現(xiàn)代控制理論的論文文檔

第一章經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論本學(xué)期學(xué)習(xí)了現(xiàn)代控制理論課程的主要內(nèi)容，現(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的一種控制理論，是自動(dòng)控制理論的一個(gè)主要組成部分。在現(xiàn)代控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)主要是通過對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的描述來進(jìn)行的，基本的方法是時(shí)間域方法?，F(xiàn)代控制理論比經(jīng)典控制理論所能處理的控制問題要廣泛得多，包括線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。它所采用的方法和算法也更適合于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行?，F(xiàn)代控制理論還為設(shè)計(jì)和構(gòu)造具有指定的性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)提供了可能性?，F(xiàn)代控制理論的名稱是在1960年以后開始出現(xiàn)的，用以區(qū)別當(dāng)時(shí)已經(jīng)相當(dāng)成熟并在后來被稱為經(jīng)典控制理論的那些方法?，F(xiàn)代控制理論已在航空航天技術(shù)、軍事技術(shù)、通信系統(tǒng)、生產(chǎn)過程等方面得到廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)代控制理論的某些概念和方法，還被應(yīng)用于人口控制、交通管理、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等的研究中。以下是經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的比較：1、經(jīng)典控制理論：(1)理論基礎(chǔ)：Evens的根軌跡，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。(2)研究對(duì)象：線性定常SISO系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。(3)分析問題：穩(wěn)、準(zhǔn)、快(4)采用方法：是以頻率域中傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的外部描述方法。(5)數(shù)學(xué)描述：高階微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性;方塊圖、信號(hào)流圖、頻率特性曲線。(6)研究方法：時(shí)域法、根軌跡法、頻率法。2、現(xiàn)代控制理論：(1)理論基礎(chǔ)：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，Bellman動(dòng)態(tài)規(guī)劃，Понтрягин極值原理，Kalman濾波。(2)研究對(duì)象：MIMO系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)（復(fù)雜系統(tǒng)：多變量、時(shí)變、非線性）(3)分析問題：穩(wěn)、準(zhǔn)、快(4)設(shè)計(jì)（綜合）問題：1)采用方法：是以時(shí)域中（狀態(tài)變量）描述系統(tǒng)內(nèi)部特征的狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)的內(nèi)部描述方法。2)數(shù)學(xué)描述：狀態(tài)方程及輸出方程、傳遞函數(shù)陣、頻率特性；狀態(tài)圖、信號(hào)流圖、頻率特性曲線。3)研究方法：狀態(tài)空間法（時(shí)域法）、頻率法。多采用計(jì)算機(jī)軟硬件教學(xué)輔助設(shè)計(jì)——MATLAB軟件(5)特點(diǎn)：1）系統(tǒng)：MIMO、非線性、時(shí)變。2）方法將矩陣?yán)碚摵头椒☉?yīng)用到控制理論中，不僅能描述系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系，而且在任何初始條件下，都能揭示系統(tǒng)內(nèi)部的行為。3）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)可能有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，并且以某種方式相互關(guān)聯(lián)或耦合。為了分析這樣的系統(tǒng)，必須簡化其數(shù)學(xué)表達(dá)式，轉(zhuǎn)而借助于計(jì)算機(jī)來進(jìn)行各種大量而乏味的分析與計(jì)算。從這個(gè)觀點(diǎn)來看，狀態(tài)空間法對(duì)于系統(tǒng)分析是最適宜的。-1-

