概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（本科）PPT完整全套教學(xué)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章隨機(jī)事件及概率第2章隨機(jī)變量及其分布第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第4章大數(shù)定律與中心極限定理第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第6章參數(shù)估計(jì)第7章假設(shè)檢驗(yàn)第8章方差分析及回歸分析初步全套PPT課件目錄第１章隨機(jī)事件及概率1.1隨機(jī)事件與樣本空間1.2概率定義及概率的性質(zhì)1.3古典概型與幾何概型1.4條件概率的計(jì)算公式1.5獨(dú)立性與伯努利概型隨機(jī)事件及概率011.1隨機(jī)事件與樣本空間隨機(jī)事件與樣本空間是概率論中的兩個最基本的概念1.隨機(jī)事件

機(jī)試驗(yàn)總有一定的觀察目的，除了考察其所有可能結(jié)果組成的樣本空間外，還需觀察其他的各種各樣的結(jié)果．實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.

結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.1.1隨機(jī)事件與樣本空間

實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會各不相同”.1.1隨機(jī)事件與樣本空間樣本空間：2.樣本空間基本事件：隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中每種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件不能再分的最簡單的隨機(jī)事件全體基本事件構(gòu)成的集合

(通常用大寫希臘字母表示)

實(shí)例：

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試驗(yàn)中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.1.2概率定義及概率的性質(zhì)1.概率的描述性定義隨機(jī)事件A

發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率，記為P(A)2.概率的統(tǒng)計(jì)定義1.頻率的概念對于事件A，若在n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為次，則稱試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，稱為事件A在這n次試驗(yàn)中的頻數(shù)。為事件A在n次1.2概率定義及概率的性質(zhì)頻率反映了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，頻率大，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就大；頻率小，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就小。實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐K·皮爾遜K·皮爾遜204810610.5181204840400.50691200060190.501624000120120.5005逐漸穩(wěn)定頻率的穩(wěn)定性1.2概率定義及概率的性質(zhì)3.概率的描述性定義

定義在事件域F上的一個集合函數(shù)

稱為概率。非負(fù)性：3.可列可加性：

2.規(guī)范性：如果它滿足如下三個條件：且兩兩互不相容,有

1930年后由前蘇聯(lián)科學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出

1.2概率定義及概率的性質(zhì)4.概率的性質(zhì)從頻率的定義可見頻率具有如下性質(zhì)（１）非負(fù)性（２）規(guī)范性

（３）有限可加性

（4）（5）（6）,則若1.3古典概型與幾何概型1.古典概型具有以下兩個特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型：(1)有限性：試驗(yàn)的樣本空間只含有限個樣本點(diǎn)；(2)等可能性：試驗(yàn)中每個基本事件發(fā)生的可能性相同．對于古典概型，若樣本空間中共有n個樣本點(diǎn)，事件A包含k個樣本點(diǎn)，則事件A的概率為古典概型下的概率常稱為古典概率1.3古典概型與幾何概型1.古典概型（摸球問題）箱中盛有個白球和個黑球，從其中任意地接連取出k+1個球(k+1

+

)，如果每個球被取出后不再放回，試求最后取出的球是白球的概率．分析：判斷試驗(yàn)的類別？判斷是用排列還是組合來考慮？（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率被分配在N（nN）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n間房中各有一人”(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”1.3古典概型與幾何概型2.幾何概型具有以下兩個特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為幾何概型：(1)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為某可度量的區(qū)域；(2)中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)．對于幾何概型，若事件A是中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件A的概率為其中，如果是一維、二維或三維的區(qū)域，則的幾何度量分別是長度、面積和體積．幾何概型下的概率常稱為幾何概率。1.3古典概型與幾何概型2.幾何概型（約會問題）甲乙兩人約定在下午6點(diǎn)到7點(diǎn)之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．分析：首先判斷試驗(yàn)是否是幾何概型，這需要用數(shù)學(xué)方式來看待試驗(yàn)，這是關(guān)鍵一步。

如果解決，不僅可以判斷是否為幾何概型，而且在是的情形下，能方便給出樣本空間和事件的數(shù)學(xué)表達(dá)，進(jìn)而能找到各自的幾何度量。

以x

和y分別代表甲乙兩人到達(dá)約會地點(diǎn)的時間，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系。

