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文檔簡介
2022-2023學年度第一學期期末調(diào)研測試
高三數(shù)學試題
一、選擇題.本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,
只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A={0,a},B=若AcB={l},則Q+O=()
A.lB.2C.3D.4
2.若1+i是實系數(shù)一元二次方程元2+p%+q=0的一個根,貝IJ()
A.p=2,q=2B.p=2,q=-2
C.p=—2,q=2D.p=-2,q=-2
6
3.若(x+y)=%y6+〃沖52y3-\-a^,則(/+%+%+%?一(q+/+%『
的值為()
A.OB.32C.64D.128
4.在音樂理論中,若音M的頻率為相,音N的頻率為〃,則它們的音分差12001og2」.當
n
音A與音8的頻率比為?時,音分差為r,當音C與音O的頻率比為變時,音分差為s,
8243
則()
A.2〃+3s=600B.3尸+2s=600
C.5〃+2s=1200D.2〃+5s=1200
5.在平面直角坐標系xOy中,直線/:x-2y+2=0與拋物線C:尸=4%相交于4,B
兩點,則。4-OB的值為()
A.4B.8C.12D.16
6.在平面直角坐標系中,已知點4(6,8),將。4繞點O順時針旋轉(zhuǎn)三后得OA,則A
的縱坐標為()
A.V2B.6C.2D.石
7.己知函數(shù)/(x)=sin?x+夕)?>0,0<,若/[?)=0,7(x)的最
小正周期7>2〃,則°的值為()
5
D.一乃
6
8.若實數(shù)a,b,。滿足6"=12"。=3,3人"&=5"",則a,b,c的大小關(guān)系是()
\.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有
多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知一組數(shù)據(jù)為:4,1,2,5,5,3,3,2,3,2,則()
Q
A.標準差為2B.眾數(shù)為2和3
5
C.70分位數(shù)為人7D.平均數(shù)為3
2
10.用一個平面截正方體,則截面的形狀不可能是()
A.銳角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.邊長不相等的六邊
形
11.已知定義域為R的函數(shù)一/+公+1,則()
A.存在位于的實數(shù)4,使函數(shù)/(X)的圖象是軸對稱圖形
B.存在實數(shù)使函數(shù)/(x)為單調(diào)函數(shù)
C.對任意實數(shù)a,函數(shù)〃x)都存在最小值
D.對任意實數(shù)a,函數(shù)/(x)都存在兩條過原點的切線
12.過圓O:V+y2=8內(nèi)一點P(1,G)作兩條互相垂直的弦AB,CD,得到四邊形
ADBC,則()
的最小值為43.當|筋|=2指時,|8|=2萬
C.四邊形面積的最大值為16D.AC-8。為定值
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.若橢圓的焦點在〉軸上,且與橢圓G:?+5=1的離心率相同,則橢圓。2的一個
標準方程為.
14.某公司決定從甲、乙兩名員工中選一人去完成一項任務,兩人被選中的概率都是0.5.據(jù)以
往經(jīng)驗,若選員工甲,按時完成任務的概率為0.8;若選員工乙,按時完成任務的概率為0.9.
則選派一名員工,任務被按時完成的概率為.
15.設正項等比數(shù)列{%}的前幾項和為S“,若&=1052,則2的值為.
16.一名學生參加學校社團活動,利用3D技術(shù)打印一個幾何模型該模型由一個幾何體M及
其外接球。組成,幾何體M由一個內(nèi)角都是120°的六邊形繞邊旋轉(zhuǎn)一周
得到且滿足A5=AE=£>C=OE,BC=EF,則球。與幾何體M的體積之比為.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步
17.(10分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,已知
sinAsinC-?,
-----+-----=2cosB+1
sinCsinA
(I)求證:b2=ac;
(2)若一7=2,求cosB的值.
a+c~5
18.(12分)已知數(shù)列{4}滿足魯=受]
(1)求證:數(shù)列,,I是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{。/向}的前〃項和S,.
19.(12分)甲、乙兩個學校進行球類運動比賽,比賽共設足球、籃球、排球三個項目,每
個項目勝方得100分,負方得。分,沒有平局,三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學校獲得
冠軍,已知甲校在三個項目中獲勝的概率分別為0.4,0.6,0.5,各項目比賽互不影響.
(1)求乙獲得冠軍的概率;
(2)用X表示甲校的總得分,求X的分布列與期望.
