計數(shù)原理綜合10大題型

計數(shù)原理綜合10大題型

命題趨勢

排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，

難度基本穩(wěn)定在中等。二項式定理問題是高考的熱門考點，主要考查二項展開式

的通項，二項式系數(shù)和及各項系數(shù)和等問題，從近幾年來看，圍繞二項展開式的

通項公式命題，考查某一項或考查某一項的系數(shù)較多。

滿分技巧

一、排列組合常見問題的解題策略

1、特殊優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;

2、相鄰捆綁法：相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的

內(nèi)部排列；

3、不相鄰插空法：先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

元素排列的空檔中；

4、定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；

5、定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可；

6、間接法：正面分類太多從反面入手；

7、直接法：分排問題直排處理；

8、重排求幕法：可以重復(fù)的排列問題實際以元素為研究對象，元素不受位置限

制，可以逐一安排各個元素；

9、多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研

究；

10、分組分配

(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；

(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，

有陽組元素個數(shù)相同，則分組后除以〃?！；③完全非均勻分組，只要分

組即可；

(3)分配：①相同元素的分配問題，常用"擋板法"；②不同元素的

分配問題，分步乘法計數(shù)原理，先分組后分配；③有限制條件的分配

問題，采用分類求解；

11、相同元素隔板法：將〃個相同的元素分成，”份，每份至少一個元素，

可以用m-1塊隔板插入〃個元素排成一排的〃-1個空隙中,所有分法

數(shù)為第：

二、求二項展開式的特定項的常用方法

1、對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；

2、對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的

項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于

整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；

3、對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負整數(shù)，

求解方式與求有理項一致.

熱點題型解讀

/I

題型1兩種計數(shù)原理題型6最短路徑問題

題型2涂色問題題型7二項展開式的特定項求解

題型3排序問題題型8二項式系數(shù)與項的系數(shù)最值

題型4排數(shù)問題題型9系數(shù)和問題

題型5分組分配問題題型10楊輝三角形

【題型1兩種計數(shù)原理】

［例1］（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)要從A,B,C,D,E這5人中選

出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則

安排的方法有（）

A.56種B.64種C.72種D.96種

【變式1-11（2023.福建漳州?統(tǒng)考二模）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十

次全國代表大會勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大、奮進新征程”為主題的聯(lián)

歡晚會，原定的5個學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了兩個教師節(jié)目，

如果將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個教師節(jié)目相鄰的概率為

（）

【變式1-2］（2023.甘肅蘭州?校考模擬預(yù)測）某單位擬安排6位員工在今年6月

9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日，

乙不值IIB,則不同的安排方法共有（）

A.30種B.36種C.42種D.48種

【變式1-3】（2022秋?江西南昌高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年9月5日，四川甘

孜州瀘定縣發(fā)生6.8級地震，某醫(yī)院決定派遣5名醫(yī)生前往3個區(qū)域參與救援,

其中男醫(yī)生3名，女醫(yī)生2名.要求每個區(qū)域至少要有1名男醫(yī)生，則不同的派

遣法有（）

A.18B.36C.54D.72

【變式1-4］（2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模）為了迎接“第32屆荷澤國際牡丹文化旅

游節(jié)”，某宣傳團體的六名工作人員需要制作宣傳海報，每人承擔(dān)一項工作，現(xiàn)

需要一名總負責(zé)，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，丙不能書寫文案，

則不同的分工方法種數(shù)為（）

A.9種B.U種C.15種D.30種

【題型2涂色問題】

[例2]（2023.內(nèi)蒙古?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會

標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)給這5個區(qū)

域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5

種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（）

c1D-7

【變式2-112022秋?四川成都?高三成都七中校考階段練習(xí)廢汝口下編號為12,

3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色,

則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是（）

4

23

1

【變式2-2]（2023?山西臨汾統(tǒng)考一模）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠

化，有5種不同顏色的花卉可供選擇,要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏

色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.

【變式2-3]（2023?全國?高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖

是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個

平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊

兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有_____種.

