江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷真題+參考答案+詳細(xì)解析

2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

1.（5分）已知集合人={-1,0,1,2},B={0,2,3},則A，B=.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=（l+i）（2-i）的實(shí)部是.

3.（5分）已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是.

4.（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

5.（5分）如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出y的值為-2,則輸入x的值是—.

6.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線￡-二=13>0）的一條漸近線方程為y=則該雙曲

a"52

線的離心率是—.

2

7.（5分）已知>二/（%）是奇函數(shù)，當(dāng)"0時(shí)，/（用="，則/（-8）的值是.

8.（5分）已知sirf2（三+a）=2,則sin2a的值是.

43

9.（5分）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為

3

2cm,高為2CT?7,內(nèi)孔半徑為0.5CTH,則此六角螺帽毛坯的體積是cm.

10.（5分）將函數(shù)y=3sin（2x+2）的圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與>軸最近的對(duì)稱軸

46

的方程是.

11.(5分)設(shè)｛a,,｝是公差為d的等差數(shù)列，｛2｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列伍,,+么｝的前八項(xiàng)和

2

Sn=n-n+2"-1（〃eN*）,則d+q的值是.

12.（5分）已知5fy2+;/=l（x,yeR）,則+的最小值是.

13.（5分）在AABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,。在邊8C上，延長(zhǎng)4）到P,使得加若

PA=mPB+（--m）PC（m為常數(shù)），則8的長(zhǎng)度是.

14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P(g,O),A,3是圓C:x?+(y-g)2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿

足PA=PB,則面積的最大值是.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

15.(14分)在三棱柱A8C-AAG中，ABLAC,gC_L平面ABC,E,尸分別是AC,8c的中點(diǎn).

(1)求證：所//平面486；

(2)求證：平面AB|C_L平面.

EC

B

16.(14分)在AA3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c.已知a=3,c=0,8=45。.

(1)求sinC的值；

(2)在邊8C上取一點(diǎn)O,使得cosZA￡>C=-3,求tanNAAC的值.

5

17.（14分）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線上，橋

與平行，0（7為鉛垂線（O在相上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)。到MN的距離4（米）

與。到00,的距離a（米）之間滿足關(guān)系式九=’-/；右側(cè)曲線80上任一點(diǎn)尸到MN的距離心（米）與尸

到0（7的距離b（米）之間滿足關(guān)系式九=-一［一）3+66.已知點(diǎn)3到的距離為40米.

）800

（1）求橋的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,且CE為80米，其中C,“在AB上（不包括端

點(diǎn)）.橋墩￡F每米造價(jià)人（萬元），橋墩8每米造價(jià)gk（萬元）依＞0）,問。E為多少米時(shí)，橋墩CD與

所的總造價(jià)最低？

18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:曰+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、々，點(diǎn)A在橢圓

E上且在第一象限內(nèi)，AF2LF,F2,直線4月與橢圓E相交于另一點(diǎn)5.

（1）求△46用的周長(zhǎng)；

（2）在x軸上任取一點(diǎn)P,直線公與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求OP-QP的最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與AM45的面積分別為S2,若$2=3耳，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

19.(16分)己知關(guān)于工的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與/i(x)=丘+仇女"￡R)在區(qū)間。上恒有[⑴廊(幻g(x).

(1)若/(尤)=12+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+oo),求/?(x)的表達(dá)式；

(2)若/(x)=f-x+i,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求&的取值范圍;

(3)若/(x)=-2/，^(x)=4x2-8,/z(x)=4(r3-r)x-3/4+2/2(0<|/|?V2),。=[九川u[-血,0],求

證：〃一"%,J7.

20.（16分）已知數(shù)列｛4｝（〃€N*）的首項(xiàng)4=1,前”項(xiàng)和為S,,.設(shè)2和％為常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)"，均

有S“,j-sj=2a“j成立，則稱此數(shù)列為“九一4”數(shù)列.

（1）若等差數(shù)列｛4｝是“"1”數(shù)列，求2的值；

（2）若數(shù)列｛4｝是“弓-2”數(shù)列，且可>0,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)于給定的2,是否存在三個(gè)不同的數(shù)列｛6｝為“2-3”數(shù)列，且為..0?若存在，求出;1的取值范

圍；若不存在，說明理由.