第二章現(xiàn)代控制理論的主要方法一、變分法1.1、變分法的基本概念1.1.1、泛函的概念S設(shè)為一函數(shù)集合，若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)x(t)S。稱為的容許函數(shù)集。JJ有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義S在上的泛函，記作J(x(t))SJ例如，在[x,x]上光滑曲線y(x)的長度可定義為01Jx1y2dx1（2）x0考慮幾個(gè)具體曲線，取x0,x1，01若y(x)x，則J(y(x))J(x)111dx20若y(x)為懸鏈線，則J(exex)1(exex)2dx1exeee11xdx242200對(duì)應(yīng)C1[x,x]中不同的函數(shù)y(x)，有不同曲線長度值J，即J依賴于y(x)，是定義在01函數(shù)集合C1[x,x]上的一個(gè)泛函，此時(shí)我們可以寫成01JJ(y(x))我們稱如下形式的泛函為最簡泛函J(x(t))tfF(t,x(t),x(t))dt（3）t0xFtx被積函數(shù)包含自變量，未知函數(shù)(t)及導(dǎo)數(shù)(t)。上述曲線長度泛函即為一最簡泛函。1.1.2、泛函極值問題考慮上述曲線長度泛函，我們可以提出下面問題：在所有連接定點(diǎn)A(x,y)和B(x,y)的平面曲線中，試求長度最小的曲線。0011即，求y(x)y(x)y(x)C1[x,x],y(x)y,y(x)y1，使01001J(y(x))x1y2dx1x0取最小值。此即為泛函極值問題的一個(gè)例子。以極小值為例，一般的泛函極值問題可表述為，稱泛函J(x(t))在x(t)S取得極小值，如果對(duì)于任意一個(gè)與x(t)接近的x(t)S，00都有J(x(t))J(x(t))。所謂接近，可以用距離d(x(t),x(t))來度量，而距離可以定00義為d(x(t),x(t))max{|x(t)x(t)|,|x(t)x(t)|}t0ttf000-2-

泛函的極大值可以類似地定義。其中x(t)稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。01.1.3泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)x(t)在x(t)的增量記為0x(t)x(t)x(t)0也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作JJ(x(t)x(t))J(x(t))00如果J可以表為JL(x(t),x(t))r(x(t),x(t))00LxrxLx(t)的變分，記作其中為的線性項(xiàng)，而是的高階項(xiàng)，則稱為泛函在0J(x(t))。用變動(dòng)的x(t)代替x(t)，就有J(x(t))。00泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)：J(x(t))J(x(t)x(t))（4）0這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí)，增量JJ(x(t)x)J(x(t))L(x(t),x)r(x(t),x)Lr根據(jù)和的性質(zhì)有L(x(t),x)L(x(t),x)limr(x(t),x)limr(x(t),x)x0x00所以J(xx)J(x)J(xx)lim00limL(x,x)r(x,x)L(x,x)J(x)01.2泛函極值的相關(guān)結(jié)論1.2.1泛函極值的變分表示利用變分的表達(dá)式（4），可以得到有關(guān)泛函極值的重要結(jié)論。泛函極值的變分表示：若J(x(t))在x(t)達(dá)到極值（極大或極?。瑒t0J(x(t))0（5）0證明：對(duì)任意給定的x，J(xx)是變量的函數(shù)，該函數(shù)在0處達(dá)到極值。根0據(jù)函數(shù)極值的必要條件知-3-

J(xx)000再由（4）式，便可得到（5）式。變分法的基本引理：(x)C[x,x]，(x)C1[x,x]，(x)(x)0，有121212x2(x)(x)dx0，x1則(x)0,x[x,x]。12證明略。1.2.2泛函極值的必要條件考慮最簡泛函（3），其中F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)類S取為滿足端點(diǎn)條件為固定端點(diǎn)（6）的二階可微函數(shù)。x(t)x，x(t)x（6）00ff泛函極值的必要條件：設(shè)泛函（3）在x(t)∈S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程ddtFF0（7）xx歐拉方程推導(dǎo)：首先計(jì)算（3）式的變分：JJ(x(t)x(t))0F(t,x(t)x(t),x(t)x(t))dttf0t0tf[F(t,x,x)xF(t,x,x)x]dtxxt0對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分布積分，并利用x(t)x(t)0，有0fddtF(t,x,x)xdt，tfF(t,x,x)xdttfxxt0t0所以ddtJtf[FF]xdtxxt0利用泛函極值的變分表示，得ddttf[FF]xdt0xxt0x因?yàn)榈娜我庑?，及x(t)x(t)0，由基本引理，即得（7）。0f（7）式也可寫成FFFxFx0（8）txxxxxx通常這是關(guān)于x(t)的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點(diǎn)條件（6）確定。1.3幾個(gè)經(jīng)典的例子1.3.1最速降線問題-4-