【變式2-4]（2023?高三課時練習(xí)）現(xiàn)有五種不同的顏色，要給四棱錐P-ABCD

的五個頂點涂色，要求同一條棱上的兩個頂點所涂顏色不能相同，一共有

種涂色方法.

【題型3排序問題】

【例3】（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學(xué)在比賽

后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排

列方法共有_種.（用數(shù)字作答）

【變式3-1]（2023秋?寧夏石嘴山?高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┪迓曇綦A是

中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、

商、角、徵、羽，把這五個音階排成一列，形成一個的音序，若徵、羽兩音階相

鄰且在宮音階之后，則可排成不同的音序的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）.

【變式3-2]國龍外校第一屆班主任節(jié)上，有3名高二學(xué)生給3位高二優(yōu)秀班主

任獻花，獻花后師生共同合影，要求6人站在一排如果要求老師與學(xué)生相間站，

那么站法有（）

A.36種B.72種C.108種D.144種

【變式3-3]（2023秋?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩個家庭排成一列測

核酸，甲家庭是一對夫妻帶1個小孩，乙家庭是一對夫妻帶2個小孩.現(xiàn)要求2

位父親位于隊伍的兩端,3個小孩要排在一起，則不同的排隊方式的種數(shù)為（）

A.288B.144C.72D.36

【變式3-4］（2023春?山西晉城?高三?？茧A段練習(xí)）某文藝演出團從包括甲、乙、

丙在內(nèi)的7名演員中選派4名參加演出，要求甲、乙、丙這3名演員中至少有1

人參加，且當(dāng)這3名演員都參加時，甲和乙的演出順序不能相鄰，丙必須排在前

兩位，則所選派的這4名演員不同的演出順序有（）

A.680種B.720種C.744種D.768種

【題型4排數(shù)問題】

［例4］（2022秋?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用1,2,3,4,5五個

數(shù)字組成五位數(shù)，則數(shù)字2和4不相鄰的概率是（）

【變式4-1］（2023?廣東汕頭?高三?？茧A段練習(xí)）如果一個四位數(shù)的各位數(shù)字互

不相同，且各位數(shù)字之和等于10,則稱此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036）,則

由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個數(shù)為一.

【變式4-2］（2023春?山西忻州?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從1,2,3,0這四個數(shù)

中取三個組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為.

【變式4-3］（2022.全國?高三專題練習(xí)）用0,1,2,3,4這5個數(shù)字，可以組

成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？

（1）偶數(shù)：

（2）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)；

（3）比21034大的偶數(shù).

【變式4-4］（2022.全國?高三專題練習(xí)）由數(shù)字123,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

（1）一共可以組成多少個五位偶數(shù)?

（2）在組成的所有五位數(shù)中，比32145大的五位數(shù)有幾個?

【題型5分組分配問題】

【例5】（2023.陜西銅川.?？家荒＃?名新招聘的工人分配到A,B兩個生產(chǎn)

車間，每個車間至少安排1名工人，則不同安排方案有（）

A.36種B.14種C.22種D.8種

【變式5-1]（2023春?江蘇南京?高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將5名學(xué)生

志愿者分配到成語大賽、詩詞大會、青春歌會、愛心義賣4個項目參加志愿活動，

每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方

案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【變式5-212023?重慶?統(tǒng)考一模2022年8月某市組織應(yīng)急處置山火救援行動，

現(xiàn)從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務(wù)，另外4支志愿團隊

分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目,每支志愿團隊只能分配

到1個項目且每個項目至少分配1個志愿團隊則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.36B.81C.120D.180

【變式5-3]（2023秋?福建廈門?高三廈門外國語學(xué)校?？计谀╅L郡中學(xué)體育節(jié)

中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4

個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（）

【變式5-412022秋吉林長春高三長春外國語學(xué)校?？计谀└慕衲?月開始，

南充高中教師踴躍報名志愿者參加各街道辦、小區(qū)、學(xué)校的防疫工作，彰顯師者

先行、師德?lián)?dāng)?shù)木瘢酪吖ぷ靼瑨呙杞】荡a、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)三項工

作，現(xiàn)從6名教師自愿者中，選派4人擔(dān)任掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)工

作，要求每項工作都有志愿者參加，不同的選派方法共有（）種

A.90B.270C.540D.1080

【變式5-5］（2023.全國?高三專題練習(xí)）某校安排5名同學(xué)去A,8,C,。四個

愛國主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學(xué)被

安排到A基地的排法總數(shù)為.

