的定義域是D=(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域不關于原點對稱，所以f(x)=1x-1是非奇非偶函數(shù).2.單調性

定義3若對于區(qū)間D內任意的兩點x1，x2，當x1＜x2時，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調增加，區(qū)間D稱為單調增區(qū)間；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調減少，區(qū)間D稱為單調減區(qū)間.單調增函數(shù)圖像沿x軸正向上升，如圖1-4所示；單調減函數(shù)圖像沿x軸正向下降，如圖1-5所示.

圖1-4圖1-5【例4】證明f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞)上是單調遞增函數(shù).【證明】

設x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)

因為x1、x2∈［0，+∞)，x1＜x2，所

以x1+x2＞0，x1-x2＜0

所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞)上是單調遞增函數(shù).3.有界性定義4設函數(shù)f(x)的定義域為D，數(shù)集X∈D.如果存在數(shù)K1，使得f(x)≤K1對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f(x)在X上的一個上界，如果存在數(shù)K2，使得f(x)≥K2對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個下界，如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M對任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在X上無界；這就是說，如果對于任何正數(shù)M,總存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函數(shù)f(x)在X上無界.【例5】

就函數(shù)f(x)=sinx在(-∞，+∞)內來說，數(shù)1是它的一個上界，數(shù)-1是它的一個下界(當然，大于1的任何數(shù)也是它的上界，小于-1的任何數(shù)也是它的下界).又|sinx|≤1

對任一實數(shù)x都成立，故函數(shù)f(x)=sinx在(-∞，+∞)上是有界的.這里M=1(當然也可取大于1的任何數(shù)作為M而使|f(x)|≤M成立).4.周期性定義5設函數(shù)f(x)的定義域為D.對于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)為D上的周期函數(shù).T稱為函數(shù)的一個周期，并且nT(n為非零整數(shù))也是它的周期.平時，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期.【例6】函數(shù)y=sinx和y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù).y=sinx和y=cosx的圖像我們在高中階段學習三角函數(shù)的時候已經(jīng)有所接觸。3．初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)

我們把常數(shù)函數(shù)y=c(c為常數(shù))、冪函數(shù)y=xα(α為實數(shù))、指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1，a為常數(shù))、對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1，a為常數(shù))、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2.復合函數(shù)定義6若函數(shù)y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則變量y通過變量u與變量x建立了對應關系,這個對應關系稱為y是x的復合函數(shù),u是中間變量,x是自變量,通常將y=f(u),u=g(x)合并寫成y=f［g(x)］.注意：不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的；復合函數(shù)也可以由兩個以上的函數(shù)復合而成.3.初等函數(shù)定義7基本初等函數(shù)(常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù))經(jīng)過有限次的加、減、乘、除(分母不為零)的四則運算，以及有限次的復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù)，叫做注意：如果一個函數(shù)必須用幾個式子表示，那么它就不是初等函數(shù)，例如函數(shù)就不是初等函數(shù)，我們將這樣的函數(shù)，叫做非初等函數(shù).第二節(jié)

極限的概念一、數(shù)列的極限

以前我們已經(jīng)學過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來考察當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列{an}的變化趨勢.我們先看一個實例：一個籃球從距地面1米高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處(見圖1-8).于是，可得到表示籃球高度的一個數(shù)列1，1/2，1/2^2，1/2^3，…，1/2^（n-1），…

我們知道，籃球最終會停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數(shù)n的無限增大，數(shù)列通項hn=1/2^(n-1)的值將趨向于0.

現(xiàn)在，我們再來看兩個無窮數(shù)列：1，1/2，1/3，1/4，…，1/n，…(1-2)0，3/2，2/3，5/4，…，(n+(-1)^n)/n，…(1-3)

為便于觀察，我們在平面直角坐標系中作出數(shù)列(1-2)和(1-3)的圖形.從圖1-9中可看出，當n增大時，點(n，an)從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當n無限增大時，數(shù)列通項an=1n的值無限趨近于零.同樣，從圖1-10中可看出，當n增大時，點(n，an)從上下兩側無限接近于直線an=1.這表明，當n無限增大時，數(shù)列通項an=（n+(-1)^n)/n的值無限趨近于常數(shù)1.

圖1-9圖1-10

上述數(shù)列的變化趨勢具有相同的特點：當n無限增大時，數(shù)列的項an無限地趨近于某個常數(shù)A.定義1如果無窮數(shù)列{an}的項數(shù)n無限增大時，an無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列{an}的極限(limit)記作：limn→∞an=A或an→A(當n→∞時).讀作“當n趨向于無窮大時，數(shù)列{an}的極限等于A”.根據(jù)定義，上面三個數(shù)列的極限分別記作limn→∞1/（2n-1）=0；limn→∞1/n=0；limn→∞(n+(-1)^n)/n=1.