20.(12分)如圖,在三棱臺4??!!陸糁?,已知平面ABED,平面BCFE,BA±BC,
BC=3,BE=DE=DA=-AB=\
2
(1)求證:直線AEJ_平面5CEE;
(2)求平面CDF與平面AEb所成角的正弦值.
21.(12分)在平面直角坐標系xQy中,過點尸(一2,0)的直線/與曲線C:*一斗=1的左
支交于A,B兩點,直線OA與雙曲線C的右支交于點。.已知雙曲線C的離心率為
當直線/與x軸垂直時,忸£>|=正|4同.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)證明:直線與圓。:/+,2=2相切
22.(12分)已知函數(shù)〃x)=e*_,ox3(”為非零常數(shù)),記力+1(x)=£:(x)(〃eN),
^>(x)=/(%).
(1)當x>0時,/(x)20恒成立,求實數(shù)a的最大值;
⑵當a=l時,設g“(x)=Zf(x),對任意的鹿N3,當x=r“時,y=g“(x)取得最小
1=2
值,證明:g“?“)>0且所有點(加8,,(/))在一條定直線上;
⑶若函數(shù)為(x),工(力,,力(x)都存在極小值,求實數(shù)a的取值范圍.
2022-2023學年度第一學期期末調(diào)研測試
高三數(shù)學試題參考答案
一、選擇題.本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,
只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】AcB={l},則a=l,A={0,l},5={2,1},即8=1,二a—A=2,選B.
2.【答案】C
【解析】(l+i)2+p(l+i)+q=0,2i+p+pi+q=0,(2+p)i+p+q=0
.[2+p=02,選c
??V,
p+q=0b=2
3.【答案】A
【解析】x=l,y=—[時,0=—q+a,—%+%—4+%
x—l,y=1時,64=a0+a}+a2+a3+a4+a5+a6
(a0+a2+%+%)一(q+4+%)”
=(4—q+a,—&+一仆+4)(4+4+%+%+q+%+4)=0x64—0,選A.
4.【答案】C
Q
【解析】=l200log-=1200(log9-3)=2400log3-3600,
r2822
QSA
5=1200log2=1200(8-5log,3)=9600-6000log23,5r+2s=1200,選C.
5.【答案】C
x-2y+2-0,
【解析】V,,消x可得/-8),+8=0,
y=4x
22
令A(%,X),乂%=8,西馬="214,
4
OAOB-jqxj+=12,選C.
6.【答案】A
43
【解析】設A(6,8)是a角終邊上一點,則sinacosa=—.
55
04繞點0順時針旋轉(zhuǎn)三后得OA,
4
則力,=10?sin(a-()=0,選A.
7.【答案】D
【解析】=/(%)=一1,則萬一(=[;+g)T,kwZ
3
一兀99
T=——>2%,/.k=0即T=3冗=—,s=—
1f(D3
---1---
42
/(x)=sin(gx+e],/(;r)=sin('|乃+0)=_1,二夕=,",選D.
8.【答案】D
r/
【解析】方法一:6=3,/.a—log63,12"'=3,,QC=log%3
.l-i
1---1=log56?=(1-a)log56=log/?log56=log52,
/.—=log10,:.b-log5,
b510
.61i.In2._1011_,In2
??^=l°g6-=l-log62=l--?b=logu)K=lTogio2=l_1^,
2In62InlO
?12….In2III
12212In12In6In10lnl2
:?a<b<c,選D.
方法二:由6〃=12"『=3na=log63,c=^^=log126.
log63
而/?=logio5,l-a=log62,l-c=logl22,l-Z?=logl02,
Vlog62>logl02>log,,2^>\-a>\-b>\-c,:.a<b<c,選D.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有
多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.【答案】BCD
【解析】x=3,D對.
1QQ
S2=—(4+1x3+0x3+1x14-4x2)=-,方差為1,A錯.
眾數(shù)為2和3,B對.
10x70%=7,按大小順序排為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,第7,8位數(shù)的平均數(shù)為
一,C對.
2
10.【答案】BC
【解析】如圖(1)截面為銳角三角形,A不選.
當截面為四邊形時可能出現(xiàn)矩形,平行四邊形,等腰梯形,但不可能出現(xiàn)直角梯形,B選
當截面為五邊形時,不可能出現(xiàn)正五邊形,C選.
如圖(2)可以是邊長不全相等的六邊形,D不選,選BC.