【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作

答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分

10分）

21.（10分）平面上的點(diǎn)A（2,-1）在矩陣M|對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)8（3,-4）.

-1b

（1）求實(shí)數(shù)a,6的值；

（2）求矩陣”的逆矩陣ML

B.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）

22.（10分）在極坐標(biāo)系中，已知4月,馬在直線/：0cos6=2上，點(diǎn)80，馬在圓C:夕=4sin6上（其中

36

p..O,0?0<2兀）.

（1）求Pi，0?的值；

（2）求出直線/與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

C［選修4?5：不等式選講］（本小題滿分0分）

23.設(shè)xwR,解不等式2|工+1|+|%|<4.

【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

24.（10分）在三棱錐A-BCD中，已知CB=C￡）=6,BD=2,O為皮）的中點(diǎn)，AOJ_平面BCD,AO=2,

E為AC中點(diǎn).

（1）求直線AB與AE所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)尸在上，滿足設(shè)二面角/一￡>￡-C的大小為6,求sin。的值.

25.（10分）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)

球交換放入另一口袋，重復(fù)"次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X,,,恰有2個(gè)黑球的概率為幾，恰有

1個(gè)黑球的概率為久.

（1）求Pi,1和P2,q2;

（2）求2Pli+必與2P“J3的遞推關(guān)系式和X.的數(shù)學(xué)期望夙X,）（用”表示）.

2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

1.(5分)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},則AB=_{0J_2}_.

【解析】集合B={0,2,3},A={-1,0,1,2},則A8={0,2},故答案為：{0,2}.

【評(píng)注】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=+的實(shí)部是3.

【解析】復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i)=3+i,所以復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i)的實(shí)部是：3.故答案為：3.

【評(píng)注】本題考查復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

3.(5分)己知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則°的值是2.

【解析】一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則4+2a+(3-a)+5+6=4x5,解得a=2.

故答案為：2.

【評(píng)注】本題考查平均數(shù)的定義的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是-.

一9一

【解析】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為6x6=36種，而點(diǎn)數(shù)和為5的

事件為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為尸=巴=，.故答案為：

3699

【評(píng)注】本題考查古典概率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出y的值為-2,則輸入x的值是_-3_.

【解析】由題意可得程序框圖表達(dá)式為分段函數(shù)y=

［工+1,工，0

若輸出y值為-2時(shí)，由于2*>0,所以解x+l=-2,即x=—3,故答案為：-3,

【評(píng)注】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是

基礎(chǔ)題.

6.(5分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，若雙曲線金=l(a>0)的一條漸近線方程為y=則該雙曲

a52

線的離心率是-.

-2-

【解析】雙曲線]一￡=1(。>0)的一條漸近線方程為y=可得且=且,所以〃=2,

a"52al

所以雙曲線的離心率為：e=￡=3H=3,故答案為：2.

a222

【評(píng)注】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

2

7.(5分)已知y=/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)"0時(shí)，/(x)=/,則/(-8)的值是_T_.

22

【解析】y=/(x)是奇函數(shù),可得/(一力=一/(力,當(dāng)x..O時(shí)，/(%)=%3,可得/'(8)=83=4,

則八一8)=—/(8)=-4,故答案為：-4.

【評(píng)注】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運(yùn)用：求函數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

jrO1

8.(5分)己知sin2(——na)=—,則sin2a的值是一_.

43-3-

冗

ry1—COS(--l~2a)[4.?*7*71

【解析】因?yàn)閟in?(2+a)=4,則sin“工+a)=------2------=S，^=-,解得sin2a=±,

4342233

故答案為：-

3

【評(píng)注】本題考查了二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為

2cm,高為2C〃2,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是_12x/3-y_cni1.

【解析】六棱柱的體積為：6x1x2x2xsin60°x2=12^,圓柱的體積為：^x(0.5)2x2=y,

所以此六角螺帽毛坯的體積是：故答案為：12&-

【評(píng)注】本題考查柱體體積公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查.

10.(5分)將函數(shù)y=3sin(2x+^)的圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸

46

的方程是%=--.