【題型6最短路徑問題】

［例6］（山東省泰安肥城市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）某小

區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經(jīng)過B的走法有（）

A.6種B.8種C.9種D.10種

【變式6-1］（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題）一只小蟲子欲從A點不重復(fù)經(jīng)過圖中的點或者線段，而最終到達目

的地E,這只小蟲子的不同走法共有（）

E

A.12種B.13種C.14種D.15種

【變式6-2］（2022秋?廣東惠州?高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個全

等的矩形組成（實線表示馬路），段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A

到B的最短路徑有（）

R

【變式6-3］（上海市南洋模范中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）有

一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點出發(fā)不經(jīng)過GD點到達B點的最短

路徑有___________種.

【變式6-412022?全國?高三專題練習(xí)方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài),

它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善

于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大

正方體（由8個大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著竹棍到

達B點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（)

A.48種B.60種C.72種D.90種

【變式6-5］（上海市向明中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖,

在某城市中，/，N兩地之間有整齊的6x6方格形道路網(wǎng)，其中A是道路網(wǎng)中的一

點.今在道路網(wǎng)處的甲、乙兩人分別要到N,"處，其中甲每步只能向右走

或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.

（1）求甲從〃到達N處的走法總數(shù)；

（2）求甲乙兩人在A相遇的方法數(shù).

【題型7二項展開式的特定項求解】

［例7］（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在二項式ej的

展開式中，常數(shù)項為.

【變式7-11（2023春?北京?高三校考階段練習(xí)）在卜的展開式中，第四項為

（）

A.160B.-160C.160x3D.-160x3

【變式7-2】（2022秋.河北唐山.高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）［一：-11的展

開式中的常數(shù)項為（）

A.-11B.50C.-61D.61

【變式7-3］（2023秋?浙江湖州?高三安吉縣高級中學(xué)?？计谀▁+y）。-?的

展開式中W的系數(shù)是_________.

【變式7-4】（2023湖北校聯(lián)考模擬預(yù)測）在（x+?（1+以展開式中，含xy的項

的系數(shù)是_____.（用數(shù)字作答）

【變式7-5]（2023秋?河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末）若

1?1

x+（x—2）1°=a0+a,（x—l）+a2（x—1）~++?9（x—1）+0]0（%—1）0,貝!]%=.

【題型8二項式系數(shù)與項的系數(shù)最值】

【例8】（2023秋浙江寧波?高三期末）若二項式（l+2x）"（〃eN，）的展開式中第6

項與第7項的系數(shù)相等，則此展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）

A.448/B.11201C.1792/D.1792x6

【變式8-1]（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若二項式Jx-%）（〃eN*）

的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中爐項的系數(shù)為（）

A.-1120B.-1792C.1792D,1120

【變式8-2]（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知[五+引的展開式中，第3項的系

數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為A,則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（）

項.

A.3B.4C.5D.6

n

【變式8-3]（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)（1+力”=a^+a]x-\Fanx,若

at+a2+-+an=63,則展開式中系數(shù)最大的項是（）

A.15FB.20x3C.2lx3D.35?