1.3古典概型與幾何概型2.幾何概型（約會問題）甲乙兩人約定在下午6點(diǎn)到7點(diǎn)之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．分析：因甲乙都是在0到60分鐘內(nèi)等可能到達(dá)，樣本空間為可度量的矩形區(qū)域，且這種等可能保證了試驗(yàn)滿足幾何概型的第二個條件，因此這是一個幾何概型問題。

1.4條件概率的計(jì)算公式條件概率的定義若（Ω，F(xiàn)，P）是一個概率空間，B∈F，且P(B)＞０，對任意A∈F，稱P（A｜B）＝P（AB）P（B）為在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率．條件概率的性質(zhì)1.4條件概率的計(jì)算公式條件概率的計(jì)算方法

由條件概率的定義可知，當(dāng)P（A）＞０時，P（AB）＝P（A）P（B｜A）．同理，當(dāng)P（B）＞０時，P（AB）＝P（B）P（A｜B）．這兩個公式稱為乘法公式．1.4條件概率的計(jì)算公式條件概率的計(jì)算方法例

某種燈泡用5000小時未壞的概率為，用10000小時未壞的概率為，現(xiàn)有一只這種燈泡已用了5000小時未壞，問它能用到10000小時的概率是多少？解：設(shè)B=“燈泡用到5000小時”，A=“燈泡用到10000小時”我們知道用到10000小時的燈泡一定用了5000小時，即所以AB=A，1.5獨(dú)立性與伯努利概型事件的獨(dú)立性

獨(dú)立性是概率論中一個重要的概念，利用獨(dú)立性可以簡化事件概率的計(jì)算．下面先討論兩個事件的獨(dú)立性，然后再討論多個事件的獨(dú)立性．１．獨(dú)立性的概念（１）兩個事件的獨(dú)立性

設(shè)袋中有５個球（３新２舊），每次從中取１個，有放回地取２次，A＝｛第一次取得新球｝，B＝｛第二次取得新球｝，求P（A），P（B），P（A

B）．先看一個具體的例子：1.5獨(dú)立性與伯努利概型事件的獨(dú)立性P（A｜B）＝P（B），由此可得P（AB）＝P（A）P（B）．定義１設(shè)A，B∈F，若P（AB）＝P（A）P（B），則稱事件A，B是相互獨(dú)立的，簡稱為A，B獨(dú)立．

根據(jù)定義，兩個事件的獨(dú)立性，實(shí)質(zhì)上就是一個事件的發(fā)生，不影響另一個事件的發(fā)生．必然事件Ω和不可能事件與任何事件都是相互獨(dú)立的，因?yàn)楸厝皇录c不可能事件的發(fā)生與否，的確不受任何事件的影響，也不影響其他事件是否發(fā)生．1.5獨(dú)立性與伯努利概型伯努利概型（１）伯努利試驗(yàn)若試驗(yàn)E

只有兩個可能的結(jié)果A及A，則稱這個試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)．（２）伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

具有如下特征：①每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件A

和事件A；③每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同，即P（A）＝p，P（A）＝１－p＝q，在每次試驗(yàn)中保持不變．___謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第2

章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.5條件分布隨機(jī)變量及其分布022.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分類１．概念

我們討論過不少隨機(jī)試驗(yàn)，其中有些試驗(yàn)的結(jié)果就是數(shù)量，例如，袋中有５個球（３白２黑），從中任?。城颍瑒t取到的黑球數(shù)可能為０，１，２，本身就是數(shù)量且黑球數(shù)隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。又如，在“n重伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次”這一事件的概率。

有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然本身不是數(shù)量，但也可以用數(shù)量來表示這些試驗(yàn)的結(jié)果．例從一批廢品率為

p

的產(chǎn)品中有放回地抽取n

次，每次取一件產(chǎn)品，考慮取到廢品的次數(shù)，這一試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝｛０，１，２，…，n｝．如果用X

表示取到廢品的次數(shù)，那么X的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果．當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果確定了，犡的取值也就隨之確定了．比如，進(jìn)行了一次這樣的隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為ω＝１，即在n

次抽取中，只有一次取到了廢品，那么X＝１．2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分類２．隨機(jī)變量的分類

從隨機(jī)變量的取值情況來看，若隨機(jī)變量的可能取值只有有限個或可列個，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量．不是離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)稱為非離散型隨機(jī)變量．若隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，它是非離散型隨機(jī)變量的特殊情形．一維隨機(jī)變量表示坐標(biāo)軸上的一個隨機(jī)點(diǎn)，二維隨機(jī)變量表示二維坐標(biāo)平面上一個隨機(jī)點(diǎn)．引入了隨機(jī)變量之后，隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量來描述．2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)１．分布函數(shù)的概念