-24—

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=3sin(2x+e)的圖象向右平移生個(gè)單位長(zhǎng)度可得

46

g(x)=/(x-^)=3sin(2x+=3sin(2xf則V=g(x)的對(duì)稱軸為2%一木=]+%乃，keZ,

BPx=—+—,k&Z,當(dāng)％=0時(shí)，x=—,當(dāng)A=—1時(shí)，x=-—,

2422424

所以平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是x=-W,故答案為：%=,

?2424

【評(píng)注】本題考查三角函數(shù)的平移變換，對(duì)稱軸方程，屬于中檔題.

11.(5分)設(shè)｛《｝是公差為”的等差數(shù)列，｛〃,｝是公比為夕的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛4+"｝的前〃項(xiàng)和

S“=〃2-〃+2"-l(〃eN*),則d+a的值是4.

【解析】因?yàn)椋?+瓦｝的前〃項(xiàng)和S“=/一〃+2"—1(〃GN*),

因?yàn)椋?｝是公差為d的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為4；｛5｝是公比為g的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為4，

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為=4+(〃一l)d,所以其前〃項(xiàng)和4="4+4；("-1)由=3“2+(%一*,

當(dāng)｛2｝中，當(dāng)公比4=1時(shí)，其前〃項(xiàng)和4=由，

22

所以｛”"+么｝的前〃項(xiàng)和5“=5“+5,,=n+(a,-^)n+nb｝=n-n+2"-l(neN*),顯然沒有出現(xiàn)2",所

以夕w1,

則g,,｝的前〃項(xiàng)和為s〃，M'T)二ML二,

q-\q-\q-\

2

所以S“=S,+Sh=-?+(a--)n+-^——^-=“2_“+2”_l(〃eN*),

'-22q-\q-\

-=1

2

d,

Cl,=—I-.

由兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等可得：,2解得：d=2,4=0,q=2,e=1,所以d+q=4,故答案為：4

4=2

【評(píng)注】本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的綜合及由前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.(5分)已知聶之丁+y川。,3^/?),則f+V的最小值是

【解析】法一：^5x2y2+y4=l,可得f=上?,由fo,可得＞2G(。川,

則J+yJ-：,,+y2J+4；\=J(4y2+4y2，=弓,當(dāng)且僅當(dāng)y2=J_,2_,

5/5/5-y25\'y252=10

可得f+y?的最小值為3；

5

法二：4=(5*2+y2).4,2”(5"±;±4))2=+y2)2,故f十尸…已，當(dāng)且僅當(dāng)+>2=-2=2,即

4

23時(shí)取得等號(hào)，可得丁+丫2的最小值為士.故答案為:

y=~,5-

2105

【評(píng)注】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.(5分)在AABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P,使得4a=9.若

PA=mPB+(^-m)PC為常數(shù))，則8的長(zhǎng)度是0或曳.

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AC所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則8(4,0),

C(0,3),由=+PA=m(PA+AB)+(--m)(PA+AC),

22

整理得：PA=-2mAB+(2w-3)AC=-2/M(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6w-9).

77

由A尸=9,得64〃+(6〃z-9>=81,解得加=——或加=0.

25

當(dāng)帆=0時(shí)，PA=(0,-9),此時(shí)C與。重合，|CO|=0;

當(dāng)相=至?xí)r，直線R4的方程為卜="%x,直線8C的方程為2+上=1,

258m43

聯(lián)立兩直線方程可得x=.,y=3-2m.BP￡>(—,—),

32525

故答案為：0或身.

5

【評(píng)注】本題考查向量的概念與向量的模，考查運(yùn)算求解能力，利用坐標(biāo)法求解是關(guān)鍵，是中檔題.

14.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（苧,0）,A,8是圓C:d+（y-；）2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿

足PA=PB,則面積的最大值是_106_.

【解析】圓C:x2+（y—g）2=36的圓心C（0,；）,半徑為6,如圖，

作PC所在直徑EF,交回于點(diǎn)O,

因?yàn)镋4=P3,CA=CB=R=6,所以PCLAB,EF為垂徑,要使面積鼠幽y最大，則P,。位于C的兩

側(cè)，并設(shè)8=x,可得PC=、口+』=1,故PD=l+x,AB=2BD=2436-￡,

V44

$"猛=^lAB|-|P￡)|=(1+X)V36-X2,0cx<6,

法一：可令x=6cos，，S1yMs=(1+6cos6)?6sin6=6sin6+18sin26,0<，?