【變式8-4］(2023?全國?高三專題練習(xí))定義函數(shù)/(x，〃)=(l+x)"(〃eN),若

“i,〃)=32i(i為虛數(shù)單位)，則［+志］的展開式中系數(shù)最大項為()

.3252105y,u6f^.45Y

A.—xBD.—x3C.15x6D.—x3

484

【題型9系數(shù)和問題】

323

【例9】(2023,全國?高三專題練習(xí))(2x+>/3)=a()+atx+a2x+a3x,則

3+a2)~(ai+)-的值為()

A.-1B.1C.0D,2

【變式9-1］（2022秋?江蘇常州?高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知

82

（2-x）=an+a1x+a2x++gx8,貝［］（）

8

A.?0=2B,a,+a2++%=1

C.k|+|w|+|4|++|aj=3'D.q+2a2+3%++84=—8

【變式9-2】（2023?云南昆明?昆明一中校考模擬預(yù)測）（多選）設(shè)

（X?+1）（3x—I）14=4+4（x+2）+a,（x+2）-++qo（x+2）”>,貝J（）

A.4=i

17

B.?（,+a,+a2++%+al0=2

J

C.—at+a2——ag+ain-10

a+a++a179

D.（a0+a,++?io）~（i3v）~=2xlO

【變式9-3］（2023秋?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí)）若

2

（2x-l）'°=00+01（%-1）+41,（%-1）++a|0（x-l）”>,xeR,則4+“2++%>=.

【變式9-4](2023?甘肅蘭州??？家荒?若(1)4=%+平+〃2*2+41+廿4,貝I」

%+%+。4的值為

【題型10楊輝三角形】

【例101(2022.全國?高三專題練習(xí))“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之

-，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《解析九章算法》一書中，

歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,比楊輝要晚近四百年，“楊輝三角”

在數(shù)學(xué)史上具有重要的地位.若將楊輝三角中的每一個數(shù)C：都換成由%，就

得到一個如下表所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形同“楊

輝三角”一樣，具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，比如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”

兩個數(shù)之和等.現(xiàn)有關(guān)于萊布尼茨三角形性質(zhì)的4個描述，則其中正確個數(shù)為

()

毒。行

(??忙…(/i)u

①當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值；當(dāng)?是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且

同時取得最小值；

11_______i_

②(〃+i)C「(〃+i)C?五；

(3)---k——=---------(reN,0<r<n)?

④7--------+----——=----reN,1<r<n)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式10-1]（2023春?山西晉城?高三?？茧A段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他

所著的《解析九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝

三角“，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第〃行從左

至右的數(shù)字之和記為《一如：4=1+1=2,/=1+2+1=4,,也｝為各項非零的等差

數(shù)列，其前〃項和為S“，且S2“_產(chǎn)她用，則數(shù)列圖的前〃項和K

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【變式10-2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261

年所著的《解析九章算法》一書中被記載.它的開頭幾行如圖所示，它包含了很

多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)C；都換成分數(shù)

篇無：彳導(dǎo)到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，

甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，請問“萊布尼茨三角形"第10行第5個數(shù)是

楊輝三角萊布尼茨三角形

第0行11第0行

第1行11jj第1行

第2行121j1|第2行

第3行13311212第3行

第〃行1比…1

【變式10-3】（2022.全國?高三專題練習(xí)）如圖，在楊輝三角形中，斜線/的上方

從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形”的數(shù)列：L3,3,4,6,5,10,…，記此數(shù)列

的前”頁之和為5“，則5發(fā)的值為.

【變式10-4】（2022.全國?高三專題練習(xí)尸楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大

成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示，第〃（”€^,〃22）行

的數(shù)字之和為,去除所有1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,

5,10,10,5,…，則此數(shù)列的前28項和為

（建議用時：60分鐘）

1.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）把5個相同的小球分給3個小朋友，使每個小

朋友都能分到小球的分法有（）

A.4種B.6種C.21種D.35種

2.（2023?全國.模擬預(yù)測）導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級科任教師作為

導(dǎo)師既面向全體授課對象，又對指定的若干學(xué)生的個性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提

高負責(zé).已知有3位科任教師負責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科

任教師負責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.90B.15C.60D.180

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)

的個數(shù)為（）

A.4B.12C.24D.64

4.（2023秋?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考期末）若六位老師前去某三位學(xué)生