不是任何無窮數(shù)列都有極限.如數(shù)列{2n}，當n無限增大時，2n也無限增大，不能無限地趨近于一個確定的常數(shù)，因此這個數(shù)列沒有極限.又如數(shù)列{(-1)n}，當n無限增大時，(-1)^n在1與-1兩個數(shù)上來回跳動，不能無限地趨近于一個確定的常數(shù)，因此這個數(shù)列也沒有極限.二、函數(shù)的極限1.當x→∞時函數(shù)f(x)的極限定義2如果當x→∞時,函數(shù)f(x)無限趨近于確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)當x→∞時的極限,記作limn→∞f(x)=A或當x→∞時,f(x)→A.

注意：這里“x→∞”表示x既取正值而無限增大(記作x→+∞)，同時也取負值而絕對值無限增大(記作x→-∞).但有的時候x的變化趨勢只能取這兩種變化中的一種情況.

下面給出當x→+∞或x→-∞時函數(shù)極限的定義.定義3如果當x→+∞(或x→-∞)時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→+∞(或x→-∞)時的極限，記作limn→+∞f(x)=A，或當x→+∞時，f(x)→A.(limn→-∞f(x)=A，或當x→-∞時，f(x)→A)【例2】

如圖1-11所示,利用圖像考察當x→∞時，函數(shù)f(x)=1x的變化趨勢.【解】

從圖1-11中可以看出：當x的絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于常數(shù)0.所以limx→∞1/x=0.顯然地，limx→+∞1/x=0，limx→-∞1/x=0.圖1-112.當x→x0時函數(shù)f(x)的極限定義4設函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域（鄰域就是在數(shù)軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，其中δ＞0的點的集合.即區(qū)間(x0-δ，x0+δ)內的一切實數(shù).x0稱鄰域的中心，δ為半徑.如果這個區(qū)間不含x0點，則稱x0的空心δ鄰域.）內有定義，如果當x無限趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作limx→x0f(x)=A，或當x→x0時，f(x)→A.

【例3】如圖1-12所示,根據(jù)圖像求limx→3(x/3+1)的值.【解】

如圖1-12所示，當x從3的左側無限趨近于3時，即x取2.9，2.99，2.999，…→3時，對應的函數(shù)f(x)的值從1.97，1.997，1.9997，…→2.當x從3的右側無限趨近于3時，即x取3.1，3.01，3.001，…→3時，對應的函數(shù)f(x)的值從2.03，2.003，2.0003，…→2.

圖1-12由此可知，當x→3時，f(x)=x3+1的值無限趨近于2.即limx→3(x3+1)=2.

【例4】考察極限limx→x0C(C為常數(shù)).【解】

把C看作常數(shù)函數(shù)f(x)=C，則當x→x0時，f(x)的值恒等于C.因此有l(wèi)imx→x0C=C.

即常數(shù)的極限是它本身.

前面我們提到的x→x0，是指x以任意方式趨近于x0，但有的時候我們只需討論，從x0的左側趨近于x0(x→x-0)或從x0的右側趨近于x0(x→x+0)時的極限.

下面給出當x→x-0(x→x+0)時，函數(shù)f(x)的極限.定義5如果當x→x-0時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f(x)在x0處的左極限(leftlimit)，記作limx→x-0f(x)=A，f(x-0)=A或f(x)→A(x→x-0).如果當x→x+0時，函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f(x)在x0處的右極限(rightlimit)，記作limx→x+0f(x)=A，f(x+0)=A或f(x)→A(x→x+0).根據(jù)x→x0時函數(shù)f(x)的極限的定義和左右極限的定義,容易得到如下結論:limx→x0f(x)=Alimx→x-0f(x)=A且limx→x+0f(x)=A【例5】若函數(shù)試求【解】

作出這個分段函數(shù)的圖像，如圖1-13所示，可見函數(shù)f(x)當x→0時的左極限為limx→0-f(x)=limx→0-(x-1)=-1.右極限為limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1.因為當x→0時，函數(shù)f(x)的左、右極限雖各自存在但不相等，所以limx→0f(x)不存在.

圖1-13第三節(jié)無窮小量與無窮大量

在研究函數(shù)的變化趨勢時，我們發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)的絕對值趨于無窮：一是函數(shù)的絕對值“無限變小”，二是函數(shù)的絕對值“無限變大”.下面我們來研究這兩種情形.一、無窮小量定義1如果當x→x0(或x→∞)時，函數(shù)f(x)的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)當x→x0(或x→∞)時為無窮小量，簡稱無窮小.例如，當x→0時，sinx是無窮小；當x→∞時，1/x是無窮小.(1)無窮小和絕對值很小的數(shù)是截然不同的，例如10-10，10-100都是很小的數(shù)，但不是無窮小.只有零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù)，因為limx→x0(x→∞)0=0.(2)無窮小和自變量的變化趨勢是密切相關的.例如函數(shù)f(x)=1/x，當x→∞時，1/x為無窮??；當x→1時，1x就不是無窮小.二、無窮大量定義2如果當x→x0(或x→∞)時，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，那么稱函數(shù)f(x)當x→x0(或x→∞)時為無窮大量，簡稱無窮大.