設(shè)函數(shù)f(0)=6sin0+18sin20,0<“，,/((0)=6cos0+36cos2^=6(12cos20+cos0-6),

由廣(。)=6(12cos?，+cos。-6)=0,解得cos〃=*(cos0=一巳<0舍去)，

34

顯然，當(dāng)a,cos〃<(,r(e)<o,/(。)遞減；當(dāng)(<coso<i時(shí)，r(e)>o,八。)遞增，

結(jié)合cos。在(0,/)遞減，故coseng時(shí)，/(0)最大，此時(shí)sin8=Jl-cos1。=*,

故/(〃)“■“=6x*+36x或x|=106，則A/VLB面積的最大值為10百.

2

法二：S^AB=^\AB\-\PD\=(l+x)yl36-x,0<x<6,設(shè)"=(*+1)“36-/)，0<x<6,可得

M=-2(x+l)(2x+9)(x-4),當(dāng)4cx<6時(shí)，u'<0,函數(shù)w遞減；當(dāng)0cx<4時(shí)，u'>0,函數(shù)“遞增，

所以函數(shù)"在x=4處取得最大值500,即有APAB面積的最大值為10石.故答案為：10石.

【評(píng)注】本題考查圓的方程和運(yùn)用，以及圓的弦長(zhǎng)公式和三角形的面積公式的運(yùn)用，考查換元法和導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，屬于中檔題.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.

15.(14分)在三棱柱ABC-ABC中，ABYAC,8cl?平面ABC,E,F分別是AC,8c的中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面ABG；

(2)求證：平面ABCJL平面ABB一

［解析】證明：(1)E,F分別是AC,BC的中點(diǎn).所以EF//A耳，因?yàn)镋FC平面ABg，u平面ASg,

所以EF//平面ABG；

(2)因?yàn)锽C1?平面鉆。，ABu平面ABC,所以及。，48,又因?yàn)锳B_LAC,ACBXC=C,ACu平

面A3C，qCu平面AB。，所以他，平面A8,C,因?yàn)锳3u平面ABq,所以平面ABQJ?平面43片.

【評(píng)注】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的

判斷定理的應(yīng)用，是中檔題.

16.(14分)在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a=3,c=0,B=45°.

(1)求sinC的值；

(2)在邊3c上取一點(diǎn)。，使得cosZADC=-3,求tanN/MC的值.

BDC

【解析】（1）因?yàn)閍=3,c=>/2,B=45°.,由余弦定理可得：

b=\/a2+c2-2accosB=^9+2-2x3xV2x=也,

由正弦定理可得一￡—=」一，所以sinC=￡?sin45o=坐.立=好，所以sinC=Y^；

sinCsinBbyJ5255

4i------------3

(2)因?yàn)閏osNADC=-―，所以sinNA￡>C=Jl—c32NAOC=二，

55

在三角形ADC中，易知。為銳角，由(1)可得8sC=ViZy^=亭，

2/s

所以在三角形ADC中，sinADAC=sin(ZADC+ZC)=sinZADCcosZC+cosZADCsinZC=,

25

因?yàn)閆DACe(0,2),所以cos"AC=dl-sin2NDAC=，所以tan/ZMC=竺烏蛆=2.

225cos"AC11

【評(píng)注】本題考查三角形的正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（14分）某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋

與平行，OO,為鉛垂線（＜7在回上）.經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)。到MN的距離片（米）

與。到0（7的距離。（米）之間滿足關(guān)系式4=-!-/;右側(cè)曲線30上任一點(diǎn)尸到MN的距離兒（米）與F

到067的距離8（米）之間滿足關(guān)系式包=-一!一Z/+66.已知點(diǎn)8到。。的距離為40米.

z800

（1）求橋AB的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和砂，且CE為80米，其中C,“在AB上（不包括端