家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔

導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1,則有（）種安排方法

A.335B.100C.360D.340

5.（2023春?廣東?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假

期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場，講

座8和C必須相鄰，問不同的安排方法共有（）

A.34種B.56種C.96種D.144種

6.（2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）六名同學(xué)排成一排照相，則其中甲、乙、丙

三人兩兩不相鄰，且甲和丁相鄰的概率為（）

A2BC-D,

八,5°-5J15U,10

7.（2023.全國.模擬預(yù)測）某大學(xué)生在剛開學(xué)時制訂了一個季度的讀書計劃：從

4本不同的哲學(xué)書和6本不同的心理學(xué)書中選4本閱讀，且至少要選1本哲學(xué)書

和1本心理學(xué)書.則該大學(xué)生這個季度不同的選書方法有（）

A.672種B.210種C.194種D.336種

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖是某屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，現(xiàn)在有4種

顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色相鄰區(qū)域顏色不相同，

則不同的涂色方案種數(shù)為（）

A.72B.48C.36D.24

9.（2023.山東濰坊.統(tǒng)考一模）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中

航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)

境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖

擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安

排在相鄰兩天測試,超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試

的安排方案有（）

A.24種B.36種C.48種D.60種

10.（2022.北京.統(tǒng)考模擬預(yù)測）若5名女生和2名男生去兩地參加志愿者活動，

兩地均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（）種.

A.20B.40C.60D.80

11.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實習(xí)，每名大學(xué)生只

去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實習(xí)

的概率為（）

1-C-D9

A?5B-10-25”?25

12.（2023.云南.高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）口+?］（》-?展開式中獷的

系數(shù)為（）

A.4B.2C.-2D.-4

13.（2023春?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知

23456

（2-x）（2x+1）5=aH+axx+a2x+a3x+a4x+asx+a6x，貝［j《＞+4,=（）

A.34B.30C.-34D.-30

14.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知二項式（x+a）6,aeN*的展開式中第四項的系數(shù)

最大，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

15.（2023春?天津紅橋高三統(tǒng)考期末）街道上有編號1,2,.3,....10的十盞路

燈，為節(jié)省用電又能看清路面，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相

鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，滿足條件的關(guān)燈方法有

__________種.

16.（2023.陜西榆林.統(tǒng)考一模）自然對數(shù)的底數(shù)e,也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中

重要的常數(shù)之一,和"一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，e的近似值約為2.7182818若用

歐拉數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8設(shè)置一個六位數(shù)的密碼，則不同的密碼共有

__________個.

17.（2023河南?長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）（1+&『（1-五『的展開式中

元的系數(shù)為一.

18.（2023秋?云南德宏?高三統(tǒng)考期末）二項式。-：）心+1）的常數(shù)項為

19.（2023秋?天津?高三統(tǒng)考期末）在。五-胃的展開式中，常數(shù)項為

.（結(jié)果用數(shù)字表示）

20.（2022.北京.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知（》-1）“（3犬+2）3=%+即;+出/++%丁，貝ij

a2+a3++%=

參考答案

【題型1兩種計數(shù)原理】

［例1］（2023.江蘇連云港.統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)要從A.B,C,D,E這5人中選

出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則

安排的方法有（）

A.56種B.64種C.72種D.96種

【答案】D

【解析】由題意可知：根據(jù)A是否入選進行分類：

若A入選：則先給A從乙、丙、丁3個崗位上安排一個崗位有C；=3種，

再給剩下三個崗位安排人有A：=4x3x2=24種，共有3x24=72種方法；

若A不入選：則4個人4個崗位全排有A：=4x3x2x1=24種方法，

所以共有72+24=96種不同的安排方法，故選：D.