AB的平面曲線中，求一曲線，使質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，初速度為零時(shí)，沿此曲線從滑行至的ABB最速降線問題設(shè)和是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)，在所有連結(jié)和A時(shí)間最短。解將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)取為B(x1,y1)，如圖1。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)在曲dsdtx線y(x)上任一點(diǎn)處的速度滿足（為弧長）sA(0,0)1ds2dt2mmgy將ds1y'2(x)dx代入上式得B(x1,y1)1y'2dxdty圖1最速降線問題2gy于是質(zhì)點(diǎn)滑行時(shí)間應(yīng)表為y(x)的泛函1y'2dx2gyJ(y(x))x20端點(diǎn)條件為y(0)0,y(x)y11最速降線滿足歐拉方程，因?yàn)?y'2yF(y,y')x不含自變量，所以方程（8）可寫作FFy'Fy''0yyy'y'y'等價(jià)于d(Fy'F)0dxy'作一次積分得y(1y'2)c1令y'ctg,2則方程化為cc22y1y'2csin21(1cos)11又因-5-

csincosddydxy'c21(1cos)d221ctg2積分之，得x2c(sin)c2由邊界條件y(0)0，可知c0，故得2c2x(sin)1cy1(1cos).2cy(x）y來確定。11這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)可利用另一邊界條件11.3.2最小旋轉(zhuǎn)面問題最小旋轉(zhuǎn)面問題對(duì)于xy平面上過定點(diǎn)A(x,y)和B(x,y)的每一條光滑曲線1122y(x)x，繞軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線y(x)的泛函J(y(x))，易得J(y(x))x22y(x)1y'2(x)dxx1容許函數(shù)集可表示為Sy(x)|y(x)C1[x,x],y(x)y,y(x)y212112解因Fy1yx不包含，故有首次積分y'Fy'Fy1y'2y'yc1y'1y'2yc1y'2化簡得1令y'sht，代入上式，yc1sh2tccht11dycshtdtdxcdt由于1y'sht1積分之，得xctc12ycchxct消去，就得到。2c11這是懸鏈線方程，適當(dāng)選擇條件（令該懸鏈線過（0，1/a）點(diǎn)，且該點(diǎn)處的切線是水平的）-6-

x就可得到（1）。本例說明，對(duì)于平面上過兩個(gè)定點(diǎn)的所有光滑曲線，其中繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積最小的是懸鏈線！二、最大（?。┲翟恚?1、泛函極值問題２.1.1、泛函極值的幾個(gè)簡單推廣（ⅰ）含多個(gè)函數(shù)的泛函使泛函J(y(x),z(x))x2F(x,y,y',z,z')dxx1取極值且滿足固定邊界條件y(x)y,y(x)y,z(x)z,z(x)z.11221122的極值曲線yy(x),zz(x)必滿足歐拉方程組ddxFF0yy'dFF0dxzz'（ii）含高階導(dǎo)數(shù)的泛函使泛函J(y(x))x2F(x,y,y',y)dxx1取極值且滿足固定邊界條件y(x)y,y（x）y，y'(x)y',y'(x)y'21122112的極值曲線yy(x)必滿足微分方程dFFdxd2dx2F0yy'y（iii）含多元函數(shù)的泛函設(shè)z(x,y)c2,(x,y)D，使泛函J(z(x,y))F(x,y,z,z,z)dxdyxyD取極值且在區(qū)域的邊界線上取已知值的極值函數(shù)zz(x,y)必滿足方程DlFFF0xyzzzxy上式稱為奧式方程。2.1.2、端點(diǎn)變動(dòng)的情況（橫截條件）-7-