點(diǎn)）.橋墩防每米造價(jià)k（萬元），橋墩8每米造價(jià)（萬元）（左＞0）,問。E為多少米時(shí)，橋墩CD與

即的總造價(jià)最低？

【解析】（1）〃=一一二力+66,點(diǎn)5至DOO的距離為40米，可令6=40,可得力=--Lx40'+6x40=160,

'800-800

即為|0'0|=160,由題意可設(shè)％=160,由右/=16（）,解得a=80,則|陰=80+40=120米；

(2)可設(shè)OE=x,則。。=80-％,由八八，可得0vxv40,

[0<80-x<80

311k

總造價(jià)為y=；和60-g(80-x)2]+如60-(6x-礪V)]=礪(x3-30x2+160x800),

k%k

y'=-—(3X2-60X)=--x(x-20),由％>0,當(dāng)0cx<20時(shí)，/<0,函數(shù)y遞減；

800800

當(dāng)20Vx<40時(shí)，y>0,函數(shù)y遞增，所以當(dāng)x=20時(shí)，y取得最小值，即總造價(jià)最低.

答：(1)橋|4例長(zhǎng)為120米；(2)(7E為20米時(shí)，橋墩8與跖的總造價(jià)最低.

【評(píng)注】本題考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求最值，考查運(yùn)算能力和分析問題與解決

問題的能力，屬于中檔題.

22

18.(16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:3+《=l的左、右焦點(diǎn)分別為廣、鳥，點(diǎn)A在橢圓

E上且在第一象限內(nèi)，AF2rFtF2,直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)3.

(1)求用的周長(zhǎng)；

(2)在x軸上任取一點(diǎn)尸，直線與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求OP-QP的最小值；

(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△04B與AM45的面積分別為S2,若邑=3$「求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【解析】(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2=4,6=3,-從=1,所以△4耳鳥的周長(zhǎng)=2a+2c=6.

3

(2)由橢圓方程得4(1,3,設(shè)尸90)，則直線AP方程為y='-(xT),橢圓的右準(zhǔn)線為：》=工=4,

21-?c

所以直線AP與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為。(4W?士工)，OPQP=(t,0).”4,0----)=?-4/=(r-2)2-4...-4,

21-r2\-t

當(dāng)f=2時(shí)，(OPQP),“M=-4.

(3)若Sz=3S1，設(shè)O到直線45距離&,M到直線他距離出，則gx|4例乂必=gx|A8|x&,即4=34，

A"),E(-l,0),可得直線他方程為y=j(x+l),即3x-4y+3=0,所以4=±,d2=~,

由題意得，M點(diǎn)應(yīng)為與直線43平行且距離為2的直線與橢圓的交點(diǎn),

5

設(shè)平行于鉆的直線/為3—二°,與直線9的距離為￡所以舄g即加…或⑵

當(dāng)初=-6時(shí),直線/為3X-4y-6=0,HPy=—(x-2),

4

2

%=2或，,所以或(―乜).

聯(lián)立，可得(％-2)(7%+2)=0,即7A/(2,0)2,—

IW=01277

----1-----=1加

43T

當(dāng)機(jī)=12時(shí)，直線/為3x—4y+12=0,即y=[(x+4),

3八

y=JZ+4)

聯(lián)立,,，可得一f+18x+24=0,△=9X(36-56)<0,所以無解,

廠+>-14

43

綜上所述，”點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)或(-2,_2).

77

【評(píng)注】本題考查橢圓的定義，向量的數(shù)量積，直線與橢圓相交問題，解題過程中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，

屬于中檔題.

19.(16分)已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,beR)在區(qū)間。上恒有/(x)??(x)g(x)?

(1)fM=x2+2x,g(x)=-x2+2x,0=(YO,+OO),求/?(x)的表達(dá)式;

(2)若f(x)=Y-冗+1，g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+oo),求G的取值范圍;

2

(3)若/(幻=/一212,g(x)=4x-8,/1(幻=4(一一力工一3r+2產(chǎn)(0<|八?亞)，。=[孫川u[-0,0],求

證：〃一〃%,V7.