【變式1-1］（2023福建漳州?統(tǒng)考二模）2022年10月22日，中國共產(chǎn)黨第二十

次全國代表大會勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大、奮進新征程”為主題的聯(lián)

歡晚會，原定的5個學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了兩個教師節(jié)目，

如果將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個教師節(jié)目相鄰的概率為

（）

A2.RXQ1￡）1

A-6B-7C-30-7

【答案】D

【解析】由題意可知，先將第一個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法,

再將第二個教師節(jié)目插入到這6個節(jié)目中，有7種插入法，

故將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有6/7"（種）情況，

其中這兩個教師節(jié)目恰好相鄰的情況有2x6=12（種），所以所求概率為

于家故選D

【變式1-2]（2023.甘肅蘭州.?？寄M預(yù)測）某單位擬安排6位員工在今年6月

9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日,

乙不值11日，則不同的安排方法共有（）

A.30種B.36種C.42種D.48種

【答案】C

【解析】若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選I人在11日值班，有C種

選法，

9日、10日有GC種安排方法，共有C；C：C；=24（種）安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，

余下的4人有C；C；C；種安排方法，共有12種安排方法；

若甲、乙都在10日值班，則共有C；C：=6（種）安排方法.

所以總共有24+12+6=42（種）安排方法.故選：C

【變式1-31（2022秋?江西南昌高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年9月5日，四川甘

孜州瀘定縣發(fā)生6.8級地震，某醫(yī)院決定派遣5名醫(yī)生前往3個區(qū)域參與救援,

其中男醫(yī)生3名，女醫(yī)生2名.要求每個區(qū)域至少要有1名男醫(yī)生，則不同的派

遣法有（）

A.18B.36C.54D.72

【答案】C

【解析】3名男醫(yī)生各去一個區(qū)域，有A；種去法，2名女醫(yī)生有3,種去法，

共有32=54種.故選：C.

【變式1-4]（2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模）為了迎接“第32屆荷澤國際牡丹文化旅

游節(jié)”，某宣傳團體的六名工作人員需要制作宣傳海報，每人承擔(dān)一項工作，現(xiàn)

需要一名總負責(zé)，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，丙不能書寫文案，

則不同的分工方法種數(shù)為（）

A.9種B.11種C.15種D.30種

【答案】C

【解析】若丙是美工，則需要從甲、乙、丙之外的三人中再選一名美工,

然后從剩余四人中選三名文案，剩余一人是總負責(zé)人，共有C；C：=12種

分工方法；

若丙不是美工，則丙一定是總負責(zé)人，

此時需從甲、乙、丙之外的三人中選兩名美工，

剩余三人是文案，共有亡種分工方法；

綜上,共有12+3=15種分工方法，故選：C.

【題型2涂色問題】

[例2](2023?內(nèi)蒙古?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會

標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.現(xiàn)給這5個區(qū)

域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個區(qū)域只涂一種顏色.若有5

種顏色可供選擇,則恰用4種顏色的概率是()

【答案】C

【解析】若按要求用5種顏色任意涂色：

先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.

再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；

若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選

擇.

則共有5x4x(lx3x3+3x2x2)=420種方法

若恰只用其中4種顏色涂色：

先在5種顏色中任選4種顏色，有C；種選擇.

先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.

再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，

為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；

若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1

種選擇.

則共有C；.4x3x(lx2xl+2xlxl)=240種方法,

故恰用4種顏色的概率是言=:故選：C.

【變式2-112022秋?四川成都.高三成都七中?？茧A段練習(xí)明及口下編號為1,2,

3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇,要求相鄰格子不同色,

則在1號格子涂灰色的條件下，4號格子也涂灰色的概率是()

【答案】A

【解析】由題意可知，整個事件需要分四步，按照格子標(biāo)號依次涂色即可；

若在1號格子涂灰色，則2號格子還有3種選色方案，

同時3號格子也有3種選色方案，4號格子還剩2種選色方案，

即1號格子涂灰色的方案總數(shù)為3x3x2=18種；

若1號格子和4號格子同時涂灰色，

則2號格子還有3種選色方案，3號格子還有2種選方案，

即1號和4號格子同時涂灰色的方案總數(shù)為3x2=6種；

所以在1號格子涂灰色的條件下,4號格子也涂灰色的概率是P=白=1

1o3

故選：A.