設(shè)容許曲線x(t)ttt時(shí)不固定，是沿著給定的曲線x(t)上在固定，在另一端點(diǎn)0f變動(dòng)。于是端點(diǎn)條件表示為x(t)xx(t)(t)00t這里是變動(dòng)的，不妨用參數(shù)形式表示為ttdtff尋找端點(diǎn)變動(dòng)情況的泛函極值必要條件，可仿照前面端點(diǎn)固定情況進(jìn)行推導(dǎo)，即有0JtfdtfF(t,xx,xx)dttd00tf(FFxdtFxFdt)ttf（9）dtxxxfttft0再對(duì)（9）式做如下分析：tx(t)都滿足歐拉方程，即（9）式右端的第一項(xiàng)積分為零；（i）對(duì)每一個(gè)固定的，f（ii）為考察（9）式的第二、第三項(xiàng)，建立dt與x之間的關(guān)系，因?yàn)閒ttfx(tdt)x(tdt)(tdt)ffffff對(duì)求導(dǎo)并令0得x(t)dtx(t)dtffffttf即x[(t)x(t)]dt（10）（11）fffttf把（10）代入（9）并利用dt的任意性，得f[F(x)F]0xttf（11）式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見的特殊情況：（i）當(dāng)x(t)是垂直橫軸的直線時(shí)，固定，tx(t)自由，并稱x(t)為自由端點(diǎn)。fff此時(shí)（9）式中dt0及x的任意性，便得自由端點(diǎn)的橫截條件fttfF0（12）xttf（ii）當(dāng)x(t)是平行橫軸的直線時(shí)，自由，tx(t)固定，并稱x(t)為平動(dòng)端點(diǎn)。fff此時(shí)0，（11）式的橫截條件變?yōu)?8-

FxF0*（13）xttf注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。2.2、有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問題，其典型形式是對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)x(t)f(t,x(t),u(t))*（14）尋求最優(yōu)性能指標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）t0J(u(t))(t,x(t))tfF(t,x(t),u(t))dt*（15）ff其中u(t)是控制策略，x(t)ttx(t)自由，x(t)Rn，u(t)Rm（不是軌線，固定，及ff0受限，充滿Rm空間），f,,F連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略u(píng)*(t)和最優(yōu)軌線x*(t)的必要條件。采用拉格朗日乘子法，化條件極值為無條件極值，即考慮J(x,u,)(t,x(t))tf[F(t,x,u)T(t)(f(t,x,u)x)]dt（16）1fft0的無條件極值，首先定義（14）式和（15）式的哈密頓（Hamilton）函數(shù)為H(t,x,u,)F(t,x,u)T(t)f(t,x,u)（19）（17）（20）(18)將其代入（16）式，得到泛函t0J(x,u,)(t,x(t))tf[H(t,x,u,)x]dtT1ff下面先對(duì)其求變分J{(tdt,x(t)x(t))ffff1tfdtf[H(t,xx,uu,)(xxdt)()]}T0t0(dt)TH(t,x,u,)(dt)T(x)ttfTx(t)(dt)TTfx(tf)ftffttffTTtf[(x)TH(u)TH()TH()xx]dtt0xu(dt)T[F(t,x,u,t)][x(t)]Tftttfx(tf)fftf[(x)TH(u)TH()TH()Tx]dt(t)xtf(x)dtTTxufttftt00注意到xx(t)，xx(t)x(t)dt，因而fttffttfffJ(dt)T[H(t,x,u,)][x(t)]T()1ftttfxttfff-9-

tf[(x)T(H)()T(Hx)(u)TH]dtt0xu再令J0，由dt,x(t),x,u,的任意性，便得1ff（i）x*,*必滿足正則方程：xHf(t,x,u)①狀態(tài)方程H②協(xié)態(tài)方程。x（ii）哈密頓函數(shù)H(t,x*,u,*)作為的函數(shù)，也必滿足uH0uu并由此方程求得*。（iii）求x*,*,u*時(shí)，必利用邊界條件①x(t)xx（用于確定*），00②(t)（用于確定*），fx(tf)③H(t,x,u,)，（確定）ttfttff如果受控系統(tǒng)xf(t,x,u)，x(t)x00U其控制策略u(píng)(t)的全體構(gòu)成有界集，求u(t)U，使性能指標(biāo)t0J(u(t))(t,x(t))tfF(t,x,u)dtff達(dá)到最大（小）值。2.3、最大（小）值原理如果f(t,x,u)，(t,x(t))和F(t,x,u)都是連續(xù)可微的，那么最優(yōu)控制策略u(píng)*(t)和ff相應(yīng)的最優(yōu)軌線x*(t)由下列的必要條件決定：（i）最優(yōu)軌線x*(t)，協(xié)態(tài)向量*(t)由下列的必要條件決定：dxdtf(t,x,u)，u(t)U，-10-