11.【答案】ACD
對于A,可利用一個結(jié)論
若/(%)=14+加+云2+5+”為軸對稱圖形,
則dc=—4匕)且/(x)關(guān)于x=對稱,
Vf(^X)-X4-X2+3+1為軸對稱圖形,
a—0,A正確.
對于B,/'(X)=4/—2x+a,當x—>-8時,/"'(x)—>-oo,
Xf+00時,/'(X)—>+00,
對VeR,.?./'(X)至少有一個變號零點,.../(x)不可能為單調(diào)函數(shù),B錯.
對于C,當x->-oo以及xf+oo時,/(x)均一>+x),由/(x)在R上連續(xù),
二中間/(x)必存在最小值,C正確.
f
對于D,設切點-其+空+1),/(x)=-2x+a,k=4x1-2x0+a
/?/(x)在P處切線方程為y=(4x;-2x0+x0)+%o-Xg+ax0+1
,它過原點,.-4x:+2x;-畛+x;-x;+ox。+1=0
.?.3石一片一1=()有兩解,存在兩條切線,;.D正確.
選:ACD.
12.【答案】ABD
【解析】方法一:當尸為AB中點時最小,OP=2,|A4?in=2A/8^4=4,A對.
。到A3,CO的距離分別為4,d2,AB=2&d;=2#>,:
d:+d;=i4,."2=1,CO=2/斤=2"B對.
=2Q64-8(d:+d;)+d:d;=2764-32+J,2J;
=2j32+42Gw2J32+4=12,C錯.
ACBD=(AP+PC^BP+PD^APBP+APPD+PCBP+PCPD
=PAPB+PCPD
分別取AB,CD的中點M,N,
ACBD=-(MA-PM)(MB+PM)-(NC-PN)(ND+PN)
=PM2_"+呼2_府=片+4_(8_d;)_(8-幻
=2(42+1;)-16=-8為定值,D對,選ABD.
方法二:當0。,48時,|4回最小,此時|/3匕=2,葭4=4,A正確.
過。分別作QE_LAB于點E,OF_LCD于點產(chǎn),
對于C,S四邊形3c=g|A圳底,-2后于
二248T2)(8_y2)?2.16—(;+y)=]2,C錯.
對于D,AC-BD=(PC-PA、(PD-PB)=PC-PD+PA-PB
=FP2-DF2+PE2-BE2=x2-(8-y2)+y-(8-x2)
=2(/+/)—16=—8為定值,D正確,選ABD.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.【答案】二+爐=1
2
22n>
【解析】橢圓G:三+二=1的離心率為e=*.
422
橢圓。2可取:+
14.【答案】0.85
【解析】0=0.5x0.8+0.5x0.9=0.85.
15.【答案】91
【解析】方法一:等比數(shù)列{4}中,$2,S4-52,S6-S4成等比數(shù)列,52,9s2,81s2
成等比數(shù)列,
/.S6—S4=8⑸,S6=91S)
.?.邑=91
S2
方法二:設{4}公比為心上----^=10?上-----』q=3
l-q\-q
。1(1-力
.§6.17」—36
,考而用一三1
i-q
16.【答案】應彳
81
2/]、2a
【解析】方法一:設AB=1,BC=a,OF2=—+3=-+-+-=OA2
4<22j4
/,a=4
?czrPii74?328J7
??OF=V7,V,=—r'-------TC,
133
V)=——乃+3乃+一4x—x2-2x-x二萬x—+3??4=
方法二:設AB=A^=OC=OE=勿,BC=EF=2h,
:.AB,A/旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐,
V上臺=]+乃?(26〃)+J4?3〃2.乃?12。2.a
-77。3—3=67。3
%圓柱=萬(2百。)?2〃=24%〃%,,匕晌體=12%。3+244。%
??,幾何體存在外接球,設3c中點為。,???。為球心,
由OA=OF=R=>(b+?!?3。2=/+12a2=>b=4a
/.R2=28c/2,R=2y/la,匕求=g〃.28a2-2^7^,
3
VM=127rq'+96%/-1O8^,
.%。_563
??----=------
九81
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步
驟.