對于隨機(jī)變量X，我們不只是看它取哪些值，更重要的是看它以多大的概率取那些值．由隨機(jī)變量的定義可知，對于每一個實(shí)數(shù)x，｛X≤x｝都是一個事件，因此有一個確定的概率P（X≤x）與狓相對應(yīng)，所以概率P（X≤x）是x的函數(shù)．這個函數(shù)在理論和應(yīng)用中都是很重要的．２．分布函數(shù)的性質(zhì)2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)２．分布函數(shù)的性質(zhì)2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)２．分布函數(shù)的性質(zhì)2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)２．分布函數(shù)的性質(zhì)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列一維離散型隨機(jī)變量及其分布列１．概念

定義在樣本空間Ω上，取值于實(shí)數(shù)域R，且只取有限個或可列個值的變量X＝X（ω），稱為一維（實(shí)值）離散型隨機(jī)變量，簡稱離散型隨機(jī)變量．討論離散型隨機(jī)變量主要要搞清楚兩個方面問題：一是隨機(jī)變量的所有可能取值；二是隨機(jī)變量取這些可能值的概率．2．分布列（律）

如果離散型隨機(jī)變量X的可能取值為ai（i＝１，２，…），相應(yīng)的取值ai的概率P（X＝ai）＝pi，稱pi＝P（X＝ai）（i＝１，２，…）為隨機(jī)變量X的分布列，也稱為分布律，簡稱分布．2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

由離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)及多維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義，離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性也可以采用如下定義：

設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為ai（i＝１，２，…），Y的可能取值為bj（j＝１，２，…），如果對任意的ai，bj，總有P（X＝ai，Y＝bj）＝P（X＝ai）P（Y＝bj）成立，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立．兩個隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，也就意味著X與Y之間的取值互不影響．2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)１．概念

設(shè)（X，Y）為一個二維隨機(jī)變量，F(xiàn)（x，y）為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在可積函數(shù)p（x，y），使對任意的（x，y），有成立，則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)（x，y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，稱p（x，y）是F（x，y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為聯(lián)合密度．2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)得聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：（１）非負(fù)性：p（x，y）≥０．（２）規(guī)范性：反過來，具有上述兩個性質(zhì)的二元函數(shù)必定可以作為某個二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)．此外，聯(lián)合密度函數(shù)還具有以下性質(zhì)：（３）若p（x，y）在點(diǎn)（x，y）處連續(xù)，F(xiàn)（x，y）是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有（４）若G

是平面上的某一區(qū)域，則P（（X，Y）∈G）＝這表明（X，Y）取值落在平面上任一區(qū)域

G內(nèi)的概率，可以通過密度函數(shù)p（x，y）在G上的二重積分求得．2．聯(lián)合密度的性質(zhì)2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)3．邊緣密度函數(shù)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為p（x，y），則X的邊際分布函數(shù)為這表明X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱X的密度函數(shù)為邊際密度函數(shù)．其邊際密度函數(shù)為類似地，Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，Y的邊際密度函數(shù)為由此可以看出，邊際密度由聯(lián)合密度唯一確定，反之，不一定成立．2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)g（x）是定義在隨機(jī)變量

X的一切可能取值a的集合上的函數(shù)，這樣隨機(jī)變量Y，當(dāng)X取值a時，它的取值為y＝g（a），稱Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)，記為Y＝g（X）．例

設(shè)X的分布列為求Y＝２X＋１的分布列．解：Y的可能取值為1，3，5，7，9，11，它們互不相同，則Y的分布列為2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

２.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列

設(shè)（X，Y）是一個二維離散型變量，f（x，y）是實(shí)變量x和y的單值函數(shù)，這時Z＝f（X，Y）仍是一個一維的離散型隨機(jī)變量．2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知X的分布函數(shù)

Fx（x）或概率密度函數(shù)

px（x），則隨機(jī)變量函數(shù)Y＝g（X）的密度函數(shù)可按如下方法求得.