如果按函數(shù)極限的定義來看，f(x)的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.

如果在無窮大的定義中，對于x0鄰域內的x(或對于絕對值相當大的x)，對應的函數(shù)值都是正的或都是負的，則這兩種情形分別記作

limx→x0(x→∞)f(x)=+∞，limx→x0(x→∞)f(x)=-∞.

例如limx→+∞epx=+∞，limx→0+lnx=-∞.(1)無窮大和絕對值很大的數(shù)是完全不同的，例如10^10，-10^100等都是絕對值很大的數(shù)，但不是無窮大.(2)無窮大和自變量的變化趨勢密切相關.例如，函數(shù)f(x)=1/x，當x→0時，1/x為無窮大；當x→∞時，1/x為無窮小.三、無窮小量與無窮大量

定理

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，那么1/f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，那么1f/(x)為無窮大.

例如，因為limx→∞x^3=∞，所以limx→∞1/x^3=0；因為limx→0sinx=0，所以limx→01/sinx=∞.四、無窮小量的性質

在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個性質：性質1有限個無窮小的代數(shù)和為無窮小.

性質2有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小.

性質3有限個無窮小的乘積為無窮小.第四節(jié)極限的運算法則

利用極限的定義只能計算一些很簡單的函數(shù)的極限，對于比較復雜的函數(shù)極限，我們需要用到極限的運算法則來進行計算.下面給出函數(shù)極限的運算法則：法則

設limx→x0f(x)=A，limx→x0g(x)=B，則有(1)limx→x0［f(x)±g(x)］=limx→x0f(x)±limx→x0g(x)=A±B；(2)limx→x0［f(x)·g(x)］=limx→x0f(x)·limx→x0g(x)=A·B；(3)limx→x0［Cf(x)］=C·limx→x0f(x)=C·A(C為常數(shù))；

(4)【例1】求【解】原式==4+6-2=8【例2】求【解】原式===3【例3】求

【解】當x→2時，分母的極限為0，這時不能用法則（4），由于x→2而x≠2即x-2≠0，因而分式中可約去不為0的公因子，得原式====1/4【例4】求【解】令則當x→0+時，t→+∞，這時所以原式===1第五節(jié)兩個重要極限一、判定極限存在的兩個準則為了得出兩個重要極限公式，先給出兩個判定極限存在的準則.準則1如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)在同一變化過程中滿足g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A.準則2如果數(shù)列{xn}單調有界，則limn→∞xn一定存在.二、兩個重要極限公式1.【例1】求【解】原式==令t=x/2，則當x→0時，t→0，因此原式==1/2【例2】求【解】原式==2.【例3】求【解】原式=第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

在許多實際問題中，數(shù)量的變化往往是連續(xù)的.例如，氣溫隨時間的變化而變化著，當時間的變化極為微小時，氣溫的變化也極為微小，這就是說，氣溫是連續(xù)變化的.下面我們來研究函數(shù)的連續(xù)性.一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)的增量定義1設函數(shù)y=f(x)，當自變量由初值x0變到終值x1時，我們把差值x1-x0叫做自變量的增量(或改變量)，記作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.這時可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx.相應地，函數(shù)值由f(x0)變化到f(x0+Δx)，我們把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函數(shù)的增量(或改變量)，記作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).2.函數(shù)的連續(xù)定義2設函數(shù)y=f(x)在點x0某鄰域內有定義，如果當自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時，函數(shù)y=f(x)的相應增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趨近于零，也就是說，有l(wèi)imΔx→0Δ=0或liymΔx→0［f(x0+Δx)-f(x0)］=0，

那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.由于x=x0+Δx，因此Δx→0就是x→x0；Δy→0就是f(x)→f(x0)；limΔx→0Δy=0,limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)的定義也可敘述如下.定義3如果函數(shù)y=f(x)在點x0及其近旁有定義，limx→x0f(x)存在并且limx→x0f(x)=f(x0)，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.

據(jù)此，函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù)必須滿足以下三個條件：（1）函數(shù)f(x)在點x0處有定義；（2）limx→x0f(x)存在；（3）limx→x0f(x)=f(x0).

如果函數(shù)y=f(x)在x0處不連續(xù)，那么稱函數(shù)f(x)在x0處是間斷的，點x0稱作函數(shù)y=f(x)的間斷點或不連續(xù)點.定義4設函數(shù)y=f(x)在x0處及其左(或右)近旁有定義，如果limx→x-0f(x)=f(x0)(或limx→x+0f(x)=f(x0))，那么稱函數(shù)f(x)在x0處左連續(xù)(或右連續(xù)).定義5如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點都連續(xù)，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內連續(xù)，或稱函數(shù)f(x)為區(qū)間(a，b)內的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間(a，b)稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間.