17.【解析】
/、..sinAsinC八<.ac-a2+c2-b2,
(1)???-----+-------=2cosB+l,=2---------------+1
sinCsinA2ac
a2+c2=a2+c2-b2+ac=>b2=ac
Cl~+c~—b~Cl~+c~-etcCl~+c~1
(2)cosB=--------------=---------------=-------------
2aclaclac2
b22ac2-1513
由---7=—=>----7=—,..COSB----------=-
a~+c~5a52224
18.【解析】、
(1)%=32a“+1_1
2+1
4川I47
31\
2+—
a"人人211
令〃=1,2=><、,結(jié)合---1------二—
31axa2a3
2+―
ka27
成首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)知」?=1+2(〃-1)=2〃-1=?!?—!一
271—1
1111
a"a"+'-2〃-12〃+1一512〃-1-2〃+l
f,111_J________--L]n
/.S=一1------1-----------1-???+
“2I3352n-\2n+lJ2v2n+lJ2/7+1
19.【解析】
(1)乙校獲得冠軍的情形分為乙在兩個項目中獲勝或三個項目均獲勝
P=0.6x0.4x0.5+0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4+0.6x0.4x0.5=0.5.
(2)X的所有可能取值為0,100,200,300
p(X=0)=0.6x0.4x0.5=0.12,
P(X=100)=0.4x0.4x0.5+0.6x0.6x0.5+0.5x0.6x0.4=0.38,
P(X=2(X))=0.4x0.6x0.5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,
P(X=300)=0.4x0.6x0.5=0.12,
X的分布列如下:
X0100200300
p0.120.380.380.12
X的期望E(X)=38+76+36=150.
20.【解析】
(1)證明:在等腰梯形ABE。中,過E作EG_LAB于點G,
BG=L.?.ZBEG=30。且EG=@,AG=-,
222
/AEG=60°
:.ZAEB^90°,:.AE±BE,
?.?平面ABED,平面BCFE,平面ABEDc平面3CRE=3E,AEu平面ABE。,
AE±BE,AE_L平面BCFE.
(2)AE_L平面BCFE,,
又?.?3CLB4,???AEcB4=A.
BC±平面ABED,:BCu平面ABC,
平面ABC_L平面ABE。,
(&.Fi\
如圖建系,則C(3,0,0),D0,1,y-L£0,P9fA((),2,0)
13科,8=[-3,|,用,。F=(|,TO
由EF=-BCnF-
222
\
03間
,EF=
AE=22J豹。
設平面CDF與平面AEF的一個法向量分別為々=(%,,,zj,%=(工2,%,Z2)
a上3,6
-3龍I+-?!+-Z|=0
n4=(2,3,G)
3A
2X'~y'=0
3G八
一清+—()=
%=(0,L石),
-x=0
2'2
設平面CDF與平面AEF所成角為氏
6=3,sin*也
|coso\=H
4.244
21.【解析】
(I)當/_Lx軸時,A(—2,%),3(—2,—%),Z)(2,—y0)
此時,|叫=4,|陰=2聞,由忸q=Ji|AB|n4=20聞n|%|=0,
e=V2,/.—=5/2,c=\plci,b=a,
a
Y2V242/—
*.*A在雙曲線一7—7=1_t=>——-=1=>(72=2,a=V2,
aba~a~
x2y2
???雙曲線C的標準方程為:—-2-=1
22
,2
(2)方法一:?.’A,。關(guān)于原點對稱,,Z切Ma=—=1,
設A3方程:x=my-2,A(M,yJ,B(x2,y2),kBD=m
x=my-2
=>(m2-1)丁-4my+2=0,A=8m24-8
x2—y2=2
BD方程:y=〃?(x—X2)+必,0到距離.」)[,嘰
,加之+1
,2-制加%-2)||(1-m2)%+2司
不妨設%<0‘
\Jm2+1yjm2+1
4m+d8m2+82m+J2療+2
而必與相切.
2(m2-1)m2-1
d—V2=r,BD與(O相切
方法二:設直線A8的方程為九=沖一2,A(X],yJ,B(x2,y2),£)(一石,一y),
A=16m2-8(m2-1)=8>+8
_%+X
一,
x2+%
BO方程為丁=紅4"一々)+%X+%A、一-i%%一々乂
Xj+x2Xj+x2X1+x2
4m
而X+7=X+%=M-l=加
%+/my,-2+my2-2加4m.4
m2-l
而-々%(陽i-2)%一(陽2-2)乂
%+x2myx_2+my2-2
22日府+1
2(%-%)=卜+蘇|40M+l
=\[2\]m2+1
加(X+%)_4__4-4/n2-4(1-/7/2)
m2
,0到直線BD的距離d=當,"I=V2=r.
,直線BD圓0:f+y2=2相切.
22.【解析】
⑴由/(x)>0,x>0=>ev--ax5>0=>?<
6
x32r
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