【變式2-2]（2023.山西臨汾統(tǒng)考一模）如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠

化，有5種不同顏色的花卉可供選擇,要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏

色的花卉，共有_______種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.

【解析】如圖：

B

AD

C

從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，

B有4種顏色花卉擺放方法，。有3種顏色花卉擺放方法；

由。區(qū)與B,C花卉顏色不一樣，與A區(qū)花卉顏色可以同色也可以不

同色，

則。有3種顏色花卉擺放方法.

故共有5x4x3x3=180種涂色方法.故答案為：180

【變式2-3]（2023?全國?高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖

是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個

平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊

兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.

【答案】72

【解析】由題意，一共4種顏色，板塊A需單獨一色,

剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色.

又板塊BCD兩兩有公共邊不能同色，故板塊A,BCD必定涂不同顏色.

①當(dāng)板塊E與板塊C同色時，

則板塊EG與板塊反。或板塊。,8分別同色，共2種情況；

②當(dāng)板塊E與板塊8同色時，

則板塊F只能與。同色，板塊G只能與C同色，共I種情況.

又板塊4,BCD顏色可排列，故共（2+l）xA：=72種.故答案為：72

【變式2-4]（2023.高三課時練習(xí)）現(xiàn)有五種不同的顏色,要給四棱錐P-ABCD

的五個頂點涂色，要求同一條棱上的兩個頂點所涂顏色不能相同，一共有

_________種涂色方法.

【答案】420

【解析】五個頂點涂五種不同的顏色，有6=120（種）涂法；

五個頂點涂四種不同的顏色，其中4C同色或B、D同色，有2歸=240

（種）涂法；

五種頂點涂三種不同的顏色其中AC同色且8、。同色，有代=60（種）

涂法.

綜上，共有120+240+60=420（種）涂色方法.

故答案為：420

【題型3排序問題】

【例3】（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學(xué)在比賽

后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排

列方法共有一種.（用數(shù)字作答）

【答案】144

【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將甲乙看成一個整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，有A；A；=12

種情況，

②排好后，有4個空位，在其中任選2個，安排丙、丁，有叱=12種情

況，

則有12x12=144種排法,

故答案為：144.

【變式3-1］（2023秋?寧夏石嘴山?高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┪迓曇綦A是

中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、

商、角、徵、羽，把這五個音階排成一列，形成一個的音序，若徵、羽兩音階相

鄰且在宮音階之后，則可排成不同的音序的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）.

【答案】24

【解析】解：先將徵、羽兩音階相鄰捆綁在一起有與，

然后與宮、商、角進行全排有A：,考慮到順序問題，

24

則可排成不同的音序的種數(shù)為警AA=24.

故答案為：24.

【變式3-2］國龍外校第一屆班主任節(jié)上，有3名高二學(xué)生給3位高二優(yōu)秀班主

任獻花，獻花后師生共同合影，要求6人站在一排如果要求老師與學(xué)生相間站，

那么站法有（）

A.36種B.72種C.108種D.144種

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分3步進行分析:

第一步，將3名學(xué)生全排列，有A；=6種排法;

第二步，將3名老師全排列，有A；=6種排法；

第三步，老師與學(xué)生相間站，有2種排法；

所以老師與學(xué)生相間站，那么站法有2、人；＞＜人；=72種，故選：B

【變式3-3]（2023秋?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩個家庭排成一列測

核酸，甲家庭是一對夫妻帶1個小孩，乙家庭是一對夫妻帶2個小孩.現(xiàn)要求2

位父親位于隊伍的兩端,3個小孩要排在一起，則不同的排隊方式的種數(shù)為（）

A.288B.144C.72D.36

【答案】C

【解析】方法1：2位父親的排隊方式種數(shù)為A；,2位母親的排隊方式種數(shù)為A；,

3個小孩的排隊方式種數(shù)為A；,將3個小孩當(dāng)成一個整體，

放進父母的中間共有A；種排隊方式，所以不同的排隊方式種數(shù)為

A；A：A閨=72.