先求Y的分布函數(shù)，其中Cy＝｛x丨

g（x）≤y｝.2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布而P（X∈Cy）常常可用X的分布函數(shù)Fx（x）來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)

px（x）的積分表達(dá)：再求Y的密度函數(shù)，通過對Y的分布函數(shù)FY（y）求導(dǎo)，可求出Y的密度函數(shù)．這種求隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法被稱為分布函數(shù)法．2.5條件分布條件分布的概念

設(shè)X為一個隨機(jī)變量，A為一個隨機(jī)事件，并且A的發(fā)生可能會對事件（X≤x）發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，對任一給定的實(shí)數(shù)x，稱為在事件A發(fā)生條件下X的條件分布函數(shù)．2.5條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布為P（X＝ai，Y＝bi）＝pig，i＝１，２，…，j＝１，２，…，仿照條件概率的定義，我們很容易給出離散型隨機(jī)變量的條件分布列．定理１設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的邊際分布分別為pi·，p·j，條件分布分別為pi｜j，pj｜i，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是pi｜j＝pi·及pj｜i＝p·j，對所有i，j都成立．謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第3

章隨機(jī)變量的數(shù)字特征3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.2隨機(jī)變量的方差3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)3.4條件期望與條件方差隨機(jī)變量的數(shù)字特征033.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的概念１．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

我們知道，離散型隨機(jī)變量的分布列可以全面地描述這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但在許多實(shí)際問題中，這樣的“全面描述”有時并不使人感到方便．例一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望的概念此時，概率分布為2．連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為p（x），在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)…＜x0＜x1＜x2＜x3＜…，則X落在小區(qū)間［x1，xi＋１）的概率為:3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望１.退化分布

設(shè)X的分布列為P（X＝c）＝１，則E（X）＝c．２.兩點(diǎn)分布

設(shè)X的分布列為則E（X）＝p．3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望3.二項(xiàng)分布

設(shè)X～b（k；n，p），則E（X）＝np．事實(shí)上，3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望4.幾何分布3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望5.泊松分布

由此可知，泊松分布的參數(shù)λ就是它的均值，由概率分布可唯一地確定其數(shù)學(xué)期望；反過來，由于泊松分布是由λ確定的，因此，只要知道它的均值，也就唯一確定了泊松分布．3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望６.均勻分布3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望7.指數(shù)分布8.正態(tài)分布3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望幾種常用分布的期望９.Γ－分布3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望１.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望２．連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3.2隨機(jī)變量的方差方差的概念3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差幾種常用分布的方差3.2隨機(jī)變量的方差方差的性質(zhì)3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義注意：協(xié)方差是反映隨機(jī)變量X，Y之間是否存在線性關(guān)系的數(shù)量指標(biāo)．3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差計(jì)算公式協(xié)方差計(jì)算性質(zhì)

由協(xié)方差的定義容易驗(yàn)證，協(xié)方差具有如下性質(zhì)：3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)定義3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)矩

矩是隨機(jī)變量最廣泛的數(shù)字特征。均值、方差、協(xié)方差實(shí)際上都是某種矩．現(xiàn)介紹最常用的幾種矩——原點(diǎn)矩、中心矩及混合矩。3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)矩

矩是隨機(jī)變量最廣泛的數(shù)字特征。均值、方差、協(xié)方差實(shí)際上都是某種矩．現(xiàn)介紹最常用的幾種矩——原點(diǎn)矩、中心矩及混合矩。3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣3.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)n維正態(tài)分布的概率密度3.4條件期望與條件方差條件期望定義3.4條件期望與條件方差條件期望性質(zhì)

因?yàn)闂l件期望是條件分布的數(shù)學(xué)期望，所以條件期望具有類似無條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（以下設(shè)所討論條件期望存在）。下面以連續(xù)型隨機(jī)變量為例，謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第4

章大數(shù)定律與中心極限定理4.1大數(shù)定律4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性4.3中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理044.1大數(shù)定律4.1大數(shù)定律4.1大數(shù)定律4.1大數(shù)定律大數(shù)定律的意義

大數(shù)定律又稱大數(shù)法則、大數(shù)率。在一個隨機(jī)事件中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定值；同時，在對物理量的測量實(shí)踐中，大量測定值的算術(shù)平均也具有穩(wěn)定性。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，一般有三個定理，貝努利定理和辛欽定理，如：反映算術(shù)平均值和頻率的穩(wěn)定性。當(dāng)n很大時，算術(shù)平均值接近數(shù)學(xué)期望；頻率以概率收斂于事件的概率。4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

