2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷和B卷試題和答案word版

/2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試一、填空題1.設(shè)是定義在上的函數(shù).對任意實(shí)數(shù)有.又當(dāng)時(shí)..則的值為__________.2.若實(shí)數(shù)滿足.則的取值范圍是__________.3.在平面直角坐標(biāo)系中.橢圓的方程為.為的上焦點(diǎn).為的右頂點(diǎn).是C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).則四邊形OAPF的面積的最大值為__________.4.若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過1.則稱其為"平穩(wěn)數(shù)".平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是。5.正三棱錐P-ABC中.AB=1.AP=2.過AB的平面α將其體積平分.則棱PC與平面α所成角的余弦值為________.6.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)集.在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn).則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為的概率為__________.7.在中.是邊的中點(diǎn).是線段的中點(diǎn).若.的面積為.則的最小值為__________.8.設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列滿足：.對任意正整數(shù).有..則的所有可能值為__________.二、解答題9.設(shè)為實(shí)數(shù).不等式對所有成立.證明：.10.設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù).滿足.求的最小值和最大值.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足..且〔其中表示復(fù)數(shù)的實(shí)部.〔1求的最小值；〔2求的最小值.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試一.如圖.在中..為的內(nèi)心.以為圓心.為半徑作圓.以為圓心.為半徑作圓.過點(diǎn)的圓與,分別交于點(diǎn)〔不同于點(diǎn).設(shè)與交于點(diǎn).證明：二.設(shè)數(shù)列定義為..求滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù).三.將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一.使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰連個(gè)小方格的顏色不同.則稱它們的公共邊為"分隔邊".試求分隔邊條數(shù)的最小值.四.設(shè)均是大于1的整數(shù)..是個(gè)不超過的互不相同的正整數(shù).且互素.證明：對任意實(shí)數(shù).均存在一個(gè).使得.這里表示實(shí)數(shù)到與它最近的整數(shù)的距離.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試答案一.二.三.四.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試〔B卷一、填空題：本大題共8個(gè)小題,每小題8分,共64分.1.在等比數(shù)列中...則的值為.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足.則的值為.3.設(shè)是定義在上的函數(shù).若是奇函數(shù).是偶函數(shù).則的值為.4.在中.若.且三條邊成等比數(shù)列.則的值為.5.在正四面體中.分別在棱上.滿足..且與平面平行.則的面積為.6.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)集.在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn).則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離均不超過2的概率為.7.設(shè)為非零實(shí)數(shù).在平面直角坐標(biāo)系中.二次曲線的焦距為4.則的值為.8.若正整數(shù)滿足.則數(shù)組的個(gè)數(shù)為.二、解答題〔本大題共3小題.共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9.設(shè)不等式對所有成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.10.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列滿足..〔1證明：數(shù)列也是等差數(shù)列；〔2設(shè)數(shù)列、的公差均是.并且存在正整數(shù).使得是整數(shù).求的最小值.11.在平面直角坐標(biāo)系中.曲線.曲線.經(jīng)過上一點(diǎn)作一條傾斜角為的直線.與交于兩個(gè)不同的點(diǎn).求的取值范圍.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試〔B卷一、〔本題滿分40分設(shè)實(shí)數(shù)滿足.令.證明：二、〔本題滿分40分給定正整數(shù).證明：存在正整數(shù).使得可將正整數(shù)集分拆為個(gè)互不相交的子集.每個(gè)子集中均不存在4個(gè)數(shù)〔可以相同.滿足.三、〔本題滿分50分如圖.點(diǎn)是銳角的外接圓上弧的中點(diǎn).直線與圓過點(diǎn)的切線分別相交于點(diǎn).與的交點(diǎn)為.與的交點(diǎn)為.與的交點(diǎn)為.求證：平分線段.四、〔本題滿分50分設(shè)..集合.求的元素個(gè)數(shù)的最大值.一試試卷答案1.答案：解：數(shù)列的公比為.故.2.答案：。解：設(shè).由條件得.比較兩邊實(shí)虛部可得.解得：.故.進(jìn)而.3.答案：。解：由條件知...兩式相加消去.可知：.即.4.解：由正弦定理知..又.于是.從而由余弦定理得：.5.解：由條件知.平行于.因?yàn)檎拿骟w的各個(gè)面是全等的正三角形.故..由余弦定理得..同理有.作等腰底邊上的高.則.故.于是.6.解：注意中共有9個(gè)點(diǎn).故在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為種.當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時(shí).有如下三種情況：〔1三點(diǎn)在一橫線或一縱線上.有6種情況.〔2三點(diǎn)是邊長為的等腰直角三角形的頂點(diǎn).有種情況.〔3三點(diǎn)是邊長為的等腰直角三角形的頂點(diǎn).其中.直角頂點(diǎn)位于的有4個(gè).直角頂點(diǎn)位于.的各有一個(gè).共有8種情況.綜上可知.選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為.進(jìn)而所求概率為.7.解：二次曲線方程可寫成.顯然必須.故二次曲線為雙曲線.其標(biāo)準(zhǔn)方程為.則.注意到焦距.可知.又.所以.8.解：由條件知.當(dāng)時(shí).有.對于每個(gè)這樣的正整數(shù).由知.相應(yīng)的的個(gè)數(shù)為.從而這樣的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí).由.知..進(jìn)而.故.此時(shí)共有2組.綜上所述.滿足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為.9.解：設(shè).則.于是對所有成立.由于..對給定實(shí)數(shù).設(shè).則是關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù).注意.因此等價(jià)于.解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.解：〔1設(shè)等差數(shù)列的公差為.則所以數(shù)列也是等差數(shù)列.〔2由已知條件及〔1的結(jié)果知：.因?yàn)?故.這樣若正整數(shù)滿足.則.記.則.且是一個(gè)非零的整數(shù).故.從而.又當(dāng)時(shí).有.綜上所述.的最小值為.11.解：設(shè).則直線的方程為.代入曲線的方程得..化簡可得：①.由于與交于兩個(gè)不同的點(diǎn).故關(guān)于的方程①的判別式為正.計(jì)算得..因此有.②設(shè)的橫坐標(biāo)分別為.由①知...因此.結(jié)合的傾斜角為可知..③由②可知..故.從而由③得：注1：利用的圓心到的距離小于的半徑.列出不等式.同樣可以求得②中的范圍.注2：更簡便的計(jì)算的方式是利用圓冪定理.事實(shí)上.的圓心為.半徑為.故.加試試卷答案一、證明：當(dāng)時(shí).不等式顯然成立以下設(shè).不妨設(shè)不異號.即.那么有因此二、證明：取.令.設(shè).則.故.而.所以在中不存在4個(gè)數(shù).滿足三、證明：首先證明.即證連接.因?yàn)?所以.①由題設(shè).是圓的切線.所以..又〔注意是弧的中點(diǎn).于是由①知②因?yàn)?所以.于是③而④由②.③.④得.即又.故設(shè)邊的中點(diǎn)為.因?yàn)?所以由塞瓦定理知.三線共點(diǎn).交點(diǎn)即為.故由可得平分線段四、解：考