方法2:2位父親的排隊方式種數(shù)為A"

將3個小孩當(dāng)成一個整體與2位母親的排隊方式種數(shù)為A；,

3個小孩的排隊方式種數(shù)為A；所以不同的排隊方式種數(shù)為A；A；A；=72.

故選：C.

【變式3-4]（2023春?山西晉城?高三校考階段練習(xí)）某文藝演出團從包括甲、乙、

丙在內(nèi)的7名演員中選派4名參加演出，要求甲、乙、丙這3名演員中至少有1

人參加，且當(dāng)這3名演員都參加時，甲和乙的演出順序不能相鄰，丙必須排在前

兩位，則所選派的這4名演員不同的演出順序有（）

A.680種B.720種C.744種D.768種

【答案】C

【解析】當(dāng)甲乙丙中有1人參加時：C；C.A：=288種順序;

當(dāng)甲乙丙中有2人參加時：C；y[A：=432種順序;

當(dāng)甲乙丙中有3人參加時：CiA；.A；+2=24種順序;

綜上所述：共有288+432+24=744種順序.故選：C

【題型4排數(shù)問題】

［例4］（2022秋?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)校考階段練習(xí)）用1,2,3,4,5五個

數(shù)字組成五位數(shù)，則數(shù)字2和4不相鄰的概率是（）

—g—Q—￡）-

A-10B,10C,5D?5

【答案】D

【解析】設(shè)事件A為2和4不相鄰的情況則其對立事件N為2和4相鄰的情況；

首先1,3,5進行排序，共有A；=6種，而形成4個空，使用捆綁法，將

2,4看成整體，

則2和4相鄰總共有A；C?A”48種，所有的情況共有6；=120種，

.-.P（A）=1-P（A）=1-^=|,故選：D.

【變式4-1】（2023?廣東汕頭?高三校考階段練習(xí)）如果一個四位數(shù)的各位數(shù)字互

不相同，且各位數(shù)字之和等于10,則稱此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036）,則

由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中,奇數(shù)的個數(shù)為一.

【答案】44

【解析】若尾數(shù)為1,前三位的數(shù)字為2,7,0,或0,3,6,或0,4,5時，0放在百位或

十位上，

剩余兩個數(shù)進行全排列，故共有3C；A；=I2個完美四位數(shù)，

若前三位數(shù)字為2,3,4時，則有A；=6個完美四位數(shù)；

若尾數(shù)為3,前三位的數(shù)字為0/，6,或025時，。放在百位或十位上，

剩余兩個數(shù)進行全排列，故共有2C；A；=8個完美四位數(shù)，

若前三位數(shù)字為124時,有A；=6個完美四位數(shù)；

若尾數(shù)為5,若前三位數(shù)字為。，1，4或023時，。放在百位或十位上，

剩余兩個數(shù)進行全排列，共有2C；A；=8個完美四位數(shù)，

若尾數(shù)為7,若前三位數(shù)字為01，2時，。放在百位或十位上，剩余兩個

數(shù)進行全排列，

有C困=4個完美四位數(shù)；

綜上所述：共有12+6+8+6+8+4=44個完美四位數(shù).

故答案為：44

【變式4-2](2023春?山西忻州?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)從1,2,3,0這四個數(shù)

中取三個組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為.

【答案】3864

【解析】分三種情況：

(I庇所有不含。的三位數(shù)中百位上的所有數(shù)字之和為(1+2+9x2=12,

十位上的所有數(shù)字之和為(1+2+3)X2=12,百個位上的所有數(shù)字之和為

(l+2+3)x2=12,

所以所有不含0的三位數(shù)的和為12x(100+10+1)=1332;

(2)在含。且0在十位上的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為

(1+24-3)x2=12,

個位上的所有數(shù)字之和為(1+2+3)X2=12,

所以含。且0在十位上的三位數(shù)的和為12x(100+1)=121