隨機(jī)變量序列的收斂性有多種，其中常用的有兩種：依概率收斂和依分布收斂．依概率收斂4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性依分布收斂4.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性4.3中心極限定理中心極限定理的概念4.3中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理4.3中心極限定理德莫佛—拉普拉斯中心極限定理

德莫佛—拉普拉斯中心極限定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，它有許多重要的應(yīng)用．下面介紹它在數(shù)值計(jì)算方面的一些具體應(yīng)用．4.3中心極限定理由此可知，德莫佛—拉普拉斯中心極限定理比伯努利大數(shù)定律更強(qiáng)，也更有用謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念5.1總體與樣本5.2直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念055.1總體與樣本定義：在一個統(tǒng)計(jì)問題中，稱研究對象的全體為總體。構(gòu)成總體的每個成員或每個研究對象稱為個體。

一批燈泡是總體，其中的每個燈泡是個體；一個城市的人口是總體，這個城市的每個人是個體。我們通常關(guān)心某個總體的某個（某些）數(shù)量指標(biāo)（或數(shù)量化的屬性特征），一般用X表示所要考察的數(shù)量指標(biāo)（如燈泡的壽命，零件的尺寸，兒童的身高等）。隨機(jī)試驗(yàn)是從總體中隨機(jī)地取出一個個體，測定這個數(shù)量指標(biāo)的值X，那么X作為隨機(jī)試驗(yàn)中被測量的量是一個隨機(jī)變量，稱它為表征總體的隨機(jī)變量。例如，對于燈泡這個總體，燈泡的使用壽命就是表征它的隨機(jī)變量；對于零件這個總體，零件的尺寸就是表征它的隨機(jī)變量。總體與個體5.1總體與樣本簡單隨機(jī)樣本

實(shí)際上，從總體中抽取樣本可以有各種不同的方法．例如，設(shè)一組抽獎券共１００００張，其中有５張有獎．問：連續(xù)抽取３張均有獎的概率為多少？對于這個問題，我們可以采取“有放回”或“無放回”連續(xù)抽?。@然無放回的抽樣方式不是獨(dú)立的，每次抽樣的結(jié)果都將影響下一次抽樣的分布，這種抽樣不是我們所希望的抽樣．而有放回的抽樣，則是多次獨(dú)立的抽樣，它們是同分布的，是我們通常所采用的抽樣，稱為隨機(jī)抽樣．5.1總體與樣本參數(shù)與參數(shù)空間

數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對總體一無所知，那么所能做出的推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，往往是知道總體所具有的分布形式，而不知道的僅僅是分布中的參數(shù)．這在實(shí)際中是大量能見到的，因?yàn)榭傮w的分布形式我們往往可以通過具體的應(yīng)用背景或以往的經(jīng)驗(yàn)加以確定。

對于統(tǒng)計(jì)推斷，如果總體的分布形式已知，僅對參數(shù)進(jìn)行推斷，我們稱之為參數(shù)推斷（估計(jì)，檢驗(yàn)）；否則，稱為非參數(shù)推斷．5.2直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)直方圖

設(shè)X1，X2，…，Xn是總體X的一個樣本，又設(shè)總體具有概率函數(shù)f（x），如何用樣本來推斷f（x）？注意到現(xiàn)在的樣本是一組實(shí)數(shù)，因此，一個直觀的辦法是將實(shí)軸劃分為若干小區(qū)間，記下各個觀察值Xi落在每個小區(qū)間中的個數(shù)，根據(jù)大數(shù)定律中頻率近似概率的原理，從這些個數(shù)來推斷總體在每一小區(qū)間上的密度。5.2直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)由此可見，F(xiàn)n（x）是一個分布函數(shù)，稱作經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量的概念5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量的概念5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量的分布

統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布．5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布分位數(shù)5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布正態(tài)總體的抽樣分布謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第6章參數(shù)估計(jì)6.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)6.2估計(jì)量的評價準(zhǔn)則6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)066.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的概念6.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)矩法估計(jì)

對于隨機(jī)變量來說，矩是其最廣泛、最常用的數(shù)字特征，總體X的各階矩一般與X分布中所含的未知參數(shù)有關(guān)，有的甚至就等于未知參數(shù)．由辛欽大數(shù)定律，簡單隨機(jī)樣本構(gòu)成的樣本矩依概率收斂到相應(yīng)的總體矩，自然會想到用樣本矩替換總體的相應(yīng)矩，進(jìn)而找出未知參數(shù)的估計(jì)，基于這種思想求估計(jì)量的方法稱為矩法．用矩法求得的估計(jì)稱為矩法估計(jì)，簡稱矩估計(jì)．6.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)