如果f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有定義，在區(qū)間(a，b)內連續(xù)，且在右端點b處左連續(xù)，在左端點a處右連續(xù)，即limx→b-f(x)=f(b)，limx→a+f(x)=f(a).那么稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù).在幾何上，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線.【例2】適當選取a的值，使函數(shù)

在x=0處連續(xù)?！窘狻?/p>

因為f(x)的定義域為(-∞，+∞)，所以f(x)在x=0處及其近旁有定義.所以要使f（x）在x=0處連續(xù)，必須=

=f（0），即

可以滿足函數(shù)在x=0處的連續(xù)性要求.二、初等函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性性質1如果函數(shù)f(x)與g(x)在點x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商(分母在x0處不等于零)也都在x0處連續(xù).即

limx→x0［f(x)±g(x)］=f(x0)±g(x0)

limx→x0［f(x)·g(x)］=f(x0)g(x0)

limx→x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)(g(x0)≠0).【例3】判斷tanx和cotx在x=π4處的連續(xù)性.【解】由于tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx，而sinx和cosx在點x=π/4處是連續(xù)的，所以tanx，cotx在點x=π4處也是連續(xù)的.2.復合函數(shù)連續(xù)性性質2如果函數(shù)u=φ(x)在點x0處連續(xù)，且φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點u0處連續(xù)，那么復合函數(shù)y=f［φ(x)］在點x0處也連續(xù).【例4】判斷y=lnsinx在x=π6處的連續(xù)性.【解】函數(shù)u=sinx在x=π/6處連續(xù)，當x=π/6時，u=1/2；函數(shù)y=lnu在點u=1/2處連續(xù)；所以，復合函數(shù)y=lnsinx在點x=π/6處也是連續(xù)的.3.初等函數(shù)的連續(xù)性

根據(jù)初等函數(shù)的定義，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性和復合函數(shù)的連續(xù)性可得到下面的重要結論：性質3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.

這個結論對于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運算是非常有價值的，如果已知函數(shù)f(x)是初等函數(shù)，且x0屬于f(x)的定義區(qū)間，那么求limx→x0f(x)時，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f(x0)即可.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質，這些性質在理論和實踐中都有著廣泛的應用.性質4如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f(x)在［a,b］上一定有最大值與最小值.如圖1-14所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點ξ(a≤ξ≤b)使得f(ξ)=m為最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)，又至少有一點η(a≤η≤b)使f(η)=M為最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).注意：對于在開區(qū)間內連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點的函數(shù)，其最大值、最小值不一定存在.例如，函數(shù)y=x^2+1，在(-1，1)內連續(xù)，在x=0處取得最小值，但在這個區(qū)間內沒有最大值；而在(1，2)內既無最大值，也無最小值.圖1-14

【例6】判斷函數(shù)在閉區(qū)間[0,2]上是否有最值.

【解】函數(shù)在x=1處的左極限為0，而右極限為2，因此函數(shù)在x=1處不連續(xù)，因而函數(shù)在這個區(qū)間上無最值.性質5如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b).

這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f(x)與直線y=C(C在A與B之間)至少有一個交點，交點坐標為(ξ，f(ξ))，其中f(ξ)=C，如圖1-16所示.

圖1-16推論如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，那么至少存在一點ξ(a＜ξ＜b)，使得f(ξ)=0.推論的幾何意義是：在［a，b］上連續(xù)的曲線y=f(x)兩端點落在x軸的上、下兩側時，則曲線與x軸至少有一個交點，如圖1-17所示.

圖1-17【例7】證明方程x3-4x2+1=0在(0，1)內至少有一個實根.【證明】設f(x)=x3-4x2+1，因為它在閉區(qū)間［0，1］上連續(xù)，并且f(0)=1＞0，f(1)=-2＜0，所以根據(jù)推論可知，f(x)在(0，1)內至少有一點ξ(0＜ξ＜1)使得f(ξ)=0，即

ξ3-4ξ2+1=0(0＜ξ＜1).

這個等式說明方程x3-4x2+1=0在開區(qū)間(0，1)內至少有一個實根.

第2章導數(shù)與微分

導數(shù)的概念第一節(jié)求導法則

第二節(jié)高階導數(shù)

第三節(jié)

函數(shù)的微分第四節(jié)第一節(jié)導數(shù)的概念一、引例

為了說明微分學的基本概念——導數(shù)，我們先討論以下兩個問題：速度問題和切線問題.1變速直線運動的瞬時速度

我們知道在物理學中，物體作勻速直線運動時，它在任何時刻的速度可由公式v=s/t來計算，其中s為物體經(jīng)過的路程，t為時間.如果物體作非勻速直線運動，它的運動規(guī)律是s=s(t)，那么在某一段時間［t0，t1］內，物體的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)與所經(jīng)歷的時間(即時間增量)t1-t0的比，就是這段時間內物體運動的平均速度.我們把位移增量s(t1)-s(t0)記作Δs，時間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得