dHdtx（ii）哈密頓函數(shù)H(t,x*,u,*)F(t,x*,u)*T(t)f(t,x*,u)作為u(t)的函數(shù)，最優(yōu)策略u(píng)*(t)必須使H(t,x*,u*,*)maxH(t,x*,u,*)uU或使H(t,x*,u*,*)minH(t,x*,u,*)(最小值原理)uU（iii）滿足相應(yīng)的邊界條件①若兩端點(diǎn)固定，則正則方程的邊界條件為x(0)x，x(t)x。f0ftx(t)自由，則正則方程的邊界條件為②若始端固定，終端也固定，而ff(t)x(tf)(t,x(t))。x(0)x，0fff③若始端固定，終端t,x(t)都自由，則正則方程的邊界條件為ff(t)x(tf)(t,x(t))，ffx(0)x，0fH(t,x(t),u(t),(t))(t,x(t))0。fffftfff三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是系統(tǒng)分析中一種常用的方法。在水資源規(guī)劃中,往往涉及到地表水庫調(diào)度、水資源量的合理分配、優(yōu)化調(diào)度等問題,而這些問題又可概化為多階段決策過程問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是解決此類問題的有效方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是20世紀(jì)50年代由貝爾曼（R.Bellman）等人提出,用來解決多階段決策過程問題的一種最優(yōu)化方法。所謂多階段決策過程,就是把研究問題分成若干個(gè)相互聯(lián)系的階段,由每個(gè)階段都作出決策,從而使整個(gè)過程達(dá)到最優(yōu)化。許多實(shí)際問題利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法處理,常比線性規(guī)劃法更為有效,特別是對(duì)于那些離散型問題。實(shí)際上,動(dòng)態(tài)規(guī)劃法就是分多階段進(jìn)行決策,其基本思路是：按時(shí)空特點(diǎn)將復(fù)雜問題劃分為相互聯(lián)系的若干個(gè)階段,在選定系統(tǒng)行進(jìn)方向之后,逆著這個(gè)行進(jìn)方向,從終點(diǎn)向始點(diǎn)計(jì)算,逐次對(duì)每個(gè)階段尋找某種決策,使整個(gè)過程達(dá)到最優(yōu),故又稱為逆序決策過程。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是為了解決一類多階段決策問題而誕生的。多階段決策過程，是指這樣的一類特殊的活動(dòng)過程，問題可以按時(shí)間順序分解成若干相互聯(lián)系的階段，在每一個(gè)階段都要做出決策，全部過程的決策是一個(gè)決策序列。要使整個(gè)活動(dòng)的總體效果達(dá)到最優(yōu)的問題，稱為多階段決策問題從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類問題有兩個(gè)要素。一個(gè)是階段，一個(gè)是決策。階段：將所給問題的過程，按時(shí)間或空間特征分解成若干相互聯(lián)系的階段，以便按次序去求每階段的解。-11-

狀態(tài)：各階段開始時(shí)的客觀條件叫做狀態(tài)。描述各階段狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一個(gè)重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之后，對(duì)于某個(gè)給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無法直接影響它未來的發(fā)展，而只能通過當(dāng)前的這個(gè)狀態(tài)。換句話說，每個(gè)狀態(tài)都是“過去歷史的一個(gè)完整總結(jié)[1]”。這就是無后效性。決策：當(dāng)各段的狀態(tài)取定以后，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態(tài)，這種決定稱為決策。有了決策，我們可以定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移：動(dòng)態(tài)規(guī)劃中本階段的狀態(tài)往往是上一階段和上一階段的決策結(jié)果，由第k段的狀態(tài)sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態(tài)sk+1的過程叫狀態(tài)轉(zhuǎn)移。狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。動(dòng)態(tài)規(guī)劃有很多典型的例子，下面剖析一下最簡單的例子就可以理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本應(yīng)用方法了例：數(shù)字三角形PKU給出以下的數(shù)字三角形：738810274445265求出從頂端向下走，每一步只能向左下或右下走,讓經(jīng)過的路程所得到的數(shù)字和最大，輸出總和。本例來說走的路程為：7->3->8->7->5輸出就是30在這個(gè)問題中，我們按走過的行數(shù)來劃分階段，以走到每一行時(shí)所在的位置來作為狀態(tài)，決策就是向左下走或向右下走。我們輸入的時(shí)候可以將整個(gè)三角形存到一個(gè)2維數(shù)組中去：012345017238381042744545265為方便起見我們忽略0的下標(biāo),從1開始儲(chǔ)存對(duì)于規(guī)模很小的數(shù)據(jù)來說,例如本題只有5行,當(dāng)然可以通過枚舉所有的情況來解決這樣我們搜索的順序就是7-3-8-2-47-3-8-2-57-3-8-7-27-3-1-4-67-3-8-7-5.........但是，如果數(shù)據(jù)量增大到1000*1000,我們要搜多少遍?很難想象啊在用枚舉的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)單純的對(duì)于7-3-8來說,這一階段當(dāng)然應(yīng)該選擇7-8的狀態(tài),但是枚-12-