【解析】(1)由/(x)=g(x)得％=0,又r(x)=2x+2,g\x)=-2x+2,所以廣(0)=g，(0)=2,

所以，函數(shù)/?(x)的圖象為過原點(diǎn)，斜率為2的直線，所以〃(x)=2x,經(jīng)檢驗(yàn)：〃(x)=2x,符合任意，

1V—1

(2)h(x)-g(x)=k{x-1-Inx),設(shè)例x)=X-l-/nx,設(shè)必x)=l——=------,

XX

在(1,+00)上，/(x)>0,以幻單調(diào)遞增，在(0,1)上，“(x)vO,8(幻單調(diào)遞減，所以以工)..0⑴=0,

所以當(dāng)〃Cx)—g(x)..O時(shí)，k.A),令p(x)=f(x)-h(x),

所以p(x)=x2-x+1-(kx-k)=x2~(k+l)x+(1+A:)..0,得，

當(dāng)x=Z+L,0時(shí)，即配-1時(shí)，f(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以p(x)>M0)=l+k-0,&…一1，所以Z=—1,

當(dāng)k+1>0時(shí)，即左>-1時(shí),A?0,即(左+1)2-4(攵+1),,0,解得-1<鼠3,

綜上，％￡[0,3].

(3)①當(dāng)啜k&時(shí)，由g(x),,〃(x),得4/-&,4(t3-t)x-3尸+2產(chǎn),整理得x2-(t3-t)x+3/4~2/--8?0,

4

(*)

令△=(—一)2-(3/一2產(chǎn)-8),則△=心一5/+3/+8,記*(/)=/-5/+3/+8(1領(lǐng))近)，

則”⑴=6/一20/+6/=2f(3/一1)(產(chǎn)-3)<0,恒成立，

所以g(f)在工上是減函數(shù),則夕(夜)蒯/)/⑴，即2會(huì)步⑺7,

所以不等式(*)有解，設(shè)解為為領(lǐng)kx2.因此〃-布上一片="幣.

②當(dāng)0vf<l時(shí),/(-I)-/i(-l)=3?+4r3-2t2-4t-1,設(shè)v(f)=31+4產(chǎn)一2/2—4,一1,

則M(f)=12/+12產(chǎn)-4f-4=4?+l)(3/-1),令丫")=0,得”更，

3

當(dāng)/€(0,三)時(shí)，1/(/)<0,M)是減函數(shù)，

當(dāng)fe(弓,1)時(shí)，U(f)>0,v⑺是增函數(shù)，v(0)=-l,v(l)=0,則當(dāng)0<f<l時(shí),v(0<0,

則/(-1)-力(-1)<0,因此-1任(，",〃)，因?yàn)閇見川1[一&,0],所以〃7%,血+1<J7,

③當(dāng)-也,/<0時(shí)，因?yàn)?(X),g(x)為偶函數(shù)，因此也成立，

綜上所述，77.

【評(píng)注】本題考查恒成立問題，參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

屬于難題.

20.(16分)已知數(shù)列｛%1｝(〃eN*)的首項(xiàng)q=1,前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)4和人為常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)〃，均

有—S/=也/成立，則稱此數(shù)列為“I”數(shù)列.

(1)若等差數(shù)列｛%｝是“2—1”數(shù)列，求】的值;

(2)若數(shù)列｛q｝是“更-2”數(shù)列，且鳳>0,求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(3)對(duì)于給定的2,是否存在三個(gè)不同的數(shù)列｛”“｝為“2-3”數(shù)列，且%.0?若存在，求出入的取值范

圍；若不存在，說明理由.