v=[s(t1)-s(t0)]/(t1-t0)=Δs/Δt=[s(t0+Δt)-s(t0)]/Δt.那么，怎樣求非勻速直線運動物體在某一時刻的速度呢？由于物體作變速運動，用勻速直線運動的公式v=st來計算它在某一時刻的速度已不適用.處理這個問題的基本方法是“勻速代變速”.為此，給t0一個增量Δt，當時間由t0改變到t0+Δt時，在Δt這一段時間內，物體走過的路程是Δs=f(t0+Δt)-f(t0)，物體在時間間隔Δt內的平均速度是v=Δs/Δt=[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt，用Δt這一段時間內的平均速度表示物體在t0時刻的瞬時速度，這當然是近似值，顯然Δt越小，即時刻t越接近于t0，其近似程度就越好.為完成“近似”向“精確”的轉化，令Δt→0，如果平均速度v的極限存在，則這個極限值就叫做物體在時刻t0的速度(瞬時速度)，即v(t0)=limΔt→0Δs/Δt=limΔt→0[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt2.切線問題

設M是曲線C上任一點，N是曲線上在點M附近的一點，作割線MN.當點N沿著曲線C向點M移動時，割線MN就繞著M轉動，當點N無限趨近于點M時，割線MN的極限位置為MT，直線MT叫做曲線在點M處的切線，如圖2-1所示.

已知曲線方程y=f(x)，可以求過曲線上點M(x0，y0)處的切線斜率.在M點的附近取點N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可負，作割線MN，其斜率為(φ為傾斜角)tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.當Δx→0時，割線MN將繞著點M轉動到極限位置MT,如圖2-2所示.根據(jù)上面切線的定義，直線MT就是曲線y=f(x)在點M處的切線.自然，割線MN的斜率tanφ的極限就是切線MT的斜率tanα(α是切線MT的傾斜角).

以上兩個問題，雖然它們所代表的具體內容不同，但從數(shù)量上看，它們有共同的本質：都是計算當自變量的增量趨于零時，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限.在自然科學、工程技術問題和經(jīng)濟管理中，還有許多非均勻變化的問題，也都可歸結為這種形式的極限.因此，抽去這些問題的不同的實際意義，只考慮它們的共同性質，就可得出函數(shù)的導數(shù)定義.二、導數(shù)的概念定義1設函數(shù)y=f(x)在點x0某鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx時，相應地函數(shù)y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當Δx→0時，ΔyΔx的極限存在，這個極限就稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，

記為y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx，(2-1)也可以記作f′(x0)，dy/dxx=x0或df(x)dxx=x0.如果(2-1)式的極限存在，就稱函數(shù)f(x)在點x0處可導.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內的每一點都可導，就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.這時，對于(a,b)內的每一個x值，都有唯一確定的導數(shù)值與之對應，這就構成了x的一個新的函數(shù)，這個新的函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，記為y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.在(2-1)式中，把x0換成x，即得y=f(x)的導函數(shù)公式：y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.顯然，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0.為方便起見，在不致引起混淆的地方，導函數(shù)也稱導數(shù).由此可見，導數(shù)是用極限來定義的，類似于有關極限的內容，導數(shù)有左右導數(shù)的定義.定義2設函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果limΔx→0-Δy/Δx=limx→x-0f(x)-f(x0)/x-x0limΔx→0+Δy/Δx=limx→x+0f(x)-f(x0)/（x-x0）存在，則稱y=f(x)在點x0的左(右)導數(shù)存在，記作f′-(x0)(f′+(x0))函數(shù)的左(右)導數(shù)，又稱函數(shù)的單側導數(shù).顯然，函數(shù)y=f(x)在點x0處導數(shù)存在時，有結論：f′(x0)存在等價于左導數(shù)f′-(x0)和右導數(shù)f′+(x0)存在并且相等.三、導數(shù)的幾何意義由切線斜率問題的討論及導數(shù)定義可知:函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M(x0,y0)處的切線斜率,即f′(x0)=tanα，其中α是切線的傾斜角.根據(jù)導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式方程可得,曲線y=f(x)在給定點M(x0,y0)處的切線方程是y-y0=f′(x0)(x-x0)過切點M(x0,y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M(x0,y0)的法線.如果f′(x0)≠0,則法線方程為y-y0=-1/f′(x0)(x-x0).【例1】求過曲線y=3x2上點(2,12)的切線方程與法線方程.【解】

因為f′(x)=(3x2)′=6x

則f′(2)=12

于是過點(2,12)的切線方程為y-12=12(x-2)

即12x-y-12=0

法線方程為y-12=-112(x-2)

即x+12y-146=0四、可導與連續(xù)的關系

設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,即極限limΔx→0Δy/Δx=f′(x0)存在.由函數(shù)極限存在與無窮小的關系知Δy/Δx=f′(x0)+α(α是當Δx→0時的無窮小).