舉的時(shí)候重復(fù)搜索了很多次,那么能不能將這個(gè)值記錄下來以便以后不用搜索了呢？這就用到了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想：如我們建立一個(gè)數(shù)組DP[6][6];從7開始：我們將每走一行劃分為一個(gè)階段在第一階段當(dāng)然就是7，于是DP[1][1]=7第二階段,我們有2個(gè)選擇3或者8，于是DP[2][1]=7+3=10,DP[2][2]=7+8=15;第三階段,我們面臨了一種比較大小的選擇：DP[3][1]沒有選擇只能加上DP[2][1]=8+10=18；DP[3][2]就有選擇了DP[3][2]可以加上DP[2][1]或者DP[2][2]，于是我們選擇大的即DP[2][2]所以DP[3][2]=1+15=16這就引出了我們的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程DP[i][j]=DP[i-1][j]+num[i][j];(j==1的情況下)DP[i-1][j-1]+num[i][j];(j==n的情況下)(DP[i-1][j-1]>DP[i-1][j]?DP[i-1][j-1]:DP[i-1][j])+num[i][j]；一直到最后我們DP數(shù)組的最后一行保存的就是從7一直走到最后的不同路徑能得到的最大值，從中再找到最大的值就是整個(gè)題目的解了。四、線性二次型最優(yōu)控制對(duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡稱為線性二次型最優(yōu)控制問題或線性二次問題。線性二次型問題的最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)求解過程的規(guī)范化，并可簡單地采用狀態(tài)線性反饋控制律構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)，能夠兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)，因此得到特別的重視，為現(xiàn)代控制理論中發(fā)展較為成熟的一部分。-13-

第三章單級(jí)倒立擺LQR控制1、問題與建模在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示。θFMX其中：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置φ擺桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）采用牛頓動(dòng)力學(xué)方法可建立單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下：(Mm)xbxmlcosmlsinF(Iml2)mglsinmlxcos倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè)，為足夠20。小的角度，即可近似處理得：cos1，sin，t2用u來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)方程如下：(Iml2)mglmlx(Mm)xbxmlu取狀態(tài)變量：-14-

x1xx2xx3xx4即擺桿的角度和角速度以及小車的位移和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：xx21mg(lMm)mlx2I(Mm)Mml2x1xx43I(Mm)Mml2um2gl2Iml2xI(Mm)Mml2x1I(Mm)Mml2u4將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：xAxBuCxyx這里設(shè)：M1.32Kgm0.07Kgb0.1N/m/sl0.20mI0.0009Kgm2將參數(shù)帶入，有：0100A38.182500000010.384700002.8037B00.74771000C00102、LQR控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。考慮線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：-15-

121JxT(tf)Sx(tf)tf[xT(t)Q(t)x(t)utR(t)u(t)]dt2t0x(t)ttSQ(t)其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f、0為起始時(shí)間與終止時(shí)間；為終態(tài)約束矩陣；為運(yùn)動(dòng)約束矩陣；R(t)為約束控制矩陣。其中Q(t)、R(t)決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。J為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：u*(t)R1BTP(t)x(t)式中，矩陣P(t)為微分Riccatti方程：P(t)P(t)AATP(t)P(t)BR1BTP(t)Q的解。如果令終止時(shí)間tf，P(t)為一個(gè)常數(shù)矩陣，且P(t)0，因此以上的Riccatti方程簡化為P(t)AATP(t)P(t)BR1BTP(t)Q0。對(duì)于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣KR1BTP(t)，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取。K將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如下圖所示。K用Matlab求解lqr(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個(gè)參數(shù)和，這兩個(gè)參數(shù)是用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，QRQ代表擺桿角度1,1的權(quán)重，而Q是小車位置的權(quán)重。這里選擇：3,32500000000Q001000000R0.1通過matlab求得：K=[-82.4246-10.7034-10.0000-11.8512]。