矩法估計(jì)具有直觀、簡便等優(yōu)點(diǎn)，特別是求總體均值和方差的矩估計(jì)時并不要求了解總體的分布，但它有缺點(diǎn)：對原點(diǎn)矩不存在的分布如柯西分布不能用，另外，它也沒有充分利用總體分布F（x，θ）對θ提供的信息．下面再介紹一種求點(diǎn)估計(jì)的方法———最大（極大）似然法．極大似然法最早是由高斯提出的，后來費(fèi)希爾在１９１２年的一篇文章中重新提出，并證明了這個方法的一些性質(zhì)，極大似然估計(jì)這一名稱也是由費(fèi)希爾給出的，這是目前仍得到廣泛應(yīng)用的一種求估計(jì)的方法，它建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上，即一個隨機(jī)試驗(yàn)下有若干個可能的結(jié)果犃，犅，犆，…，如在一次試驗(yàn)中，結(jié)果犃出現(xiàn)了，那么可以認(rèn)為P（A）較大．6.2估計(jì)量的評價準(zhǔn)則無偏性6.2估計(jì)量的評價準(zhǔn)則一致性（相合性）區(qū)間估計(jì)的一般步驟6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的一般步驟6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

這里要使區(qū)間最短，計(jì)算太復(fù)雜，因此，在取分位點(diǎn)時采用類似主對稱型分布的取法，使密度函數(shù)圖形兩端的尾部面積均為謝謝觀看概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄第7章假設(shè)檢驗(yàn)7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和程序7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)7.3檢驗(yàn)的實(shí)際意義及兩類錯誤7.4非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)077.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和程序假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

假設(shè)檢驗(yàn)，它先假設(shè)總體具有某種特征（如總體的參數(shù)為多少），然后再通過對樣本的加工，即構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，推斷出假設(shè)的結(jié)論是否合理．純粹從邏輯上考慮，似乎對參數(shù)的估計(jì)與對參數(shù)的檢驗(yàn)不應(yīng)有實(shí)質(zhì)性的差別。

假設(shè)檢驗(yàn)有它獨(dú)特的統(tǒng)計(jì)思想。在應(yīng)用上，假設(shè)檢驗(yàn)解決的問題要比參數(shù)估計(jì)解決的問題廣泛得多．根據(jù)具體問題設(shè)立不同的零假設(shè)，隨之采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也不同，從而產(chǎn)生各種具體的檢驗(yàn)方法7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和程序假設(shè)檢驗(yàn)的程序7.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和程序假設(shè)檢驗(yàn)的程序7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)U—檢驗(yàn)

U—檢驗(yàn)適用于在方差已知的情況下，對期望的檢驗(yàn)（單總體或雙總體情形）．１．單總體情形２．雙總體情形7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)T—檢驗(yàn)T—檢驗(yàn)用于當(dāng)方差未知時對期望的檢驗(yàn)，可以是單總體，也可以是雙總體．當(dāng)然對于雙總體，它們的樣本之間應(yīng)該是獨(dú)立的１．單總體情形２．雙總體的情形7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)x2檢驗(yàn)7.2正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)F－檢驗(yàn)7.3檢驗(yàn)的實(shí)際意義及兩類錯誤檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義

我們知道檢驗(yàn)的原理是“小概率事件在一次試驗(yàn)中不發(fā)生”，以此作為推斷的依據(jù)，決定是接受H0或拒絕H0。但是這一原理只是在概率意義下成立，并不是嚴(yán)格成立的，即不能說小概率事件在一次試驗(yàn)中絕對不可能發(fā)生．也就是說假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果不一定完全正確．

同時要注意，在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1的地位是不對等的．一般來說α是較小的，因而檢驗(yàn)推斷是“偏向”原假設(shè)，而“歧視”備擇假設(shè)的．因?yàn)橥ǔＨ粢穸ㄔ僭O(shè)，需要有顯著性的事實(shí)，即小概率事件發(fā)生，否則就認(rèn)為原假設(shè)成立．因此在檢驗(yàn)中接受H0，并不等于從邏輯上證明了H0的成立，只是找不到H0不成立的有力證據(jù)。7.3檢驗(yàn)的實(shí)際意義及兩類錯誤檢驗(yàn)中的兩類錯誤

一是實(shí)際情況是H0成立，而