上式兩端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx.不難看出,當Δx→0時,Δy→0.這就是說,函數(shù)y=f(x)在點x0處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則函數(shù)在該點處必連續(xù).如果函數(shù)y=f(x)在某一點處連續(xù),卻不一定在該點處可導.第二節(jié)求導法則一、函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)法則1若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，則函數(shù)u(x)±v(x)也在x處可導，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)法則2若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，則函數(shù)u(x)·v(x)在點x處也可導，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)特別地，令v(x)=c(常數(shù))，則由于c′=0所以有［cu(x)］′=cu′(x).法則3若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點x處可導，且v(x)≠0，則函數(shù)u(x)v(x)在點x處也可導且u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)［v(x)］^2二、復合函數(shù)的導數(shù)法則4如果函數(shù)u=φ(x)在點x處可導，且y=f(u)在對應點u=φ(x)處可導，那么復合函數(shù)f［φ(x)］在點x處也可導，并且dy/dx=dydu·dudx法則4可以推廣到有有限個中間變量可導函數(shù)的復合函數(shù)的情況.例如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可導函數(shù)，則復合函數(shù)y=f｛φ［ψ(x)］｝的導數(shù)是dy/dx=dydu·dudv·dvdx.利用導數(shù)定義及其他求導方法，可以求得基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：三、隱函數(shù)的導數(shù)前面討論函數(shù)求導方法所涉及的函數(shù)y已寫成自變量x的明顯表達式y(tǒng)=f(x)的形式，這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù).但有時候還會遇到另一類函數(shù)，是由一個含有x和y的方程F(x，y)=0來確定的函數(shù)y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù).下面來討論隱函數(shù)的求導問題.如果一個隱函數(shù)能夠轉化為顯函數(shù)，其導數(shù)可以用以前學過的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導方法是：(1)將方程F(x，y)=0的兩端對x求導，在求導過程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復合函數(shù)；(2)求導后，解出y′即可(式子中允許有y出現(xiàn)).四、反函數(shù)的導數(shù)法則5設函數(shù)x=φ(y)在區(qū)間D內單調.在y處可導，且φ′(y)≠0，則其反函數(shù)y=f(x)在x=φ(y)處也可導，且dy/dx=1dxdy，或f′(x)=1/φ′(y).五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)

在實際應用中，函數(shù)y與自變量x的關系常常通過某一參數(shù)變量t表示出來，即x=φ(t)y=ψ(t)，t為參數(shù),稱為函數(shù)的參數(shù)方程.由于y是參數(shù)t的函數(shù)，由x=φ(t)知t是x的函數(shù)，所以，y通過t確定為x的復合函數(shù).于是，由復合函數(shù)的求導法則及反函數(shù)的導數(shù)公式有dy/dx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)第三節(jié)高階導數(shù)一、高階導數(shù)的概念

一般來說，函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y′=f′(x)仍是x的函數(shù).如果函數(shù)y′=f′(x)仍是可導的，則把y′=f′(x)的導數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù)，記為y″，f″(x)或d^2y/dx^2.相應地，y′=f′(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù).類似地,y=f(x)的二階導數(shù)y″的導數(shù)叫做y=f(x)的三階導數(shù),三階導數(shù)的導數(shù)叫做y=f(x)的四階導數(shù)……一般地,f(x)的n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做y=f(x)的n階導數(shù),二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).二、二階導數(shù)的物理意義設物體作變速直線運動,其運動方程為s=s(t),瞬時速度為v=s′(t).此時,若速度v仍是時間t的函數(shù),我們可以求速度v對時間t的變化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力學中把它叫做物體在給定時刻的加速度,用a表示.也就是說,物體的加速度a是路程s對時間t的二階導數(shù),即a=v′(t)=s″(t)=d^2sdt^2.第四節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

在實際生產(chǎn)實踐中,有時需要考慮這樣的問題:當自變量有一微小的增量時,函數(shù)的增量是多少.例如，一個邊長為x0的正方形金屬薄片,當受冷熱影響時,其邊長由x0變到x0+Δx,問此時薄片的面積的改變量是多少?

設正方形薄片的邊長為x0,面積為y,則上面問題就是求函數(shù)y=x2當自變量由x0變到x0+Δx時函數(shù)y的改變量Δy,也就是面積的改變量.

Δy=(x0+Δx)2-x20=2x0·Δx+(Δx)2.例如,當x0=10,Δx=0.1時,面積的改變量為

Δy=2×10×0.1+0.12=2.01;當x0=10,Δx=0.01時,面積的改變量為Δy=2×10×001+0.012=0.2001;當x0=10,Δx=0.001時,面積的改變量為Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020001.

由此可見,當|Δx|很小時,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不計因此,函數(shù)y=x^2在x0有微小改變量Δx時,函數(shù)的改變量Δy約為2x0·Δx,Δy≈2x0·Δx.