小車位移：

第四章現(xiàn)代控制技術(shù)前沿簡介目前，自動(dòng)控制技術(shù)已廣泛地應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸和國防建設(shè)。經(jīng)典控制理論至今仍被成功地應(yīng)用于單變量定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。現(xiàn)代控制技術(shù)應(yīng)用現(xiàn)代控制理論與計(jì)算機(jī)的最新技術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì),它適用于系統(tǒng)的綜合與解析設(shè)計(jì),更適于多輸入多輸出、多回路的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì),也易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),因此受到工程界越來越多的重視并得到廣泛的應(yīng)用。近年來,控制理論在非線性系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制理論智能化控制等幾個(gè)主要方向上取得了重要進(jìn)展。1、最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學(xué)科。它是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分。這方面的開創(chuàng)性工作主要是由貝爾曼(R.E.Bellman)提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃[1]和龐特里雅金(П.с·Понтрягин)等人提出的極小值原理[2]。動(dòng)態(tài)規(guī)劃、最大值原理和變分法是最優(yōu)控制理論的基本內(nèi)容和常用方法。最優(yōu)化技術(shù)是研究和解決如何將最優(yōu)化問題表示為數(shù)學(xué)模型以及如何根據(jù)數(shù)學(xué)模型盡快求出其最優(yōu)解這兩大問題。最優(yōu)化問題,就是尋找一個(gè)最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律,使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。最優(yōu)化方式有離線靜態(tài)優(yōu)化方式和在線動(dòng)態(tài)優(yōu)化方式,而最優(yōu)化問題的求解方法大致可分為四類：(1)解析法；(2)數(shù)值解法(直接法)；(3)解析與數(shù)值相結(jié)合的尋優(yōu)方法；(4)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法。環(huán)境的變動(dòng)、觸媒和設(shè)備的老化以及原料成分的變動(dòng)等因素形成了對(duì)工業(yè)過程的擾動(dòng),因此原來設(shè)計(jì)的工況條件就不是最優(yōu)的。解決此類問題的常見方法一般歸結(jié)為在線優(yōu)化方法包括：(1)局部參數(shù)最優(yōu)化和整體最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；(2)預(yù)測控制中的滾動(dòng)優(yōu)化算法；(3)穩(wěn)態(tài)遞階控制；(4)系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)估計(jì)的集成研究方法。隨著工程實(shí)際的越來越復(fù)雜化，許多實(shí)際工程問題是很難或不可能得到其精確的數(shù)學(xué)模型的。這就限制了上述經(jīng)典優(yōu)化方法的實(shí)際應(yīng)用。隨著模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。近年來,智能式的優(yōu)化方法得到了重視和發(fā)展。2.非線性系統(tǒng)控制非線性控制是復(fù)雜控制理論中一個(gè)重要的基本問題,也是一個(gè)難點(diǎn)課題,它的發(fā)展幾乎與線性系統(tǒng)平行由于非線性系統(tǒng)的研究缺乏系統(tǒng)的、一般性的理論及方法,于是綜合方法得到較大的發(fā)展,主要有:(1)李雅普諾夫方法:它是迄今為止最完善、最一般的非線性方法,但是由于它的一般性,在用來分析穩(wěn)定性或用來鎮(zhèn)定綜合時(shí)都欠缺構(gòu)造性。(2)變結(jié)構(gòu)控制:由于其滑動(dòng)模態(tài)具有對(duì)干擾與攝動(dòng)的不變性,到80年代受到重視,是一種實(shí)用的非線性控制的綜合方法。(3)微分幾何法:在過去的的20年中,微分幾何法一直是非線性控制系統(tǒng)研究的主流,它對(duì)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析、分解以及與結(jié)構(gòu)有關(guān)的控制設(shè)計(jì)帶來極大方便。用微分幾何法研究非線性系統(tǒng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然產(chǎn)物,正如意大利教授Isidor