【解析】(1)左=1時(shí),4+]=S“+]—S〃=,由應(yīng)為任意正整數(shù),且4=1,4產(chǎn)()，可得九=1；

(2)瓦-厄=與向，貝1」。向=5向一5"=(匹一點(diǎn))?(卮+凡)=日?歷(鳳+后)，

因此67+后=6.向即瘋;=|商二，，+i=ga“+i=：(S,+1—S”)，

K-2

從而S〃+i=4S〃，又S]=q=l,可得S〃=4"T,an=St)-Sn_1=3-4,幾.2,

l,n=l

綜上可得4=”,，neN*；

3?4/〃..2

(3)若存在三個(gè)不同的數(shù)列｛(｝為“4-3”數(shù)列，則，/-/二枇/，

2112

53

則\+1-3S?+JS?+3S?+I^,J-S?=A,+I=2(S?+1-5?)，

S-

由q=l,a?..O,且S“>0,令p.=(-^)3>0,則(1一萬)/-3p：+3p“一(1-萬)=0,

2=1時(shí)，P”=P；，由P.>0,可得P,=l,則S“+|=S,,即%+i=0，

此時(shí)他“｝唯一，不存在三個(gè)不同的數(shù)列｛《,｝,

2x1時(shí)，令則成一成+卬"一i=o,則(％一1)［工+(1一%+1］=0,

1-2

①時(shí)，p：+(l-f)p〃+1>0,則p〃=1,同上分析不存在三個(gè)不同的數(shù)列｛〃“｝;

②1UV3時(shí)，△=(1一。2-4<0,沅+(1-/)2+1=0無解，則pn=l,同上分析不存在三個(gè)不同的數(shù)列｛/｝；

③，=3時(shí)，(p〃-Ip=0,則〃〃=1,同上分析不存在三個(gè)不同的數(shù)列｛〃〃｝.

④1>3日寸，即0<%<1時(shí)，A=(l-r)2-4>0,〃；+(1—/)2+1=。有兩解。，p,

沒a<。,a+J3=t-\>293=1>0,則0<avl<〃，

則對(duì)任意〃eN*,3q=1或3q旦=〃(舍去)或3q±!_=43,

S“SnSn.

由于數(shù)列｛S.｝從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同的結(jié)果，

所以這樣的數(shù)列｛S“｝有無數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的數(shù)列｛4｝有無數(shù)多個(gè).

則存在三個(gè)不同的數(shù)列｛4｝為“2-3”數(shù)列，且冊(cè).0,

綜上可得0<4<1.

【評(píng)注】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的

遞推式的運(yùn)用，考查分類討論思想，以及運(yùn)算能力和推理論證能力，是一道難題.

【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作

答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.［選修4-2：矩陣與變換］(本小題滿分

10分)

21.（10分）平面上的點(diǎn)A（2,-1）在矩陣M=°1對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)5（3,-4）.

-1b

（1）求實(shí)數(shù)a,6的值;

（2）求矩陣M的逆矩陣

【解析】（1）由題意，知卜]]\2

b=2；

-1b\[-I

21tnn

⑵由⑴知，矩陣2'設(shè)矩.的逆矩陣為加

Pq

「211Fmn2機(jī)+p2n+q-io-

-[pq_

-tn+2p-n+2q01

-

2m+p=121

-j

55-

2〃+g=0碗俎2112,1

12I

一〃2+2〃=05555-

55-

-n+=1-

【評(píng)注】本題考查了矩陣的變換與計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

B.[選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

22.（10分）在極坐標(biāo)系中，已知A3,馬在直線/：0cos6=2上，點(diǎn)8（0,,為在圓C:0=4sin。上（其中

36

p..0,Q,。<24）.

（1）求P1，夕2的值；

（2）求出直線/與圓。的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

【解析】（1）&85）在直線/：/?8$。=2上，/.P]?05（=2,解得夕[=4.

點(diǎn)83,馬在圓C:p=4sin。上，/.0=4sin三，解得g>=2,

66

或2,=0時(shí)，點(diǎn)B（o,工）表示極點(diǎn)，而圓C經(jīng)過極點(diǎn)，所以滿足條件，極點(diǎn)的極坐標(biāo)表示。為0,極角為任

6

意角.故.=2或0.

（2）由直線/與圓C得，方程組['c°s"=2,則sin26?=l.0G[O,2TT）,:.20=~,:.0=-.

[p=4sin6?24

p=4xsin-=2V2.故公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2及,工）.

44

【評(píng)注】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的關(guān)系和根據(jù)簡(jiǎn)單曲線極坐標(biāo)方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

C.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分0分）

23.設(shè)xeR,解不等式2|x+l|+|x|<4.

3x+2,x>0

3x+2<4_fx+2<4f_3x—2<4

【解析】2|x+l|+|x|=,x+2,-啜k0.2|x+l|+|x|<4,x>0或4Xl隔?；騥-1

—3x—2,x<—1

777

0<x<；或一掇!k0或一2vx<-l,:.-2