從圖2-3中不難看出,Δy表示的是以x0為邊長的正方形外圍的陰影部分面積,它為圖示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面積之和2(x0·Δx)+(Δx)2，顯然當|Δx|相對于x0很小時，(Δx)^2是微乎其微的.當f(x)=x2時，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以寫成Δy≈f′(x0)·Δx.由于f′(x0)·Δx是Δx的線性函數(shù)，所以通常把f′(x0)·Δx叫做Δy的線性主部.

一般地，對于給定的可導函數(shù)y=f(x)，當自變量在x0處有微小的改變量Δx時，函數(shù)值y的改變量Δy可用下式近似計算，即Δy≈f′(x0)Δx(2-2)我們把f′(x0)·Δx稱為函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的微分.定義

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處存在導數(shù)f′(x0)，那么f′(x0)·Δx就叫做函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分，記作dyx=x0，即dyx=x0=f′(x0)·Δx.

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內任一點x處都可導，則把它在點x處的微分叫做函數(shù)的微分，記作dy或df(x)，即dy=f′(x)·Δx.二、微分的幾何意義

如圖2-4所示，設曲線y=f(x)上一點P的坐標為(x0，f(x0))，過P點作割線PQ交曲線于Q點，其坐標為(x0+Δx，f(x0+Δx))，則dx=Δx=PR，Δy=RQ.

又設過P(x0，f(x0))點的切線PT交RQ于點M，函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)是過P點的切線PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM/PR，因此函數(shù)在點x0的微分是：dy=f′(x0)·Δx=RMPR·PR=RM，這說明函數(shù)在x=x0處的微分是曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的縱坐標對應于Δx的改變量.這就是微分的幾何意義.三、微分的運算

從函數(shù)微分的表達式dy=f′(x)dx可知，要計算函數(shù)的微分，只要求出函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分即可.因此，從導數(shù)的基本公式和運算法則就可以直接推出微分的基本公式和運算法則.四、微分在近似計算中的應用

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的增量Δy，當|Δx|很小時，可用微分dy來代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

于是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.(2-4)

應用(2-4)式可推得幾個工程上常用的近似公式(假定|x|是很小的數(shù)值)：第3章中值定理與導數(shù)的應用

中值定理第一節(jié)洛必達法則

第二節(jié)函數(shù)單調性的判別法

第三節(jié)

函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)

函數(shù)的最大值與最小值第五節(jié)曲線的凹凸性與拐點

第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪

第七節(jié)第一節(jié)中值定理

微分學中有三個中值定理應用非常廣泛，它們分別是羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、羅爾定理羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使得函數(shù)f(x)在該點的導數(shù)等于零：f′(ξ)=0.在證明這個定理之前,先考察一下定理的幾何意義.在圖3-1中,設曲線弧AB的方程為y=f(x)(a≤x≤b).羅爾定理的條件在幾何上表示:AB是一條連續(xù)的曲線弧,除端點外處處具有不垂直于x軸的切線,且兩個端點的縱坐標相等.定理的結論表達了這樣一個幾何事實:

在曲線弧AB至少有一點C,在該點處曲線的切線是水平的.從圖中看到,在曲線的最高點或最低點處,切線是水平的,這就啟發(fā)了我們證明這個定理的思路.證明

由于f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理,f(x)在閉區(qū)間［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.這樣只有兩種可能情形:(1)M=m.這時f(x)在區(qū)間［a,b］上必然取相同的數(shù)值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)內任意一點作為ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因為f(a)=f(b),所以M和m這兩個數(shù)中至少有一個不等于f(x)在區(qū)間［a,b］的端點處的函數(shù)值.為確定起見,不妨設M≠f(a)(如果設m≠f(a),證法完全類似),那么必定在開區(qū)間(a,b)內有一點ξ使f(ξ)=M.下面證明f(x)在點ξ處的導數(shù)等于零,即f′(ξ)=0.因為ξ是開區(qū)間(a,b)內的點,根據(jù)假設可知f′(ξ)存在,即極限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx存在.而極限存在必定左、右極限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不論Δx是正的還是負的，只要ξ+Δx在［a，b］上，總有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

羅爾定理中f(a)=f(b)這個條件是相當特殊的，它使羅爾定理的應用受到限制.如果把f(a)=f(b)這個條件取消，但仍保留其余兩個條件，并相應地改變結論，那么就得到微分學中十分重要的拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(3-1)成立.在證明之前，先看一下定理的幾何意義.如果把(3-1)式改寫成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由圖3-2可看出，f(b)-f(a)b-a為弦AB的斜率，而f′(ξ)為曲線在點C處的切線的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于弦AB.從羅爾定理的幾何意義中(見圖3-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x軸的，因此點C處的切線實際上也平行于弦AB.由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

從上述拉格朗日中值定理與羅爾定理的關系，自然想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)不一定具備f(a)=f(b)這個條件，為此我們設想構造一個與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)φ(x)(稱為輔助函數(shù))，使φ(x)滿足條件φ(a)=φ(b).然后對φ(x)應用羅爾定理，再把對φ(x)所得的結論轉化到f(x)上，證得所要的結果.

由拉格朗日中值定理可以得到下面的推論：

推論1設函數(shù)f(x)在區(qū)間I內恒有f′(x)=0，那么在區(qū)間I內函數(shù)f(x)=C，其中C為常數(shù).

推論2設f(x)、g(x)是在I內的可導函數(shù)，若f′(x)=g′(x)，則f(x)-g(x)=C，其中C為常數(shù).

證明

在區(qū)間I內任取兩個點x1，x2，不妨設x1＜x2，應用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間I內恒有f′(x)=0，則f′(ξ)=0，故等式右端為零，即f(x1)=f(x2)，這表明在區(qū)間I內任意兩點處的函數(shù)值都相等，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間I內是一個常數(shù).

它在微分學中占有重要地位，有時也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.三、柯西中值定理

前面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧AB上除端點外處處具有不垂直橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點C,使曲線在點C處的切線平行于弦AB.設AB由參數(shù)方程X=F(x)，Y=f(x)(a≤x≤b)表示，其中x為參數(shù).那么曲線上點(X,Y)處的切線的斜率為dY/dX=f′(x)F′(x)，弦AB的斜率為f(b)-f(a)F(b)-F(a).

假定點C對應于參數(shù)x=ξ，那么曲線上點C處的切線平行于弦AB，可表示為f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ).與這一事實相應的是柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且F′(x)在(a,b)內的每一點處均不為零，那么在(a,b)內至少有一點ξ，使等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.第二節(jié)洛必達法則

如果當x→x0(或x→∞)時，函數(shù)f(x)和g(x)都趨向于零，或都趨向于無窮大，那么此時極限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把這種形式的極限叫做未定式，并分別簡稱為0/0型或∞/∞型不定式.對于未定式，不能直接用極限運算法則求得.下面介紹洛必達法則，它是求這類極限的簡便而有效的方法.一、0/0型未定式第三節(jié)函數(shù)單調性的判定法

如圖3-4所示，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，這時，曲線上各點切線的傾斜角都是銳角，它們的切線斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同樣地，如圖3-5所示，如果函數(shù)y=f(x)在［a，b］上單調減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，這時曲線上各點切線的傾斜角都是鈍角，

它們的斜率f′(x)都是負的，即f′(x)＜0.由此可見，函數(shù)的單調性與導數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系.下面，我們給出利用導數(shù)判定函數(shù)單調性的定理.第四節(jié)函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義

在圖3-10中我們可以看出，函數(shù)y=f(x)在c1,c4的函數(shù)值f(c1),f(c4)比它們兩旁各點的函數(shù)值都大,而在點c2,c5的函數(shù)值f(c2),f(c5)比它們兩旁各點的函數(shù)值都小.對于這種性質的點和對應的函數(shù)值，我們給出如下的定義.定義

設函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內有定義，x0∈(a,b).如果對于點x0近旁的任意點x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，點x0稱為f(x)的一個極大值點；如果對于點x0近旁的任意點x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，點x0稱為f(x)的極小值點.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.（1）極值是指函數(shù)值，而極值點是指自變量的值，兩者不應混淆.(2)函數(shù)的極值概念是局部性的，它只是在與極值點近旁的所有點的函數(shù)值相比較為較大或較小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內最大或最小.因此，函數(shù)的極大值不一定比極小值大.如在圖3-10中，極大值f(c1)就比極小值f(c5)還小.(3)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間內部，區(qū)間的端點不能成為極值點；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間內部，也可能是區(qū)間的端點.二、函數(shù)極值的判定和求法

如圖3-10所示，在函數(shù)取得極值處，曲線的切線是水平的，即在極值點處函數(shù)的導數(shù)為零.但曲線上有水平切線的地方，函數(shù)卻不一定取得極值.例如，在點c3處，曲線具有水平切線，這時f′(c3)=0，但f(c3)并不是極值.下面我們討論函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件.定理1設函數(shù)f(x)在點x0處可導，且在點x0處取得極值，則必有f′(x0)=0.

使導數(shù)為零的點(即方程f′(x)=0的實根)叫做函數(shù)f(x)的駐點(又叫穩(wěn)定點).

定理1說明可導函數(shù)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點并不一定是極值點，例如x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點，但x=0不是它的極值點.

既然函數(shù)的駐點不一定是它的極值點,那么,當我們求出函數(shù)的駐點后,怎樣判別它們是否為極值點呢?如果是極值點,又怎樣進一步判定是極大值點還是極小值點呢?為了解決這些問題,我們先借助圖形來分析一下函數(shù)f(x)在點x0取得極值時,點x0左右兩側導數(shù)f′(x)的符號變化的情況.如圖3-11所示,函數(shù)f(x)在點x0取得極大值,在點x0的左側單調增加,有f′(x)＞0;在點x0的右側單調減少,有f′(x)＜0.對于函數(shù)在點x0取得極小值的情形,讀者可結合圖3-12類似地進行討論.

由此可給出函數(shù)在某點處取得極值的充分條件.定理